[r]
Trang 1Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400
BÀI GIẢNG SỐ 05: ÔN TẬP TỔNG HỢP Phần 1: Giới hạn dãy số
A.Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim2n
2
+ n – 3
n2 +1 b) lim
4 2
n
n n n c) lim
4n – 1
n + 1
d) lim( n2 – 2n – n ) e) lim(3 2nn3 ) f) lim(n 1
1
n n
)
Giải:
a)
2
2
2
1
n
n
b)
4 2
2
1
n
c)
1 4
n
n
2
2 2
n
n
e)
3
2
3
2
2
lim
3
n n
f)
2
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
a) lim 2
n
– 5.3n
3n + 1 b) lim
4.3n + 7n + 1 2.5n + 7n c) lim
(– 2)n + 3n (– 2)n + 1 + 3n + 1
Trang 2Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400
Giải:
a)
2 5
1 3
n
n n
b) lim4.3
n + 7n + 1 2.5n + 7n
3
7
n
n
c) lim (– 2)
n + 3n (– 2)n + 1 + 3n + 1
2 1 1 3
3 2
3
n
n
Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau:
1.22.33.4 n n( 1)
1.32.43.5 n n( 2)
Giải:
1
n
n
B Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
1) lim– n
2
+ n – 1
2n2 – 1 2) lim
1 n n
3 n 2
3) lim
2 4
1
n
4) lim( n22n ) 5) lim(n 1 2
4n 2n2n ) 1 6) lim(2 n n22n ) 7) lim2n n
2
+ n
3n2 +2n + 1 8) lim n 3 1
1 n 3 n n
9) lim( n2 + n – n2 + 1 )
10) lim 2n – 3 – n
3n + 1 11) lim(3 n3 n2 n) 12) lim n( n2 + 1 – n2 – 2 )
Trang 3Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400
13) lim 4n
2
+ 1 – 2n – 1
n2 + 4n + 1 – n 14) lim(1 + n
2 – n4 + 3n + 1 ) 15) lim( n + 1 – n )
16)lim n
2
+ 3 1 – n6
n4 + 1 – n2 17) lim n( n + 1 – n ) 18) lim
n n – 1 3n2 +2
ĐS: 1) 1
2
2) 2 3) 0 4) 5) 0 6) 0 7) 2
3 8)
4 3
3 9)
1
2 10)
1
3 11) 0
12) 3
2 13)
1 2
14) 1 15) 0 16) 0 17) 1
2 18) 0
Bài 2.Tính các giới hạn
1) lim 2
n
+ 2n + 1
2n + 4.3n 2) lim
3n – 4n
3n + 4n 3) lim
(– 1)n + 2n
1 + (– 3)n
4) lim
5) lim 1
n n
ĐS: 1) 0 2) -1 3) 0 4) 0 5) 1
3
Phần 2: Giới hạn hàm số
A Ví dụ mẫu
Ví dụ 4: Tính các giới hạn sau
1)
2
x
2 x
x
2
lim
2
2
2 x x
1 x x x lim 2
2 3 1
4
1
1 lim
x
x
Giải:
1)
2
x
2)
2
3)
Ví dụ 5: Tính các giới hạn sau
1)
x
4
3 5
x
lim
4
2)
3 1 x
x 2 x lim
2
3) 2
0
1 x 1
4)
3
3
1
1 lim
x
x
x
5) x 1
x x lim
2 1
Giải:
1)
2)
2
Trang 4Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400
2
lim
4
x
3)
3
4)
1
x
3
4.3
x
5)
1
x
Ví dụ 6: Tính các giới hạn sau
1)
1 x
2 x
x
lim
3
3 5
1
2)
3 0
lim
x
x
3)
4 x x
x 4 x lim 2
3 4
4)
9 x
5 x 10 x
2
3 3
3 3
2
x lim
Giải:
1)
3
3
( 1) 1
x x
1
2)
2
3)
2
2
2
3.12 3.4 18
Trang 5Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400
4)
2
2
5)
2
x
x
2
lim
x
Ví dụ 7: Tính các giới hạn sau
x 2
lim
Giải:
a) lim (2 1 4 2 4 3)
2
2
4 4
x
2
x
x 2
lim
x
x
Ví dụ 8: Tính các giới hạn sau
a)
2
2
x
lim
4x 1 x 1
b)
x
lim
x 1
) x x )(
1 x (
2
d)
2
x
lim
e)
2 x
7x lim
Giải:
a)
2
2
1
x
Xét hai trường hợp:
Trang 6Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400
2
2
1
2
2
3
Ta thấy
2 2 x
lim 4x 1 x 1
không tồn tại
b)
x
lim
x 1
2
x
5x x lim
(x 1)( 9x x 1 4x 2x 1)
x
1 5
5 x
5
c)
2 3
4 4
1
x
d)
3
1
1
1
e)
2
2
14 4 10
x
Ví dụ 9: Tính các giới hạn sau
a)
2
15
lim
2
x
x
x
2
2
4 lim
2
x
x x
c) 2 2
2 lim
x
x
Giải:
a)
2
15 lim
2
x
x
x
13 0
b)
2
Ví dụ 10: Tìm các giới hạn một bên của hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
Trang 7Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400
3
( )
3
2
x x x
f x
x
tại x = 0
Giải:
+)
lim ( ) lim
f x
3 3
3
2
x
f x
B Bài tập tự luyện
Bài 1.Tính các giới hạn sau
1)
1 x
3 x x
x
2 3
1
2)
4 x x
x 2 x lim 2
2 2
3)
3 x x
1 x
4 1
4)
9 x x
9 x x
5
x
2
3
3
5)
1 x x
3 x x lim 2 2
1
3 2
2 x x lim
7)
1 x
x x 5
x
5 6
1
8)
0
1 lim
1
x
x
9) 0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1 lim
x
x
ĐS: 1) 1 2) 3) 4
7
4) 0 5) 4
3 6)
9
4 7) 0 8) 1 9) 6
Bài 2.Tính các giới hạn sau:
1)
x
x 1 x
1
lim
0
x
2)
49 x
3 x 2 lim 2 7
x 5 1
x 5 3 lim
4
4)
3 x 4
x
4 x 7
x
2
lim
2 3
1
5)
2 3 x
1 x lim
1
6)
1 x
2 x x
3 1
7)
2
lim
x
x
x
8)
2 0
1 1 lim
x
x x
9)
0
lim
x
x
ĐS: 1) 1 2) 1
14
3) 1
3
4) 4
15 5) 2 6)
3
4 7)
3
2 8) 0 9)
7
24
Bài 3.Tính các giới hạn sau:
1)
1 x
1
x
lim
3
0
x 2)
3
2 1
lim
1
x
x
2 x x 10 lim
3 2
3 2
x 2
lim
5)
0
1 4 1 6 1
lim
x
x
6)
3 0
1 2 1 4 1 lim
x
x
7)
n
2
x 1
lim
(x 1)
ĐS: 1) 3 2) 11
24
3) 0 4) 7
54 5) 5 6)
7
3 7) 0
Bài 4.Tìm 2 số a,b để
a)lim ( x 2 x 1 ax b ) 0
1 x
1 x ( lim
2
= 0
Trang 8Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400
ĐS: a)
1 1, 2 1 1, 2
b) a =1, b = -1
Bài 5:Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại các điểm đã chỉ ra
a)
2 3 4
2
8 ( )
16
2
x x
f x
x
x x
b)
2 2
1 ( )
2
x x
f x
x x
ĐS: a)
2
1 lim ( )
6
x
f x
,
2
lim ( ) 32
x
f x
b)
1
1 lim ( )
2
x
f x
,
1
1 lim ( )
2
x
f x
Bài 6 : Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm đã chỉ ra:
a)
3
1
2
x
mx
3
f x
ĐS: a) m = 1 b) m = 2
Phần 3:Hàm số liên tục
A Ví dụ mẫu
Ví dụ 11: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm đã cho
a) f(x) =
2 x khi
3
11
2 x khi 2 x x
6 x x
2
3
tại xo = 2 b) f(x) =
3
3
2
x 1 1
khi x 0
1 x 1
tại xo = 0
Giải:
a) Ta có:
+)
2
f x
+) (2) 11
3
Vì
2
11 lim ( ) (2)
3
nên hàm số liên tục tại x = 2
b) Ta có:
Khi x<1 Khi x 1
Tại x=1
Khi x<-1 Khi x -1
Tại x=-1
Trang 9Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400
+)
3
2
x
f x
+)
lim ( ) lim
+) f(0) = 3
2
Vì
3 lim ( ) lim ( ) (0)
2
Ví dụ 12: Xét tính liên tục của hàm số sau trên R
f(x) =
5
x khi 4 3x
5 x 2 khi 2
x
3 2x
2 x khi 4 x
10 x 3 x
2 2
Giải:
Ta có:
Khi x < 2, ta có
2 2
( )
4
f x
x
nên hàm số liên tục với x < 2
Khi x > 2, ta có f(x) = 2 3
2
x x
nên hàm số liên tục với x > 2
Khi x < 5, ta có f(x) = 2 3
2
x x
nên hàm số liên tục với x < 5 Khi x > 5, ta có f(x) = 3x – 4 nên hàm số liên tục với x > 5
Ta xét tính liên tục của hàm số tại x = 2 và x = 5
Xét tính liên lục của hàm số tại x = 2
2 2
f x
lim ( ) lim
x
f x
x
(2) 7
4
Ta thấy
7 lim ( ) lim ( )
4
nên hàm số liên tục tại x = 2
Xét tính liên tục của hàm số tại x = 5
lim ( ) lim (3 4) 11
lim ( ) lim
x
f x
x
Trang 10Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400
Ta thấy
lim ( ) lim ( )
nên hàm số gián đoạn tại x = 5 Vậy hàm số liên tục trên ;5 5; và gián đoạn tại x = 5
Ví dụ 13: Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0
a) f(x) =
1 x khi
a
1
x khi 1 x
3 x x
2
3
tại x0 = 1 b) f(x) =
3
3x 2 2
khi x 2
x 2 1
4
tại x = 2 0
Giải:
a) Ta có:
2
f x
(1)
f a
Để hàm số liên tục tại x0 = 1 thì
1
3 lim ( ) (1)
2
2
a thì hàm số liên tục tại x0 = 1
b) Ta có:
+)
3
f x
=
2 3
lim
12 4
+)
+) f(2) = 2 1
4
a
Để hàm số liên tục tại x = 2 thì 0
Vậy với a = 0 thì hàm số liện tục tại x = 2 0
Ví dụ 14: Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
a) x3 – 2x – 7 = 0 b) cosx – x + 1 = 0
Giải:
a) Hàm số f(x) = x3 – 2x – 7 liên tục trên R
Ta có: f(2) = - 3 , f(3) = 14
(2) (3) 0
nên phương trình có nghiệm thuộc 2;3
Vậy phương trình có nghiệm
b) Hàm số f(x) = cosx – x + 1 liên tục trên 0;
Ta có: f(0) = 2; f( )
Trang 11Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400
(0) ( ) 0
nên phương trình có nghiệm thuộc 0;
Vậy phương trình có nghiệm
Ví dụ 15: Chứng minh rằng phương trình
a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
Giải:
a) Hàm số f(x) = x3 – 3x2 + 3 liên tục trên R
Ta có: f(-1) = -1; f(0) = 3; f(2) = -1; f(3) = 3
Suy ra:
+) f(-1).f(0) < 0 nên phương trình có nghiệm thuộc 1;0
+) f(0).f(2) < 0 nên phương trình có nghiệm thuộc 0; 2
+) f(2).f(3) < 0 nên phương trình có nghiệm thuộc 2;3
Vậy phương trình có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
b) Hàm số f(x) = 2x3 – 6x + 1 liên tục trên R
Ta có: f(-2) = -3; f(-1) = 5; f(1) = -3; f(2) = 5
Suy ra:
+) f(-2).f(-1) < 0 nên phương trình có nghiệm thuộc 2; 1
+) f(-1).f(1) < 0 nên phương trình có nghiệm thuộc 1;1
+) f(1).f(2) < 0 nên phương trình có nghiệm thuộc 1; 2
Bài tập tự luyện
Bài 1.Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) =
1 x khi 3 2x
1
x khi 4 x
x2
tại xo = 1 b) f(x) =
khi x 2
1 khi x 2
tại xo = 2
c) f(x) =
2
2
khi x 1
x
khi x 1 2
tại xo = 1 d) f(x) =
2
4 x
khi x 2
tại xo = 2
e) f(x) =
2 x khi
x 1
2
x khi 7 x
x2
ĐS: a) Hàm số ko liên tục b)Hàm số liên tục c)Hàm số ko liên tục
d)Hàm số ko liên tục e) Hàm số liên tục
Bài 2.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0
Trang 12Trung tâm luyện thi Edufly – hotline: 098.770.8400
a) f(x) =
1 x khi a 2x
1
x khi 1 x 2
x2
tại x0 = 1 b) f(x) =
khi x 0 x
4 x
x 2
tại xo = 0
ĐS: a) a = 2 b) a = -3
Bài 3 Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
a) x5 + x3 – 1 = 0 b) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 c) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0
HD: chứng minh
a) f(0) (1)f 0
b) f( 1) (0) f 0
c) f(4) (5)f 0
Bài 4 Chứng minh rằng phương trình
a) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
b) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
c) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
d) x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5)
Bài 5.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong [0;1
3 ]
f c
19 9 2
c c c
2
1
c
f f
Bài 6 Chứng minh rằng: các phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
a) cosx + m.cos2x = 0
b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0
c) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0
HD: Chứng minh
a) pt 2 cosm 2 xcosx m Chứng minh 0 0, m
b) f( 2) (1) f 0
c) f(0) (1)f 0
Bài 7.Cho phương trình x4 – x – 3 = 0 Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo (1;2) và xo > 7 12