Tuyển tập các đề thi vào các trường chuyên ở Hà Nội từ năm 1996 đến 2006

Một nông trường dự định trồng 75ha rừng trong một tuần lễ. Do mỗi tuần trồng vượt mức 5ha so với kế hoạch nên đã trồng được 80ha và hoàn thành sớm trước một tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trườ[r]

Bài 1 ( 3 điểm ) Cho biểu thức P x x 1 x x 1 x 1.

Bài 2 ( 2 điểm ) Cho bất phương trình 3m1x 1 2mx m( là tham số)

1 Giải bất phương trình với m  1 2 2

2 Tìm m để bất phương trình nhận mọi giá trị x 1 là nghiệm

Bài 3 ( 2 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng

1 Tìm a để  d cắt  P tại hai điểm phân biệt A và B Chứng minh rằng khi

đó A và B nằm bên phải trục tung

2 Gọi x và A x là hoành độ của B A và B tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ,

Bài 4 ( 3 điểm ) Đường tròn tâm O có dây cung AB cố định và I là điểm chính

giữa của cung lớn AB.Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn AB dựng tia , Ax

vuông góc với đường thẳng MI tại H và cắt BM tại C

1 Chứng minh AIB,AMC là tam giác cân

2 Khi điểm M di động, chứng minh rằng điểm C di động trên một cung tròn cố

định

3 Xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMC đạt giá trị lớn nhất

Bài 5 ( 1 điểm ) Cho tam giác ABC vuông ở A có ABAC và trung tuyến

AM ACB AMB Chứng minh rằng sin cos2  1 sin 

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Trường THPT Chu Văn An và Hà Nội – Amstecdam

Năm học 2004- 2005

Môn thi : Toán Ngày 180- 6 -2004 Thời gian làm bài :150 phút

Bài 1 ( 2 điểm ) Cho biểu thức

1 Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá của m

2 Tìm m để tỷ số giữa hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng 2

Bài 3 ( 2 điểm ) Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng  d có phương trình

2kx k1 y2(k là tham số )

1 Với giá trị nào của k thì đường thẳng  d song song với đường thẳng

3

yx Khi đó hãy tính góc tạo bởi  d với tia O x

2 Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng  d là lớn nhất

Bài 4 ( 4 điểm ) Cho góc vuông xOy và hai điểm , A B nằm trên cạnh O ( x A nằm

giữa O và B điểm ), M bất kỳ trên cạnh Oy Đường tròn  T đường kính AB

cắt tia MA MB lần lượt tại điểm thứ hai là , , C E Tia OE cắt đường tròn  T tại điểm thứ hai là F

1 Chứng minh bốn điểm O A E M nằm trên một đường tròn, xác định tâm của , , ,đường tròn đó

2 Tứ giác OCFM là hình gì Tại sao

3 Chứng minh hệ thức OE.OFBE BM OB2

4 Xác định vị trí của điểm M để tứ giác OCFM là hình bình hành, tìm mối quan hệ giữa OA và AB để tứ giác là hình thoi

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Trường THPT Chu Văn An và Hà Nội – Amstecdam

Năm học 2003- 2004

Môn thi : Toán Ngày 26- 6 -2003 Thời gian làm bài :150 phút Bài 1: ( 3 điểm ) Cho biểu thức 2 2 2 1

1 Viết phương trình của đường thẳng  d Chứng minh rằng với mọi giá trị của

 

,

k d luôn cắt  P tại hai điểm phân biệt A và B

2 Gọi hoành độ của A và B là x và 1 x chứng minh 2, x1x2 2

3 Chứng minh tam giác OAB vuông

Bài 3 ( 4 điểm ) Cho đoạn thẳng AB2a có trung điểm là O Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn  O đường kính AB và nửa đường tròn

 O' đường kính AO Trên  O' lấy một điểm M ( khác A và O , tia ) OM cắt

 O tại C gọi , D là giao điểm thứ hai của CA với  O'

1 Chứng minh tam giác ADM cân

2 Tiếp tuyến tại C của  O cắt tia OD tại E xác định vị trí tương đối của ,

đường thẳng EA đối với  O và  O'

3 Đường thẳng AM cắt OD tại H đường tròn ngoại tiếp , COH cắt  O tại điểm thứ hai là N Chứng minh rằng ba điểm A M và , N thẳng hàng

4 Tại vị trí của M sao cho ME/ /AB hãy tính độ dài đoạn thẳng , OM theo a

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Trường THPT Chu Văn An và Hà Nội – Amstecdam

Năm học 2002- 2003

Môn thi : Toán Ngày 21- 6 -2002 Thời gian làm bài :150 phút

1 Giải hệ phương trình với m   3

2 Trong mặt phẳng toạ độ xOy xét hai đường thẳng có phương trình là (1) và (2)

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (1) đi qua điểm cố định

B và đường thẳng (2) đi qua điểm cố định C

b) Tìm m để giao điểm A của hai đường thẳng thoả mãn điều kiện BAC vuông Tính diện tích ABC ứng với giá trị đó của m

Bài 3 ( 4 điểm ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính , BC và một điểm A

trên nửa đường tròn ( A khác , ) B C Hạ AH vuông góc với BC H thuộc ( BC ).Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn đường kính , HB

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Trường THPT Chu Văn An và Hà Nội – Amstecdam

Năm học 2001- 2002

Môn thi : Toán Ngày 21- 6 -2001 Thời gian làm bài :150 phút Bài 1 ( 3 điểm ) Cho biểu thức

2 Tìm các giá trị của m để phương trtình (1) nhận x 5 2 là nghiệm 6

3 Gọi m m là hai nghiệm của phương trình (1) ( ẩn 1, 2 m ) Tìm x để m m là số 1, 2

đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 4 22

Bài 3 ( 4 điểm ) Cho hai đường tròn  O , bán kính R và đường tròn  O' bán kính

2

R

tiếp xúc ngoài tại A Trên đường tròn  O lấy điểm B sao cho ABR

và điểm M trên cung lớn AB Tia MA cắt đường tròn  O' tại điểm thứ hai là

N Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MB tại Q và cắt

đường tròn  O' tại P

1 Chứng minh OAM đồng dạng với O AN'

2 Chứng minh độ dài đoạn thẳng NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M

3 Tứ giác ABQP là hình gì Tại sao

4 Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất, tính

giá trị đó theo R

Bài 4 ( 1 điểm ) Cho biểu thức A x2y2xy2x2 y Tìm cặp số x y;  để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Trường THPT Chu Văn An và Hà Nội – Amstecdam

Năm học 2000- 2001

Môn thi : Toán Ngày 21- 6 -200

Thời gian làm bài :150 phút

Bài 1 ( 3 điểm ) Cho biểu thức P 2x 2 x x 1 x x 1

1 Vẽ parabol  P và đường thẳng  d khi m 1

2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng  d luôn đi qua một điểm cố định và luôn cắt  P tại hai điểm phân biệt A và B

3 Tìm giá trị của tham số m để diện tích tam giác OAB bằng 2 (đơn vị diện tích)

Bài 3 ( 4 điểm ) Cho đoạn thẳng AB2a có trung điểm là O Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia A ,x By vuông góc với AB Một đường thẳng  d thay đổi cắt Ax ở M cắt By ở , N sao cho luôn có AM BN a2

1 Chứng minh OAM đồng dạng với BNO và góc MON vuông 

2 Gọi H là hình chiếu của O trên MN chứng minh rằng đường thẳng ,  d luôn tiếp xúc với một nửa đường tròn cố định tại H

3 Chứng minh rằng tâm I của đường tròn ngoại tiếp MON chạy trên một tia

cố định

4 Tìm vị trí của đường thẳng  d sao cho chu vi AHBđạt giá trị lớn nhất, tính giá trị lớn nhất đó theo a .

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi a, b, c> 0, ta có:

a

c c

b b

a a

c c

b b

3 3

b) Tìm các giá trị nguyên của x để P 0

c) Với giá trị nào của x thì biểu thức 1

P đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 2 ( 3 điểm ) Cho phương trình 2 2

5 0(

x mxm   m là tham số )

1 Giải phương trình với m  1 2

2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

3 Với những giá trị của m mà phương trình có nghiệm, hãy tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất trong tất cả các nghiệm đó

Bài 3 ( 4 điểm ) Cho tam giác ABC có góc A tù, đường tròn  O đường kính

AB cắt đường tròn  O' đường kính AC tại giao điểm thứ hai là H Một đường thẳng  d quay quanh A cắt đường tròn  O và đường tròn  O' lần lượt tại M

và N sao cho A nằm giữa M và N

1 Chứng minh H thuộc BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông

2 Chứng minh tỷ số HM

HN không đổi

3 Gọi I là trung điểm của MN K là trung điểm của , BC Chứng minh bốn điểm , , ,

A H K I thuộc một đường tròn và I di chuyển trên một cung tròn cố định

5 Xác định vị trí của đường thẳng  d để diện tích HMN lớn nhất

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Trường THPT Chu Văn An và Hà Nội – Amstecdam

Năm học 1999-2000

Môn thi : Toán Ngày 17- 6 -1999 Thời gian làm bài :150 phút Bài 1 (3 điểm ) Cho biểu thức

1 Giải phương trình với m  1

2 Chứng minh rằng phường trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x x với mọi 1, 2giá trị của tham số m

3 Tìm các giá trị của m để x1  x2 2

Bài 3 ( 4 điểm ) Cho đường tròn O R;  đường kính AB kẻ tia tiếp tuyến , Ax và lấy trên đó một điểm P AP R Từ P kẻ PM tiếp xúc với đường tròn tại M

1 Tứ giác OBMP là hình gì tại sao

2 Cho APR 3 Chứng minh tam giác PAM có trực tâm H nằm trên đường tròn O R; 

3 Chứng minh rằng khi P di động trên tia Ax AP R thì trực tâm H của tam giác PAM chạy trên một cung tròn cố định

Bài 1 ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức 3 3 3 2

Bài 2 (2,5 điểm ) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Một máy bơm để bơm đầy một bể nước có thể tích 60m với thời gian định trước 3

Khi đã bơm được 1

2 bể thì mất điện trong 48 phút Đến lúc có điện trở lại người

ta sử dụng thêm một máy bơm thứ hai có công suất 10m3/ h Cả hai máy bơm

cùng hoạt động để bơm đầy bể đúng với thời gian dự kiến Tính công suất của máy bơm thứ nhất và thời gian máy bơm đó hoạt động

Bài 3( 4 điểm ) Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đường tròn  O Tia phân giác của B cắt đường tròn tại D tia phân giác của , C cắt đường tròn tại , E

hai tia phân giác này cắt nhau tại F Gọi I K theo thứ tự là giao điểm của dây ,

DEvới các cạnh AB AC ,

a) Chứng minh các tam giác EBF D, AF cân

b) Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp và FK song song AB

c) Tứ giác AIFK là hình gì Tại sao

d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEFD là hình thoi, đông thời có diện tích gấp 3 lần diện tích tứ giác AIFK

Bài 4 (1 điểm) Tìm giá trị của x thoả mãn hệ thức sau

c) Tìm các giá trị của aN sao cho Plà số tự nhiên

Bài 2 (2,5 điểm ) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Một nông trường dự định trồng 75ha rừng trong một tuần lễ Do mỗi tuần trồng vượt mức 5ha so với kế hoạch nên đã trồng được 80ha và hoàn thành sớm trước một tuần Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng

Bài 3 (4 điểm ) Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB dựng các hình vuông AMCD và

MBEF Hai đường thẳng AF và BC cắt nhau ở N

a) Chứng minh AF BC, suy ra điểm N nằm trên hai đường tròn ngoại tiếp các hình vuông AMCD và MBEF

b) Chứng minh ba điểm D N E thẳng hàng và , , MN DE tại N

c) Cho A B cố định còn , M di động trên đoạn AB chứng minh đường thẳng ,

MN luôn đi qua một điểm cố định

d) Tìm vị trí điểm M sao cho đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất

Bài 4 (1 điểm) Cho hai phương trình 2  

ax bx c 0 1 và 2  

0 2

cx bxaVới a c  0 Gọi   là hai nghiệm lớn nhất Chứng minh ,   2

Bài 1 (2 điểm) Cho các biểu thức 2 3 2

2

x x P

b) Tìm giá trị của x để AB

Bài 2 (3 điểm) Cho phương trình 2  

x  m xm  x là ẩn ) a) Xác định m để phương trình có một nghiệm x  1 và tìm nghiệm còn lại b) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x x với 1, 2mọi giá trị của m

c) Với giá trị nào của m thì x12 x22 đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài 3 (4 điểm ) Cho đường tròn  O đường kính AB2R và một điểm C trên

đường tròn (C không trùng với Avà B Trên nửa mặt phẳng bờ ) ABcó chứa điểm ,C kẻ tia Axtiếp xúc với đường tròn  O Gọi M là điểm chính giữa của

cung nhỏ AC P là giao điểm của , AC BM Tia , BC cắt các tia AM, Ax lần lượt

tại N Q ,

a) Chứng minh tam giác ABN cân

b) Tứ giác APNQ là hình gì Tại sao

c) Gọi K là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm C Hỏi có thể xảy

ra ba điểm Q M K thẳng hàng được không Tại sao , ,

d) Xác định vị trí điểm C để đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ tiếp xúc với

b) Tìm điều kiện của x để P 0

Bài 2 ( 2,5 điểm ) Cho hệ phương trình  1 2 1

b) Chứng minh rằng m hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất

c) Tìm m để xy đạt giá trị lớn nhất

Bài 3 (4 điểm ) Cho đường tròn O R;  và tam giác cân ABC AB  ACR nội tiếp đường tròn ấy Kẻ đường kính AI Gọi M là điểm bất kỳ trên cung AC nhỏ

Mx là tia đối của tia MC Trên tia đối của tia MBlấy một điểm D sao cho

MDMC

1) Chứng minh rằng tia MA là tia phân giác của BMx .

2) Gọi K là giao điểm thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn  O Tứ giác MIKD là hình gì Tại sao

3) Gọi G là trọng tâm MDK Chứng minh rằng khi M di động trên AC nhỏ thì G luôn nằm trên một đường tròn cố định

d) Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD với đường tròn  O ,Elà giao điểm thứ hai của phân giác IBN với đường tròn  O Chứng minh rằng đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên ACnhỏ

Bài 4 ( 1 điểm) Tìm đa thức f x  biết f x  chia cho x 2 dư 2, f x  chia cho x 2 dư -2, f x  chia cho x  được thương là x và còn dư 2 4

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Trường THPT Chu Văn An và Hà Nội – Amstecdam

Năm học 1992-1993

Môn thi : Toán Ngày 18- 7 -1992 Thời gian làm bài :150 phút

Bài 1 ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức

2 3

.1

a E

2 quãng đường AB thì xe con tăng vận tốc thành 45km/h nên sau đó 1giờ thì đuổi kịp ôtô tải Tính quãng đường AB

Bài 3 ( 4 điểm ) Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó có một điểm M.Trên đường kính AB có một điểm C sao cho ACBC Trên nửa mặt phẳng bờ

ABcó chứa M kẻ các tia , Ax và By cùng  AB Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax tại F Đường thẳng qua C vuông góc CF cắt By tại điểm

Q Gọi D là giao điểm của CFvới AM E là giao điểm của CQ với , BM

1) Chứng minh rằng các tứ giác ACMF và CDME nội tiếp

2) Chứng mỉnh rằng AB/ /DE

3) Chứng minh rằng ba điểm F M Q thẳng hàng , ,

4) Ngoài điểm M ra, các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMF và EMQ còn

có điểm chung nào nửa không? Tại sao?

Bài 4 (1 điểm) Giải phương trình 2x4 x35x2  x 2 0

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức QP x nhận giá trị nguyên

Câu 3 (2 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol  P có phương trình

2

.2

x

y  Gọi  d là đường thẳng đi qua điểm I0; 2  và có hệ số góc là k.a) Viết phương trình đường thẳng  d Chứng minh rằng đường thẳng  d luôn cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt A và B khi k thay đổi

b) Gọi H K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của , A và B lên trục hoành Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I

Câu 4 (3 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính , R và AB là đường kính cố định của đường tròn  O Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn  O tại

B MN là đường kính thay đổi của đường tròn  O sao cho MN không vuông góc với AB và M  A M, B Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng

d tương ứng tại C và D Gọi Ilà trung điểm của đoạn thẳng CD H là giao ,điểm của AI và MN Khi MN thay đổi, chứng minh rằng

a) Tích AM AC không đổi

b) Bốn điểm C M N D cùng thuộc một đường tròn , , ,

c) Điểm H luôn thuộc một đường tròn cố định

d) Tâm J của đường tròn ngoại tiếp tam giác HIB luôn thuộc một đường thẳng

Bài 2( 2 điểm )

giữa hai nghiệm x x của phương trình (1) có hệ thức 1, 2 2x13x2 13.

Bài 3 (1 điểm ) Cho phương trình  2  2  2   

tương ứng tại các điểm M N P , ,

1 Chứng minh tam giác NIC cân tại N

2 Chứng minh rằng điểm I là trực tâm của tam giác MNP

3 Gọi E là giao điểm của MN và AC F là giao điểm của , PM và AB Chứng minh rằng ba điểm E I F thẳng hàng , ,

4 Gọi K là chung điểm của BC và giả sử rằng BI vuông góc với IK BI, 2IK

hãy tính góc Acủa tam giác ABC

Bài 5 ( 1 điểm ) Giải phương trình 5x36x212x 8 0

Bài 1 (2 điểm ) Cho biểu thức

.1

a) Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M

b) Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của M