Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD.. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD) theo a.[r]
Trang 1
TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG ĐỀ THI THỬ KỲ THI QUỐC GIA THPT LẦN I
NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x= 3−3x2+ 2
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2 Tìm a để phương trình x3−3x2+ = có ba nghiệm thực phân biệt a 0
Câu II (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
1 Giải phương trình: log ( -3) 2log2 x + 4 x= 2
x
π
3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= x2 + −3 x xln trên đoạn [ ]1;2
Câu III (1,5 điểm)
1 Tìm nguyên hàm sau: I (x 2 3sinx)dx
x
2 Tính giới hạn:
2
2 0
lim
x x
x T
x
→
−
3 Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ để tham gia đồng diễn Tính xác suất sao cho 5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít hơn số học sinh nam
Câu IV (1.5 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 45 0
1 Tính thể tích của khối chóp S ABCD theo a
2 Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD theo a
3 Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD) theo a
Câu V(1,0 điểm) Giải hệ phương trình ( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= +
+ +
− +
= + +
10 )
1 ( 4 ) 1 9 (
1
1 1
9 1 3
2 2
3
2
x x
y x
x x
y xy
Câu VI(1,0 điểm) Trong mặt phẳngOxy , cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh AD sao cho AN =2ND Giả sử đường thẳng CN có phương trình x+2y−11 0= và
2 2
M ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠ Tìm tọa độ điểm C
Câu V (1,0 điểm ) Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn: xyz =2 2
8 8 2
2 4 4
8 8 2
2 4 4
8 8
≥ +
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+
x z x z
x z z
y z y
z y y
x y x
y x
-Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh:……… ; Số báo danh………
Trang 2
TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG ĐÁP ÁN TOÁN 12
(Đáp án gồm 5 trang)
I
(2.0) 1.(1.5 điểm)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x= 3−3x2+2
• Tập xác định: R
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y' 3= x2−6x; 0
' 0
2
x y
x
=
⎡
⎣
0.25
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0); đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 2) và
(0;+∞)
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -2; yCT = 3, đạt cực tiểu tại x = 0; yCĐ = -1
- Giới hạn: lim
x y
→−∞ = +∞; lim
x y
→+∞ = −∞
0.5
- Bảng biến thiên:
x −∞ 0 2 +∞
y' - 0 + 0 -
y
2
−∞ -2
0.25
• Đồ thị:
0.5
2.(0.5 điểm) Tìm a để phương trình x3−3x2 + = có ba nghiệm thực phân biệt a 0
• Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của (C) và đường thẳng
2
y= − , suy ra a a ∈(0;4)
0.25
II
(2.0) 1 (0.5 điểm) Giải phương trình: log ( -3) 2log2 x + 4x= 2
• Điều kiện:x >3
• Phương trình tương đương với log x( -3) 22 x = ⇔x(x 3) 4− =
0.25
x
π
2
x π
3
0.25
Trang 3
•
2
5
2 6
k x
π π
⎡
⎢
⎢⎣
0.25
3(0.5 điểm) Tìm GTLN-GTNN của hàm số y= x2+ −3 x xln trên đoạn [ ]1;2
x
−
• GTLN của hàm số trên đoạn [ ]1;2 là (1) 2y = , GTNN của hàm số trên đoạn [ ]1;2 là (2)y = 7 2ln 2−
0.25
1 (0.5 điểm) Tìm các nguyên hàm sau: I (x 2 3sinx)dx
x
x
•
2
2
x
2 (0.5 điểm) Tính giới hạn:
2
2 0
lim
x x
x T
x
→
−
•
2
x
x T
0.25
•
ln3
2 2
2sin
4 4
x
x e
T
x x
−
0.25
3 (0.5 điểm) Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp có 15 học sinh nam và 10
học sinh nữ để tham gia đồng diễn Tính xác suất sao cho 5 học sinh được chọn có
cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít hơn số học sinh nam
• Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử, ta có 5
25 ( ) C
n Ω =
• Gọi A là biến cố: “5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ
ít hơn số học sinh nam”
• TH1: 1 học sinh nữ và 4 học sinh nam, suy ra số cách chọn là:C C 10 151 4
• TH2: 2 học sinh nữ và 3 học sinh nam, suy ra số cách chọn là:C C 10 152 3
0.25
•
25
C
n
+
1 (05 điểm) Tính thể tích của khối chóp S ABCD theo a
(ABCD) 3
S ABCD
• Trong đó dt(ABCD) a= 2
0.25
• Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB) bằng góc
.
3
S ABCD
a ASD= ⇒SA AD= ASD a= ⇒V =
0.25
Trang 4
2.(0.5 điểm)Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
• Gọi I là trung điểm của SC, ta có IS IC ID IA IB= = = = (do các tam giác
SAC SBC SCD
Δ Δ Δ là các tam giác vuông), nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
0.25
SC a
3 (0.5 điểm) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD) theo a
2
• Gọi H là hình chiếu của A trên SD, ta có
(SCD) (SAD) (SCD)
AH SD
AH
⊥
⎧
⎨
⊥
⎩
, từ đó dẫn đến (O,(SCD)) 1
2
0.25
(O,(SCD)
V
(1.0 điểm) Giải hệ phương trình ( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= +
+ +
− +
= + +
10 )
1 ( 4 ) 1 9 (
1
1 1
9 1 3
2 2
3
2
x x
y x
x x
y xy
• ĐK:x ≥0
• Nhận xét: Nếu x = 0 thì không TM hệ PT Xét x > 0
PT (1) ⇔
x
x x
y y
1 9 3
⇔ 3 3 (3 ) 1 1 1 1 1
2 2
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
= + +
x x x y
y
0,25
• Từ (1) và x > 0 ta có: y > 0 Xét hàm số f(t)= t + t. 2 1
+
t , t > 0 Ta có: f’(t)
= 1 +
1
1 2
2 2
+ + +
t
t
t >0 Suy ra f(t) luôn đồng biến trên (0,+∞)
• PT(3) ⇔ f(3y)= f ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
x
1 ⇔ 3y =
x
1
0,25
• Thế vào pt(2) ta được PT: 3 2 4( 2 1) 10
= +
+
g(x)= 3 2 4( 2 1) 10
− +
+
x , x > 0 Ta có g’(x) > 0 với x > 0 ⇒ g(x) là
hàm số đồng biến trên khoảng (0,+∞)
0,25
• Ta có g(1) = 0 Vậy pt g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1
• Với x =1 ⇒ y =
3 1
• KL: Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (1;
3
1 )
0,25
Trang 5
VI (1.0 điểm)Trong mặt phẳngOxy , cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của
AB, N là điểm trên cạnh AD sao cho AN =2ND Giả sử đường thẳng CN có
phương trình x+2y−11 0= và điểm 5 1
;
2 2
M ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠ Tìm tọa độ điểm C
• Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên CN, ta có
3 5 (M, CN)
2
0.25
• Xét tam giác CMN, ta có
CN CM
3 10 2
MC =
0.25
• Do C thuộc đường thẳng CN nên C(11 2 ;− c c), từ
3 10 2
MC = ⇔5c2−35c+50 0=
0.25
V (1.0 điểm) Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn: xyz=2 2
8 8 2
2 4 4
8 8 2
2 4 4
8 8
≥ +
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+
x z x z
x z z
y z y
z y y
x y x
y x
• Đặt a = x2, b = y2, c = z2 , từ giả thiết ta có: a>0, b>0, c>0 và a.b.c = 8
• Do
2
2
a
2
) (
2
ab b
0,25
• Ta có:
4 4 2
2
4 4
2
3
b a
b a ab b a
b a
+
+
≥ + +
• Ta sẽ chứng minh:
1 2
3
2 2 2
2
4 4
b a b
a
b a
+
≥ +
• Thật vậy: (1) ⇔ 2(a +4 b4)≥(a +2 b2)2 ⇔ (a2 – b2)2 ≥0 (luôn đúng)
3
2 2
4 4
b a ab b a
b a
+
≥ + +
⇔ a=b
0,25
3
2 2
4 4
c b bc c b
c b
+
≥ + +
( )
3
2 2
4 4
a c ca a c
a c
+
≥ + +
• Cộng các vế các BĐT trên ta được:
0,25
Trang 6
3
2 2
4 4 2
2
4 4 2
2
4 4
c b a ca a c
a c bc c b
c b ab b a
b a
+ +
≥ + +
+ +
+ +
+ +
+ +
Dấu“=”có ⇔ a=b=c
3
=
≥ +
⇔ a=b=c Do đó ta có ĐPCM Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 2
0,25