Xác định vị trí hai điểm A, B thuộc (E) biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC có diện tích lớn nhất.. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm I trên .[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
1
x y x
có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm A, B sao cho đường thẳng AB đi qua điểm I(1;1) và trọng tâm tam
giác ABO thuộc đường thẳng d: 2x + 9y – 12 = 0
Câu 2 ( 2,0 điểm)
1 Giải phương trình: sin 2xcos 2x3cosxsinx 2 0
2 Giải hệ phương trình sau
2
Câu 3 (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm C(3;0) và elip (E) có phương trình
1
Xác định vị trí hai điểm A, B thuộc (E) biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC có diện tích lớn nhất
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1 = 0 và đường thẳng d:
cắt nhau tại điểm I Gọi là đường thẳng nằm trong (P), vuông góc với d, khoảng cách từ I đến bằng 3 2 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm I trên
Câu 4 (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (SAB) bằng 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD
Câu 5 (2,0 điểm)
1 Tính tích phân:
2 1
ln 2 ln 1
ln 1
e
dx
2 Cho hai số phức z và w thỏa mãn z w Chứng minh rằng số 1
2 2
w
z z
là số thực
Câu 6: ( 1 điểm)
Trang 2Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:
-HẾT - ĐÁN ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN
1 1 TXĐ: R\ 1
1
1
y
x
1
x
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 1;
0,25
Giới hạn:
đường tiệm cận đứng của đồ thị là x = -1
2 1
1
x
x x
đường tiệm cận ngang của đồ thị là y =2
0,25
Bảng biến thiên
0,25
Đồ thị
Nhận xét: đồ thị nhận điểm I(-1;2) là tâm đối xứng 0,25
2 Vì đường thẳng x = 1 chỉ cắt đồ thị tại 1 điểm nên phương trình đường thẳngAB qua I(1;1) có dạng
(d): y = k ( x – 1 ) + 1
Trang 3Hoành độ của A, B là nghiệm của phương trình:
1
x
x
( Vì x = -1 không là nghiệm)
Vì 1 k2 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt 0
Gọi điểm A x y 1; 1;B x y 2; 2 trong đó x x là nghiệm của phương trình (*) 1, 2
Theo định lý viet ta có: 1 2
1 2
1
k
x x
Gọi G là trọng tâm tam giác ABO khi đó: 1
G
x
k
1
G
y
0,25
Vì G thuộc đường thẳng 2x + 9y – 12 = 0 ta có:
2
2
1
6
k k
k
k
0,25
Với
1 4 2;3 , ; 2
2 3 2
1
2,3 , ; 2
2 3
x k
x
0,25
sin 2 cos 2 3 cos sin 2 0
2 sin cos sin 2 cos 3cos 1 0
1 cos
2 sin cos 1
x
0,25
2 1
sin cos 1 sin
2
0,25
1 cos
x x k
Kết luận nghiệm của phương trình là 2 ; 2 ; 2
xk x k x k
0,25
Trang 42
Ta có:
2 1
thế vào (2) ta được:
2
1 2
2
0
y x
y
Vậy hệ có nghiệm là: (0;0), (2;1), (2;2)
0,5
Gọi A(a,b) thuộc (E)
1
Vì B đối xứng với A qua trục Ox nên B(a;-b)
0,25
Gọi H là trung điểm của AB ta có:
2
0,25
ABC
2
Vậy max 9 3
2
ABC
2
Vậy 3; 3 , 3; 3
A B
A B
0,25
2 I d( )P I3;0; 4
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P) suy ra một vectơ pháo tuyến của (Q) là:
, 2; 4; 2 / / 1; 2; 1
0,25
Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) suy ra một vecto chỉ phương của 1 d là: 1
1 , 3; 0; 3 / / 1; 0;1
n n n
0,25
Trang 5PT d đi qua I(3;0;4) là 1
3 0 4
y
Gọi M là hình chiếu của I trên Md1M3t;0; 4t
Ta có Md1M3t; 0; 4t
3
t
t
Vậy M(6;0;7) hoặc M(0;0;1)
0,25
4 Gọi O là tâm hình vuông ABCD Vì S.ABCD
là hình chóp đều nên SOABCD
Kẻ AM SB M SB
Vì ACSBD ACSB
SAB , SBC AM CM, 60
Vì BOM vuông tại M nên OM BOAO
Suy ra
tanAMO AO AMO 45o AMC 90
MO
Vậy 120o
AMC
0,25
tan
tan 60 6
MO
Trong tam giác vuông SBO ta có: 1 2 12 12
2
a SO
Vậy
3
1
a
0,25
Trang 6Trong mặt phẳng (SBD) kẻ trung trực của SB cắt SO
tại I
Vì ISOIBICID
Vì I thuộc trung trực của SBIS IB
Ta có
2
4
Vậy bán kính mặt cầu 3
4
a
R
0,5
ln
1
e
xdxx x xddx e dx
1
ln 1
ln 1
ln ln 1 ln 1
e
x
2 1
ln 2 ln 1
1 ln 1
ln 1
e
0,5
Đặt
2 2
w
z A
z
Ta có:
2 2
1
w
z
0,5
Ta có A = a + bi nên AA a bi a bibi0b 0
6
Đặt x 1,b 1,z 1
Khi đó VT(1)
Theo Côsi
3
3
3
0,25
Trang 7Cộng các bđt vế với vế ta được 1 3
Mặt khác abc = 1 nên xyz = 1, do đó x y z 33 xyz Từ đó suy ra đpcm 3
