Bài giảng số 5: Bài toán dựng thiết diện trong phần quan hệ song song

A. Từ đó, xác định được giao tuyến với các mặt này.  Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện. Tương tự đối với hình lăng trụ, hình hộp,… việc xác [r]

Bài giảng số 5: BÀI TOÁN DỰNG THIẾT DIỆN

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Để tìm thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng  P , ta thực hiện theo các bước sau:

 Bước 1: Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của  P với một mặt của hình chóp (có thể là mặt phẳng trung gian)

 Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta sẽ được các điểm chung mới của  P với các mặt khác Từ đó, xác định được giao tuyến với các mặt này

 Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện

Tương tự đối với hình lăng trụ, hình hộp,… việc xác định thiết diện cắt bởi một mặt phẳng ta cũng tiến hành tương tự như đối với hình chóp

B CÁC VÍ DỤ MẪU

 Dạng 1: Thiết diện của hình chóp

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD , độ dài các cạnh bằng 2a Gọi M N lần lượt là trung điểm các cạnh , AC ,

BC , gọi P là trọng tâm BCD Tính diện tích thiết diện của tứ diện với mặt phẳng MNP

Giải:

a) Xác định thiết diện: Trong BCD, ta thấy ngay N P D thẳng , ,

hàng Suy ra MND là thiết diện cần dựng

b) Tính diện tích thiết diện

Xét MND, ta có: 1

2

MN  ABa, vì MN là đường trug bình

3 2

a

2

a

MD a , vì ND MD là đường , trung tuyến trong tam giác đều

Như vậy MND cân tại D, gọi H là chân đường cao hạ từ D

Ta được:

MND

2

 

Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a Gọi I là trung điểm của AD , J là điểm đối xứng với D qua C , K là điểm đối xứng với D qua B

a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng IJK

B

C

D

A

M

D

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân -Trung tâm gia sư VIP – website: http://giasuvip.net

b) Tính diện tích thiết diện xác định ở trên

Giải:

a) Xác định thiết diện

Nối I và K cắt AB tại M

Nối I và J cắt AC tại N

Suy ra IMN là thiết diện cần dựng

b) Tính diện tích thiết diện

Diện tích IMN sẽ được tính bằng công thức Hê-rông

Vì M là trọng tâm ADK nên 2 2

a

AM  AB Khi đó, trong AIM có:

2 cos

IM  AI AM  AI AM A

0

2 .cos 60

   

   

13 6

a IM

Vì N là trọng tâm ADJ nên 2 2

a

6

a

IN IM

3

a

Từ đó ta được:

2

IMN

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD , đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SB , SD và OC

a) Tìm giao tuyến của MNP với SAC và tìm giao điểm của SA với MNP

b) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MNP

c) Tính tỷ số mặt phẳng MNP chia các cạnh SA , BC và CD

Giải:

a) Ta thực hiện các việc: Nối MN cắt SO tại O 1

Nối O P cắt 1 SA tại S 1

Vậy MNP  SACPS1, MNPSAS1

b) Ta lần lượt thực hiện: Nối S N kéo dài cắt 1 AD tại

1

D Nối S M kéo dài cắt 1 AB tại B Nối 1 B D cắt 1 1

CD, CB theo thứ tự tại D , 2 B 2

Khi đó, ta được 5 đoạn giao tuyến là S M , 1 MB , 2

2 2

B D , D N và 2 NS Do đó thiết diện cần tìm là đa 1

giác S MB D N 1 2 2

D

J

K

A

I

C

B

M N

A

C D

B S

M

N

D P

O S

D

B

2

2

1

1

1 1

c) Ta có: MN là đường trung bình của SBD nên O là trung điểm của 1 SO, suy ra: 1

PO SC 1

1

1 3

S S PC

S A PA

Xét SAD với S , 1 N, D thẳng hàng, theo định lý Mêlêlaus, ta được: 1

1 1

.D D S A 1

NS

1

1 1 3

D D

D A

Xét SAB với S , 1 M , B thẳng hàng, theo định lý Mêlêlaus, ta được: 1

1 1

1 1

.B B S A 1

MS

1

1 2 3

B B

B A

Từ    1 , 2 suy ra: BD B D 1 1

2 2

B D

 là đường trung bình của BCD nên B2, D theo thứ tự là trung 2

điểm của BC, CD

Do đó: 2

2

1

D D

D C  và

2

2 1

B B

B C 

phần kéo dài của chúng) lấy các điểm C1, A B thì 1, 1 C1, A B thẳng hàng khi và chỉ khi: 1, 1

A B B C C A

A C B A C B  ”

 Dạng 2: Thiết diện của hình lăng trụ và hình hộp

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD A B C D    

a) Chứng minh rằng BDA  B D C  

b) Chứng minh rằng đường chéo AC đi qua các trọng tâm G , 1 G của hai tam giác 2 BDA và

B D C 



c) Chứng minh rằng G và 1 G chia đoạn thẳng 2 AC thành ba phần bằng nhau

d) Chứng minh rằng các trung điểm của sáu cạnh BC , CD , DD , D A , A B , B B cùng nằm trên

một mặt phẳng

Giải:

a) Gọi O, O theo thứ tự là tâm của các hình bình hành ABCD và

A B C D   , ta có:

A O CO

BD B D





 





 BDA  B D C  

S

S

A D

D

N

1

1

S

S

A B

B

M

1

1

P

R

B'

2

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân -Trung tâm gia sư VIP – website: http://giasuvip.net

b) Vì AC, AO, CO cùng nằm trong mặt phẳng ACC A  nên gọi G1 ACA O và 2

G  ACCO

Trong A BD , điểm G thuộc trung tuyến 1 A O và vì AO A C   nên:

1 2

GA  A C  G1 là trọng tâm A BD

Chứng minh tương tự G là trọng tâm 2 B D C 

c) Nhận xét rằng OG , 1 O G 2 theo thứ tự là đường trung bình của ACG2 và A C G  1 nên

AG G G G C

Tức là G và 1 G chia đoạn thẳng 2 AC thành ba phần bằng nhau

d) Gọi M N P Q R S theo thứ tự là trung điểm của , , , , , BC, CD, DD, D A , A B , B B

Vì các đoạn thẳng MN, NP, PQ , QR , RS đều song song với mặt phẳng A BD  nên chúng cùng nằm trên một mặt phẳng

Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD A B C D     Trên ba cạnh AB , DD , C B  lần lượt lấy ba điểm M , N , P

không trùng với các đỉnh sao cho: AM D N B P

  

a) Chứng minh rằng: MNP  AB D 

b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng MNP

Giải:

a) Từ giả thiết: AM D N





 suy ra MN, AD, BD thuộc ba mặt phẳng

đôi một song song với nhau Vì bởi BD B D   nên MNAB D   1

Từ giả thiết AM B P

AB B C





  suy ra MP, AB, BC thuộc ba mặt phẳng đôi một song song với nhau Vì bởi BCAD nên MPAB D   2

Từ  1 và  2 suy ra MNP  AB D 

b) Để có được thiết diện, ta thực hiện: Kẻ Mx BD và cắt AD tại S

Nối SN Kẻ Py B D   và cắt C D  tại R Kẻ Pz BC và cắt BB tại

Q

Khi đó, lục giác MSNRPQ là thiết diện cần dựng

Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    Gọi H là trung điểm của cạnh A B 

a) Chứng minh rằng: B C AHC

b) Tìm giao tuyến  d của hai mặt phẳng A B C   và A BC  Chứng minh:   d  BB C C   c) Xác định thiết diện của hình lăng trụ ABC A B C    khi cắt bởi mặt phẳng H d, 

Giải:

C

B A

D

B' A'

M S

Q N

P R

a) Giả sử ACA C  N

Khi đó N là trung điểm của AC và A C

B C NH

  (tính chất đường trung bình)

B C AHC

b) Giả sử ABA B  M A B C    A BC MN

Từ tích chất đường trung bình, suy ra:

MNBC BB C C  MNBB C C  

c) Nối MH cắt AB tại P (Plà trung điểm của AB)

Khi đó: H d,   ABCPx MN BC

Px

 cắt AC tại Q ( Q là trung điểm của AC)

H d,   A B C  Hy MN BCB C 

Hy

 cắt A C  tại R (R là trung điểm của A C )

Khi đó, ta được thiết diện là hình bình hành HPQR

Ví dụ 7: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C , đáy là tam giác đều cạnh 1 1 1 a Các mặt bên ABB A , 1 1 ACC A 1 1

là hình vuông Gọi I J là tâm các mặt bên nói trên và , O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

a) Chứng minh I J song song với mặt phẳng ABC

b) Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng IJO Chứng minh thiết diện là hình thang cân Tính diện tích của nó theo a

Giải:

a) Ta có: 1 1

1

IB  JC  IJBCABCIJABC

b) Ta lần lượt có:

à

IJ IJO v BC ABC

IJ BC







Và Ox cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F

Nối EI cắt A B tại 1 1 H và nối FI cắt A C tại 1 1 G Như vậy, thiết diện là tứ

giác EFGH

Ta lại có:

1 1 1

1 1 1

ABC A B C













EF GH

  EFGH là hình thang

Vì ABB A , 1 1 ACC A là hình vuông nên 1 1 EH FG

Vậy thiết diện EFGH là hình thang cân

R

H A'

N

C Q A

P B M

A

J

C

A

B I

1

1

1

F E

G H

O

http://baigiangtoanhoc.com Khoá học: Quan hệ song song trong không gian

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân -Trung tâm gia sư VIP – website: http://giasuvip.net

Trong ABC có: 2

3

EF

BC 

2 3

a EF

 

Trong A B C1 1 1 có: 1

1 1 1 1

1 3

A H

a HG

 



2 cos

IE BI BE  BI BE IBE

2 0

2 .cos 45

10

6

a

IE

3

a

Khi đó, xét hình thang cân EFGH , hạ đường cao HM , ta có:

2

HM  EH ME  EH    

2

EFGH

S  EFHG HM     

 Dạng 3: Bài toán về hình chóp cụt

Ví dụ 8: Cho hình chóp cụt ABC A B C    có đáy lớn ABC và các cạnh bên AA , BB , CC Gọi M , N ,

P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , CA và M  , N  , P lần lượt là trung điểm của các cạnh A B , B C , C A  Chứng minh MNP M N P    là hình chóp cụt

Giải:

Để chứng minh MNP M N P    là hình chóp cụt, ta cần đi chứng minh:

+ Các đường thẳng MM , NN , PP đồng quy

+ MNM N , NP N P  , PM P M 

a) Gọi S là điểm đồng quy của các đường thẳng AA, BB, CC, ta có: AB A B  

,

M M  theo thứ tự là trug điểm của AB, A B  suy ra SMM 

Tương tự, ta cũng có SNN  và SPP

Vậy các đường thẳng MM , NN , PP đồng quy tại S

b) Theo tính chất đường trung bình, ta có: MN AC, M N  A C 

Ngoài ra, theo tính chất của hình chóp cụt ACA C  nên MN M N 

Tương tự, ta cũng có NP N P  , PM P M 

Vậy ta có kết luận MNP M N P    là hình chóp cụt

Ví dụ 9: Cho hình chóp SABCD Gọi A là trung điểm của cạnh 1 SA và A là trung điểm của đoạn 2 AA 1 Gọi   và   là 2 mặt phẳng song song với mặt phẳng ABCD và lần lượt đi qua A , 1 A Mặt phẳng 2

F

C A

B

N M

P

C' B'

A'

P'

  cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại B , 1 C , 1 D Mặt phẳng 1   cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại B , 2 C , 2 D Chứng minh: 2

a) B , 1 C , 1 D lần lượt là trung điểm của các cạnh 1 SB , SC , SD

b) B B1 2 B B2 , C C1 2 C C2 , D D1 2 D D2

c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD

Giải:

a) Vì   song song với ABCD, suy ra AB A B 1 1

1 1

A B

 là đường trung bình của SAB

1

B

 là trung điểm của các cạnh SB

Chứng minh tương tự, ta được C , 1 D lần lượt là trung điểm của các 1

cạnh SC, SD

b) Vì   song song với ABCD, suy ra AB A B 2 2

2 2

A B

 là đường trung bình của hình thang ABB A 1 1

2

B

 là trung điểm của BB1B B1 2 B B2

Chứng minh tương tự, ta được C C1 2 C C2 , D D1 2 D D2

c) Hình chóp cụt ABCD A B C D , 1 1 1 1 ABCD A B C D 2 2 2 2

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp SABCD M, N là 2 điểm trên AB, CD; ( ) là mặt phẳng qua MN và song song với

SA

a Tìm các giao tuyến của ( ) với (SAB), (SAC)

b Xác định thiết diện của hình chóp với ( )

c Tìm điều kiện của M, N để thiết diện là hình thang

Bài 2: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ Gọi H là trung điểm A’B’

a CMR: CB’ // (AHC)

b Tìm giao điểm của AC’ với (BCH)

c Gọi ( ) là mặt phẳng qua trung điểm của CC’, song song với AH và CB’ Xác định thiết diện của

( ) và lăng trụ

Bài 3: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, AD; O là tâm của mặt BCC’B’

D A

B

C

S

A

B

C D

D

A 1

1

2

2

2 2

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân -Trung tâm gia sư VIP – website: http://giasuvip.net

a Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNO) với hình hộp

b Xác định giao điểm của A’C với mặt phẳng thiết diện

Bài 4: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O, có: AC = a, BD = b Tam giác SBD là tam giác đều Một mặt phẳng ( ) di động song song với mặt phẳng (SBD) và qua điểm I trên đoạn AC

a Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( )

b Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI

Bài 5: Trong mặt phẳng ( ) cho ABC vuông tại A, B= 600, AB = a gọi O là trung điểm BC Lấy điểm S ngoài ( ) sao cho SB = a và SB  OA Gọi M là một điểm trên cạnh AB; mặt phẳng ( ) qua M,

song song SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q Đặt x = BM (0<x<a)

a CMR: MNPQ là hình thang vuông

b Tính theo a và x diện tích của hình thang này Tìm để diện tích này lớn nhất

Bài 6: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh đều bằng 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh

SA, SB Gọi O là tâm đáy ABCD

a CMR: MN // (ABCD) Gọi I là một điểm thuộc đoạn OM CMR: IN // (SCD)

b Xác định thiết diện hình chóp bị cắt bởi (OMN) Thiết diện là hình gì? Tại sao? Tính chu vi và diện tích thiết diện đó theo a

c Gọi E, F lần lượt là trung điểm các cạnh SC, SD Gọi H, K, P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng BM và CF, AN và DE, AF và BE, DM và CN CMR: H, K, P, Q đồng phẳng

Bài 7: Cho một lăng trụ ABC.A’B’C’ Trên đường BA lấy một điểm M sao cho A nằm giữa B và M, 1

2

MA AB

a Xác định thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua M, B’ và trung điểm E của AC

b Tính tỉ số BD

CD, trong đó D là giao điểm của BC với mặt phẳng (MB’E)