Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 12 thành phố HN năm học 2014-2015 vòng 2.

Gọi E là trung điểm của AD và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD.. Chứng minh rằng các đường thẳng AI và EF vuông góc với nhau.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

Năm học: 2014 - 2015

Ngày thi: 28 – 10 - 2014

Thời gian làm bài: 180 phút ( Đề thi gồm 01 trang)

Bài 1 ( 2 điểm)

Xác định tất cả các số tự nhiên n sao cho tồn tại số tự nhiên m để 2

9

m  chia hết cho 2n 1

Bài 2 ( 4 điểm)

Tìm tất cả các hàm số: f R:  R thỏa mãn:

Bài 3 ( 3 điểm)

Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2

a b c  ab bc ca , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b c 1 9

abc a b c

 

Bài 4 ( 4 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) thỏa mãn AB < BD và CA = CD Gọi E là trung

điểm của AD và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD Đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC cắt cạnh AB tại F ( F khác A, F khác B) Chứng minh rằng các đường thẳng AI và EF vuông góc với nhau

Bài 5 ( 4 điểm) Cho dãy số  u n xác định bởi: 1 2

1

2015

2014 2014

u







 Chứng minh với mọi n nguyên dương các sốu u u1, 2, 3 ,u n đôi một nguyên tố cùng nhau

Bài 6 ( 3 điểm) Cho tập hợp M   1;0;1 Tìm số các bộ số a a1, 2 a2014 thỏa mãn điều kiện

, 2014

i

a   M i i và a ia i1  M i i, 2013

-HẾT -