Tuyển tập 8 đề thi môn toán giải tích 2 của trường Đại học Xây dựng Hà Nội

Kí hiệu L là biên của miền D định hướng ngược chiều kim đồng hồ... Kí hiệu L là biên của miền D định hướng ngược chiều kim đồng hồ.[r]

Trường Đại học Xây dựng

Đề thi môn giải tích 2 –khóa 58

Thời gian: 90 phút

Đề số 1

Câu 1: Cho hàm 2 2

( , ) (0, 0) 2

0 ( , ) (0, 0) ( , )

xy khi x y

x y khi x y

f x y









 

 a) Hàmf(x,y) có liên tục trên 2

 không? Tại sao?

b) Tồn tại hay không các đạo hàm riêng của f tại điểm (0,0)?

c) Hãy tính T = ( ) (M)

y

f M x

f











tại M (0,1)

Câu 2: Tìm cực trị hàm f( x,y ) = 2 2

x +2xy- 2

x y+3y2-3y3-y-4x

Câu 3: Sử dụng phép đổi biến x 2rcost,yrsint hãy tính tích phân kép    



D

y x

e

dxdy

2

2 4

2

{( , ) | 4 16, 0, 0}

Câu 4: Dlà miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi 2 đường cong y 2xvà 2

4x  y Kí hiệu L là biên của miền D định hướng ngược chiều kim đồng hồ

a) Tính trực tiếp tích phân đường loại hai 

L

dx

y2 , sử dụng các biểu diễn tham số của L

b) Tính tích phân 

L

dx

y2 bằng cách sử dụng định lí Green

Câu 1: Cho hàm

2 ( , )

xy

khi x y

f x y

khi x y









 



a) Hàm f(x,y)có liên tục trên 2

 không? Tại sao?

b) Tồn tại hay không các đạo hàm riêng của f tại điểm (0,0)?

c) Hãy tính T = ( ) (M)

y

f M x

f











tại M (1,0)

Câu 2: Tìm cực trị hàm f( x,y ) = 2 2

x -2xy- 2

x y+3y2-3y3-y+4x

Câu 3: Sử dụng phép đổi biến xrcost,y  2rsint hãy tính tích phân kép    



D

y x

e

dxdy

2 2

4

3

Với miền D  {( , ) x y 2| 4 x2  y2  16, x  0, y  0}

Câu 4: Dlà miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi 2 đường cong y 2xvà 2

2x

y  Kí hiệu L là biên của miền D định hướng ngược chiều kim đồng hồ

a) Tính trực tiếp tích phân đường loại hai 

L

dx

y2 , sử dụng các biểu diễn tham số của L

b) Tính tích phân 

L

dx

y2 bằng cách sử dụng định lí Green

Câu 5: Giải phương trình " ' 42

2

x y

xy   , biết y 1 x là một nghiệm của phương trình thuần nhất

0

2 '

"



 y

xy

Đề số 3 Câu 1: Hệ thức x2 y4 3xyx1 xác định hàm ẩn khả vi y ( x)tại lân cận điểm

1 ) 2

(

,

 y 

x Hãy tính '(2)và "(2)

Câu 2: Tìm cực trị hàm f(x,y,z)  x y 2zvới điều kiện 1

2 4 4

2 2 2





 y z

x

Câu 3: Tính thể tích phần hình cầu x2 y2 z2 4 nằm trong hình trụ x2  y2 2y0

Câu 4: Gọi L là giao cảu mặt parabôlôit 2 2

4 x y

z   và mặt phẳng z3

a) Tìm một biểu diễn tham số của L và sử dụng nó để tính tích phân đường loại hai

dz y x x xdy

L

) ( 2  



 hướng của L ngược chiều kim đồng hồ nếu ta đứng dọc theo trục Oz nhìn xuống

b) Sử dụng định lí Stokes để tính tích phân đường ở câu a)

Câu 5: Giải các phương trình vi phân sau

a) (ycosx3x2)dxsin xdy0

b) y"  4y 4x 4

Đề số 4:

Câu 1: Hệ thức x5 3xyy6 1 xác định hàm ẩn khả vi y ( x)tại lân cận điểm

0 )

1

(

,

 y 

x Hãy tính '(1)và "(1)

Câu 2: Tìm cực trị hàm f(x,y,z)  x y 2zvới điều kiện 1

2 4 4

2 2 2





 y z

x

Câu 3: Tính thể tích phần hình cầu x2 y2 z2 4 nằm trong hình trụ x2  y2 2x0

Câu 4: Gọi L là giao cảu mặt parabôlôit 2 2

6 x y

z   và mặt phẳng z2

a) Tìm một biểu diễn tham số của L và sử dụng nó để tính tích phân đường loại hai

dz y x e xdy

L

x

) (  



 hướng của L ngược chiều kim đồng hồ nếu ta đứng dọc theo trục Oz nhìn xuống

b) Sử dụng định lí Stokes để tính tích phân đường ở câu a)

Câu 5: Giải các phương trình vi phân sau

c) e y dx(xe y 4y)dy0

d) y"  4y sin 2x

Đề số 5:

Câu 1:

Cho hàm véc tơ g: 2





 , g(t)  ( 2t,t) và hàm thực hai biến f :2 , f(x,y) xy2x

a) Tính các đạo hàm riêng f x',f y' tại M(1,1) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm f khả vi tại M(1,1)

b) Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp để tính u'(t), biết u  fog

2 2

2xy y z xz z x

Câu 3: Tính tích phân   v(1 x2 y2)dxdydz với V là miền không gian giới hạn bởi mặt parabôlôit 2 2

9 x y

z    và mặt phẳng z = 5

Câu 4: Hãy tìm hàm u(x,y,z) sao cho (2 ) 2 ( 2 )

dz yz x dy z dx z x

loại hai I   L( 2xz)dxz2dy (x 2yz)dz biết L là đoạn thẳng nối 2 điểm A(1,1,1) và B(2,-1,1) theo hướng từ A đến B

Câu 5: Giải các phương trình vi phân sau:





 y y x

x

y

b) y" ye2xsinx

Đề số 6:

Câu 1:

Cho hàm véc tơ g: 2





 , g(t)  ( 2t,t) và hàm thực hai biến f :2 , f(x,y)2yxy

c) Tính các đạo hàm riêng f x',f y' tại M(1,1) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm f khả vi tại M(1,1)

d) Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp để tính u'(t), biết u  fog

2 4 4 2

5x xy y z xz z

Câu 3: Tính tích phân   v(1 x2 y2)dxdydz với V là miền không gian giới hạn bởi mặt parabôlôit 2 2

5 x y

z    và mặt phẳng z = 4

Câu 4: Hãy tìm hàm u(x,y,z) sao cho (2 ) 2 ( 2 )

dz x x ydy dx

z xz

loại hai I   L( 2xzz)dx 2ydy (x2 x)dz biết L là đoạn thẳng nối 2 điểm A(1,2,1) và

B(2,0,1) theo hướng từ A đến B

Câu 5: Giải các phương trình vi phân sau:

a) (1 2) ( 2) 0







x dy xy y dx

b) y" ye2xsinx

Đề số 7:

Câu 1: Tìm vi phân toàn phần hàm số y z

x

u  với x>0, y>0, z>0

Câu 2: Tìm cực trị hàm f(x,y,z) x2 4y8z với điều kiện x2 y2 z2 20

Câu 3: Tính thể tích phần hình cầu x2 y2 z2 4 nằm trong mặt trụ x2  y2 2y0

Câu 4:

a) L là cung trơn bất kì nối hai điểm A(1,0), B(0,1) và không cắt đường thẳng x+y=0 Cung

L được định hướng từ A đến B Xác định a để thích phân sau không phụ thuộc L và tính tích phân đó

2 2

2

) (

) ( ) 2

(

y x

dy y x dx ay xy x

L

b) Tính tích phân mặt loại hai  S dydz x biết S là mặt cầu 2 2 2 2







 y z

phía ngoài

Câu 5:

a) Giải phương trình (2xe y  y4)y'  ye y dx

b) Tìm nghiệm y  y (x)của phương trình y" 3y' 2ye x(34x)thỏa mãn điều kiện y(0)

= 0

Đề số 8:

Câu 1: Tìm vi phân toàn phần hàm số x y

z

u  với x>0, y>0, z>0

Câu 2: Tìm cực trị hàm f(x,y,z)4xy2 8z với điều kiện x2 y2 z2 20

Câu 3: Tính thể tích phần hình cầu x2 y2 z2 4 nằm trong mặt trụ x2  y2 2x0

Câu 4:

c) L là cung trơn bất kì nối hai điểm A(1,0), B(0,1) và không cắt đường thẳng x+y=0 Cung

L được định hướng từ A đến B Xác định a để thích phân sau không phụ thuộc L và tính tích phân đó

2 2

2 2

) (

) 2

( ) 5 2 (

y x

dy ay xy x

dx y xy x

L

d) Tính tích phân mặt loại hai  S dydz z biết S là mặt cầu x2  y2 z2 4 định hướng ra phía ngoài

Câu 5:

c) Giải phương trình (x2  y3)y'  xy

d) Tìm nghiệm y  y (x)của phương trình x

xe y y

y"  ' 2  2 thỏa mãn điều kiện y(0) = 0