Do tính nhỏ nhất và không chứa điểm nguyên nào bên trong của ABCDE suy ra ngũ giác MBCDE phải chứa một điểm nguyên T bên trong. Mâu thuẫn vì T cũng nằm trong ABCDE. 2) Thí sinh có cách[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 CHUYÊN THPT LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin) Bài I: (2 điểm)
1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = a + 2b + 3c = 14 Tính giá trị của biểu thức
T = abc
2) Cho n là số nguyên dương Chứng minh A = 24n + 1 + 34n + 2 là hợp số
Bài II: (3 điểm)
1) Giải phương trình 2x2+5x− =1 7 x3−1
2) Giải hệ phương trình
⎪
⎨
⎪⎩
Bài III: (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh
b c a c a b a b c
+ +
Bài IV: (3 điểm)
Cho đường tròn (O, R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn sao cho SO = 2R Từ S
kẻ hai tiếp tuyến SA, SB (A ∈ (O), B ∈ (O)) và cát tuyến SCD (C nằm giữa S và D) thay đổi Gọi K là trung điểm của CD và H là giao điểm của AB và SO
1) Chứng minh 4 điểm C, D, H, O nằm trên một đường tròn
2) Chứng minh AC.BD = 1
2AB.CD
3) Tìm vị trí của điểm K sao cho 1 + 1
KA KB nhỏ nhất
Bài V: (1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ngũ giác lồi ABCDE có tọa độ các đỉnh là các số nguyên Chứng minh tồn tại ít nhất một điểm nằm trong ngũ giác đó có tọa độ là các số nguyên
- Hết -
(Giám thị không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký của giám thị số 1: Chữ ký của giám thị số 2:
Trang 2TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ LẦN 3 VÀO LỚP 10
NGUYỄN HUỆ NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: TOÁN (Dành cho hệ chuyên Toán và chuyên Tin)
Ta có
2 3 14
⎧ + + =
⎨
+ + =
⎩
⇒
2a 4 6 28
⎧ + + =
⎨
+ + =
⇒ a2 + b2 + c2 – 2a – 4b – 6c = - 14
⇔ (a – 1)2 + (b – 2)2 + (c – 3)2 = 0
0,25
2 Chứng minh rằng A = 2 4n + 1 + 3 4n + 2 là hợp số
1,0
A =2.16n + 81n + 2
Vì 2.16n ≡ 2 (mod 5)
Từ (1) và (2) suy ra với mọi n > 0, A > 5 và A chia hết cho 5 nên A là hợp số 0,25
Điều kiện x ≥1
Ta có 3(x−1)+2(x2+ +x 1)=7 (x−1) (x2 + +x 1) 0,5 Đặt a x= − ≥1 0;b x= 2 + + >x 1 0ta được:
9
4
b a
b a
=
⎡
⎢
⎢ =
⎣
0,5
2 Giải hệ phương trình
1,5
Ta có
( )
⎪
⎨
⎪⎩
Coi (2) là phương trình bậc 2 ẩn y, suy ra: Δ = 9x2 5 4
4
⎡
⎣
y x
0,5 Với y= −4 x (4 x)− 2 =5x2+14x 8+
Trang 3III Chứng minh bất đẳng thức 1,0
2b c+ +2b c+ +2c a+ ≥4b+4c a+
b c c a c a a b a b b c
a b c+ +
=
B
O
K C
D A
S
Δ SAC ∼ Δ SDA
SA2 = SH.SO (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ SC.SD = SH.SO
⇒ Δ SCO ∼ Δ SHD
2
3) Chứng minh rằng AC.BD = 1
2
1
2sđªAC=1
2sđªBC=BAC ∑
Trang 4⇒ Δ CAK ∼ Δ BAD ⇒ AC CK
AB = BD ⇒ AC.BD = AB.CK
Vì K là trung điểm của CD nên 1
2
0,5
3
Vì SO = 2R ⇒ Δ SAB đều
Trên tia KS lấy điểm M sao cho KM = KB ⇒ Δ KMB đều (KM = KB và
⇒ Δ SMB = Δ AKB
Ta có:
KA + KB = SM + MK = SK ≤ SO = 2R
(vì 5 điểm S, A, B, K, O) nằm trên đường tròn đường kính SO.)
A
⇒ min 1 1
2
R khi SCD là cát tuyến đi qua tâm O hay C là trung
điểm của SO
0, 5
Giả sử tồn tại ngũ giác nguyên mà bên trong không chứa một điểm nguyên
nào Trong tất cả các ngũ giác trên ta chọn ngũ giác có diện tích nhỏ nhất
không chứa một điểm nguyên nào giả sử là ABCDE
Theo nguyên lí Dirichlet: vì có 5 điểm A, B, C, D, E tọa độ nguyên nên tồn tại
ít nhất 2 điểm tạm gọi là X,Y mà cặp tọa độ (x y, )của chúng có cùng tính chẵn
lẻ Khi đó trung điểm M của X, Y sẽ có tọa độ nguyên Do M không thể nằm
trong ngũ giác (giả sử) nên M phải thuộc một trong các cạnh hay XY phải là
một cạnh của ngũ giác
0,5
Không mất tổng quát ta giả sử 2 điểm đó là A, B Do đó ta có ngũ giác
MBCDE có diện tích nhỏ hơn diện tích ngũ giác ABCDE
Do tính nhỏ nhất và không chứa điểm nguyên nào bên trong của ABCDE suy
ra ngũ giác MBCDE phải chứa một điểm nguyên T bên trong Mâu thuẫn vì T
cũng nằm trong ABCDE
ĐPCM
0,5
Các chú ý khi chấm:
1) Thí sinh phải lập luận đầy đủ mới cho điểm tối đa
2) Thí sinh có cách giải đúng, khác với hướng dẫn thì giám khảo vẫn chấm và cho điểm theo số điểm quy định dành cho câu (hay ý) đó
3) Vận dụng hướng dẫn chấm chi tiết đến 0,25 điểm nên không làm tròn điểm bài thi.