Chuyên đề: Các bài toán về số nguyên vô địch toán các nước ôn thi Quốc gia và quốc tế

(Để đi đến đáp số này, hoàn toàn không cần đến các máy vi tính PC để mò mẫm tốn thời gian. Chỉ cần lập luận toán học, và cuối cùng là một máy tính bỏ túi có nút ấn logarit)... Biên s[r]

Trang 1

Biên soạn và sưu tầm: GS Phan Đức Chính Page 1

CHUYÊN ĐỀ: SỐ NGUYÊN ÔN THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12

Đề 27: Tổng của một số những số nguyên dương liên tiếp bằng 2000 Hãy xác định các số ấy

Đề 28: m, n là hai số nguyên dương Biết rằng mn+1 chia hết cho 24, hãy chứng minh rằng m + n cũng chia hết cho 24

Đề 29: Hai số nguyên dương m, n thỏa mãn điều kiện:

3m  m 4n  n Hãy chứng tỏ rằng 4m 4n1 là một số chính phương

Đề 30: n là một số nguyên dương Biết rằng 2n1 và 3n1 là hai số chính phương

Hãy chứng minh: n chia hết cho 40

Đề 31: Tìm tất cả các nghiệm nguyên (x, y) của phương trình

Đề 33: Chứng minh rằng nếu hiệu các lập phương của hai số nguyên liên tiếp là bình phương của một

số tự nhiên n, thì n là tổng của hai số chính phương liên tiếp

Đề 34: Xác định tất cả các số nguyên dương n sao cho tích

Trang 2

Đề 38: Tìm số tự nhiên N nhỏ nhất, có các tính chất sau đây:

1 N chia hết cho 3,

2 N có dạng thập phân tận cùng bằng 35,

3 Tổng các chữ số trong dạng thập phân của N bằng 35

Đề 39: Cho dãy số (a )n gồm những số tự nhiên, thỏa mãn các điều kiện:

a a1 a2  an  ,

b a2k ak  k với mọi kN*,

c Nếu an là một số nguyên tố, thì n là một số nguyên tố Hãy xác định a2000

Đề 40: Cho đa thức: 3 2

Q(x) x 19x 99x  a với aZ Chứng minh rằng với mọi số nguyên

tố p5, trong dãy p số nguyên Q(0), Q(1), Q(2), , Q(p 1) không thể có hơn 3 số chia hết cho

p

Đề 41: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn, hãy xác định điểm M (a, b) với tọa độ (a, b)

nguyên, sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 3 3

Trang 3

(  a kí hiệu phần nguyên của số thực a) Hãy xác định tất cả các giá trị nguyên dương mà n có thể lấy để sao cho:

1 Chứng tỏ rằng với mỗi số tự nhiên n, ta có l(n) 2 hoặc l(n) 3

2 Hãy chứng tỏ rằng tồn tại vô số tự nhiên n sao cho l(n) 3 ( l(n) kí hiệu số phần tử của l(n) )

Đề 48: n số nguyên dương thay đổi x , x , ,x1 2 n có tổng

x  x   x  m với m là một số nguyên dương cho trước, m n Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trang 4

LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN

Đề 27: Tổng của một số những số nguyên dương liên tiếp bằng 2000 Hãy xác định các số ấy

Lời giải: Giả sử tổng của m số nguyên dương liên tiếp, bắt dầu từ số nguyên dương k, bằng 2000 Vậy ta có:

4 Với a 3 ta có m 125, khi đó theo (1) ta có 125 (2k 124) 4000

Đẳng thức này không thể xảy ra với k nguyên dương

Trường hợp 2: m chẵn, 2k  m 1 lẻ Thế thì chỉ có thể xảy ra các khả năng

m 2 5 , 2k  m  1 5

Với a 0, 1, 2, 3 Tính toán như trên ta thấy chỉ xảy ra một trường hợp a 0, m32, k  47

Trang 5

Đề 28: m, n là hai số nguyên dương Biết rằng mn1 chia hết cho 24, hãy chứng minh rằng m + n cũng chia hết cho 24

Lời giải:

1 Nhận xét rằng mn 1 24k, nên m, n phải là hai số lẻ, không chia hết cho 3 Vai trò các số

m, n như nhau, nên ta xét các trường hợp:

Trang 6

3m  m 4n  n Hãy chứng tỏ rằng 4m 4n1 là một số chính phương

Lời giải: Điều kiện của bài toán có thể viết dưới dạng:

Vậy từ (2) suy ra rằng m n, 4m 4n1 phải là những số chính phương

Ghi chú: Từ (1) cũng suy ra rằng 3m3n 1 là số chính phương

Đề 30: n là một số nguyên dương Biết rằng 2n1 và 3n1 là hai số chính phương

Hãy chứng minh: n chia hết cho 40

Lời giải: Ta có 2n 1 m2, mà 2n1 là một số lẻ, vậy m lẻ: m 2k 1, suy ra

Suy ra: k k 1  t t 1 chia hết cho 5

Để ý rằng nếu u và v đều không chia hết cho 5 thì u (u 1) 1, 2 (mod 5)

v (v 1) 1, 2 (mod 5)

  

  



Trang 7

Suy ra: u (u1) v(v 1) 0 (mod 5)

Do vậy k (k 1), t (t 1) chia hết cho 5, suy ra n chia hết cho 5

Vì n chia hết cho 8 và 5 nên n chia hết cho 40

Đề 31: Tìm tất cả các nghiệm nguyên (x, y) của phương trình

x  y 16Lời giải:

Nhận xét rằng t, t 1 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên chúng phải là hai lập phương: điều này chỉ

có thể xảy ra khi t  0 hoặc t 1 Vậy Y 0 tức là y  0 Vậy ta được nghiệm

Trang 8

Tóm lại: phương trình đã cho có đúng hai nghiệm nguyên

(x ; y)(4 ; 0) ; (x; y)  ( 4; 0)

Đề 32: Tìm tất cả các nghiệm nguyên (x, y, z) của phương trình:

x  y  z  x yLời giải: Để cho tiện ta đặt:

Trang 9

Lập luận theo mod 4 như trên ta thấy rằng X , Y , Z1 1 1 chẵn Như vậy, ta có thể kéo dài vô hạn lập luận trên Nhưng nếu phương trình đã cho có nghiệm x , y , z0 0 0 thì lập luận đó không thể kéo dài

vô hạn, trừ trường hợp: x0  y0  z0  0

Thành thử phương trình đã cho chỉ có nghiệm x   y z 0

Đề 33: Chứng minh rằng nếu hiệu các lập phương của hai số nguyên liên tiếp là bình phương của một

số tự nhiên n, thì n là tổng của hai số chính phương liên tiếp

Lời giải: Giả sử 2  3 3 2

2ns  1 6m1  1 36m 12m  2Suy ra n18m2  6m 1 (3m)2  (3m1), đpcm

Đề 34: Xác định tất cả các số nguyên dương n sao cho tích

A n (n1) (n2) (n 3)

Trang 10

Trang 11

Trường hợp II n chẵn (vậy n 2)

Khi đó n + 1, n + 3 là hai số lẻ liên tiếp, nguyên tố cùng nhau, suy ra n + 1, n + 3 là hai lũy thừa

 

 



Trang 12

Điều này không thể xảy ra vì   , 1 và p nguyên tố > 3

Kết luận II: với n chẵn, thì chỉ có n = 2, n = 6

Kết luận cuối cùng: Chỉ có các giá trị n = 2, n = 3, n = 6

Thì tích A n(n1)(n 2)(n 3) mới có đúng 3 ước số nguyên tố

Đề 35: Với mỗi số nguyên dương n, ta kí hiệu ( n) là số nguyên dương gắn n nhất Hãy tìm tập hợp tất cả các giá trị của hàm f : N* N* xác định bởi: f (n) n ( n)

Lời giải: Đó là tập tất cả các số nguyên dương không phải là số chính phương Quả vậy ta có:

(k 1) 1, (k 1) 2, , (k 1) 2(k 1), đó là 2k  2 số nguyên dương liên tiếp nằm giữa

2 số chính phương liên tiếp: (k 1)2 và (k 1)2 2(k 1) 1 (k 2)2

Trang 13

Đề 36: Xác định đa thức P(x) có bậc nhỏ nhất, với các hệ số nguyên không am nhỏ nhất, sao cho với mỗi số nguyên dương n

Lời giải: Giả sử phương trình đã cho có nghiệm nguyên không tầm thường (x, y, z, t) Nếu d1

và một ước số chung của x, y, z, t có ước chung lớn nhất bằng 1

Từ phương trình đã cho, ta thấy t2 phải chia hết cho 6, vậy t phải chia hết cho 6 Đặt t  6v, ta

Trang 14

Đối chiếu với (1), ta thấy rằng khả năng 2

y 1 (mod 8), không thể xảy ra, cũng như khả năng

2

3u 3 (mod 8) không thể xảy ra

Vậy y2 0,4 (mod 8) và 3u2  0,4 (mod 8), suy ra y , u2 2 là số chẵn tức y, u là số chẵn Đặt

y 2Y, u2U từ (1) suy ra:

Đối chiếu với (2) ta thấy khả năng 2

5v  5 (mod 8) không thể xảy ra Vậy 5y2  0, 4 (mod 8), suy ra khả năng x2 1 (mod 8) không thể xảy ra Thành thử x2  0,4 (mod 8), vậy x là số chẵn Tóm lại ta có x, y, z = 6V, t 6v đều là số chẵn, trái với giải thiết chúng là nguyên tố cùng nhau

Đề 38: Tìm số tự nhiên N nhỏ nhất, có các tính chất sau đây:

4 N chia hết cho 3,

5 N có dạng thập phân tận cùng bằng 35,

6 Tổng các chữ số trong dạng thập phân của N bằng 35

Lời giải: Theo 2) ta có N100A 35

Với A là một số tự nhiên Theo 3), tổng các chữ số trong dạng thập phân của A bằng:

35(3 5)27

Do vậy nếu A gồm 3 chữ số, thì cả ba chữ số ấy đều bằng 9, tức là A  999, vô lí

Ta cần tìm số N nhỏ nhất với tính chất đã nêu, nên trước hết xét trường hợp A gồm 4 chữ số tức là:

A 1000a100b10cd

Với a1 thế thì theo trên a   b c d 27 (1)

Đồng thời A  0 (mod 7), mà 1000 1 (mod 7), 100 2 (mod 7), 103 (mod 7) nên suy ra:  a 2b  3c  d  0 (mod 7)

Trang 15

  





Với c d 17, ta có hai khả năng:

A) c8, d 9, khi đó 3c d 33, trái vứi phương trình thứ hai;

B) c9, d8, khi đó 3c d 35, phù hợp với phương trình thứ hai

Thành thử ta được số nhỏ nhất phải tìm là: 289835

Đề 39: Cho dãy số (a )n gồm những số tự nhiên, thỏa mãn các điều kiện:

d a1 a2  an  ,

Trang 16

e a2k ak  k với mọi kN*,

f Nếu an là một số nguyên tố, thì n là một số nguyên tố Hãy xác định a2000

Lời giải: Với mọi k 1, 2, ta có ak ak1  a2k1  a2k  ak  k

Suy ra ak1  ak 1 vậy với mọi nIN*

an a1  (n1)

1) Giả sử a1 0 Thế thì a2 1, a3  2, a4 3, mâu thuẫn với điều kiện c)

2) Giả sử a2 2 Gọi p là số nguyên tố nhỏ nhất thỏa điều kiện

3) Còn lại khả năng a1 1, vậy an n với mọi nIN*

Dãy số này nghiệm đúng các điều kiện của bài toán Thành thử a2000  2000

Đề 40: Cho đa thức: 3 2

Q(x) x 19x 99x  a với aZ Chứng minh rằng với mọi số nguyên

tố p5, trong dãy p số nguyên Q(0), Q(1), Q(2), , Q(p 1) không thể có hơn 3 số chia hết cho

Trang 17

n  n  n 19 và n1  n4  n3 19 chia hết cho p, suy ra n3 n2 chia hết cho p, vô lí

Đề 41: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn, hãy xác định điểm M (a, b) với tọa độ (a, b)

nguyên, sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 3 3

y x

7 10

  là ngắn nhất

Lời giải: Trước hết ta nhận xét rằng đường thẳng D đã cho có phương trình

30x  70y 21 0 không đi qua bất cứ điểm nguyên M (a, b) nào, bởi vì nếu có a, b nguyên sao cho: 30a 70b  21 thì suy ra 21 chia hết cho 10, vô lí

Khoảng cách h từ một điểm M (a, b) đến D được cho bởi công thức

30a 70b 21h

30a 70

 





Do vậy ra cần tìm a, b nguyên để biểu thức A  10(3a 7b) 21 đạt giá trị nhỏ nhất Vì

3a 7b là một số nguyên, nên hiển nhiên A đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi:

Lấy đồng dư mod 3 của cả hai vế, ta được: 1 ( 1) (mod 3)z

Nên z phải là số chẵn Đặt z2t, với t nguyên dương, ta được:

3  5  2  (5  2 )(5 2 )

Trang 18

2 5  1 3 Nên lấy đồng dư mod 3 của cả hai vế, ta được: 2t1 1 (mod3)

Suy ra t 1 phải là số chẵn, tức là t lẻ, mâu thuẫn với kết quả trên Tóm lại phương trình có nghiệm nguyên dương duy nhất (2, 2, 2)

Đề 43: Xác định tất cả các số nguyên dương n, sao cho phương trình

  n n n

Trang 19

a Nếu m 0, tức là x  1, thì thay vào phương trình xuất phát ở đề toán, ta được

Điều này vô lí vì vế trái là số lẻ, còn vế phải là số chẵn Thành thử chỉ có giá trị n1 là thích hợp

Đề 44: Tổng của m số nguyên dương chẵn khác nhau và của n số nguyên dương lẻ khác nhau bằng

Trang 20

Ta hãy chứng tỏ rằng giá trị lớn nhất của 3m 4n 221 Muốn vậy để ý rằng phương trình

3m 4n 221 có cả thảy 18 nghiệm nguyên dương (m, n), chúng có dạng

Trang 21

Thành thử các giá trị mà n có thể nhận được là 10000, 10001, 10002, , 10099 (100 giá trị)

Đề 46: Cho 100 số a, b, c,…, z, mỗi số có thể lấy một trong hai giá trị: 4 hoặc 9 Người ta thành lập số:

z

9   9 (mod 100) từ đó bằng phép quy nạp theo số tự nhiên k, ta có:

410km  4m (mod 100) với mọi số tự nhiên k  0 và với mọi số tự nhiên m 1

Từ hai kết quả này, ta thấy để có (1), thì cần xác định số dư của

z

.

c

B b trong phép chia cho 10

Vì b có thể là 4 hoặc 9, và để ý rằng với k là một số nguyên dương, ta có:

Trang 22

3 Chứng tỏ rằng với mỗi số tự nhiên n, ta có l(n) 2 hoặc l(n) 3

4 Hãy chứng tỏ rằng tồn tại vô số tự nhiên n sao cho l(n) 3 ( l(n) kí hiệu số phần tử của l(n) )

Lời giải:

1) Cố định một số tự nhiên n: Hiển nhiên tồn tại một số tự nhiên (duy nhất) sao cho:

7   50  7 từ 7p1  50n suy ra 7p1  50 49n  50n1

Trang 23

Lại từ 50n 7p suy ra 50n1  7 50p  7p3

Như vậy ta có p 1 n p p 1 n 1 p 3

7   50  7  7   50   7 Chứng tỏ p1, p 3 l(n), còn p, p 1 l(n)

Vì không rõ p 2có thuộc l(n) hay không, nên ta kết luận | l(n) | 2 hoặc | l(n) | 3

2) Bây giờ ta cố định một số nguyên dương m Vì

k

k k

m # m , suy ra | l(n) |  4, đều vô lí

Ghi chú: bạn đọc yêu toán hãy giải thêm câu hỏi sau đây:

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất với | l(n) |  3 ĐS: n = 96

(Để đi đến đáp số này, hoàn toàn không cần đến các máy vi tính PC để mò mẫm tốn thời gian Chỉ cần lập luận toán học, và cuối cùng là một máy tính bỏ túi có nút ấn logarit)

Đề 48: n số nguyên dương thay đổi x , x , ,x1 2 n có tổng

x  x   x  m

Trang 24

với m là một số nguyên dương cho trước, m n Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Với dãy số này ta có: m ku(n k)(u1)  nu(n k) (1)

Vì 0  n k n1, nên để có (1), ta thấy rằng u là thương trong phép chia m cho n, và

n k r là số dư trong phép chia đó

Trang 25

Nói cách khác, dãy số trên (với tổng

n 2 i

Với r và u được xác định bởi (2)

Đề 49:  a , a , , a1 2 n là một hoán vị tùy ý của dãy 1, 2, , n Lập tổng 

Trang 26

Định dạng
Số trang	26
Dung lượng	1,11 MB