Đáp án đề thi chính thức vào lớp 10 môn toán thành phố Hà Nội năm học 2017-2018

Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A đi đến B với vận tốc mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120 km. Tính vận tốc mỗi xe.. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa [r]

ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO 10 MÔN TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2017 - 2018 Câu 1 (2 điểm)

Cho hai biểu thức 2

5

x A x





 và

3 20 2

25 5

x B

x x





 với x0;x25 1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9

Thay x = 9 vào biểu thức A ta có:

9 2 5

2

9 5

A   

2) Chứng minh 1

5

B x





Ta có:

25

B

x



Suy ra điều phải chứng minh

3) Tìm tất cả các giá trị của x để A = B.|x-4|

| 4 | 2 | 4 |

3 ( )

1 ( )

1 ( )

2 ( )

x

x tm

x tm

x tm



  



Vậy các giá trị của x thỏa mãn yêu cầu đề bài là  9;1

Câu 2 (2 điểm)

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A đi đến B với vận tốc mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120 km Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10 km/h nên ô tô đến B sớm hơn xe máy là 36 phút Tính vận tốc mỗi xe

Giải:

Gọi vận tốc xe máy là v (km/h, v > 0)

Vận tốc ô tô là v + 10 (km/h)

Độ dài quãng đường AB là 120km nên thời gian xe máy đi là 120

v (giờ)

Theo đề bài, vì ô tô đến sớm hơn xe máy 36 phút = 3

5 giờ nên thời gian ô tô đi là:

120 3 5

v  (giờ)

Ta có phương trình:

2

120 3

5

3 1200

5

3 1200

6 0 5

3

6 1200 0 5

40( ) 50( )

v

v v v v

v

   

    

    





   



Vậy vận tốc xe máy là 40 km/h

Vận tốc ô tô là 50 km/h

Câu 3 (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình: 2 1 5

   





  

x u u

y v v





Hệ phương trình trở thành:



    

Với u 1 x   1 x 1

Với v 2 y   1 2 y 5

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (1; 5)

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + 5

a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0; 5) với mọi giá trị của m

Ta có: 5m.0 5 (luôn đúng với mọi m) Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0; 5)

b) Tìm tất cả giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P): yx2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x x (với 1, 2 x1x2) sao cho |x1| | x2|

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P): 2

mxx 2

5

mx x hay x2mx 5 0(*)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì  0 Khi đó 2

20 0

m   (luôn đúng với mọi m) Vậy đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x và 1, 2 x x là nghiệm 1, 2 của phương trình x2mx 5 0(*)

Theo định lý Vi-et ta có: 1 2

x x m

x x





Vì x1x2 và |x1| | x2| mà x x1 20nên x x thỏa mãn 1, 2

1

2

0 0

x x





 



  

 khi đó S < 0=> m < 0

Vậy với m < 0 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P): yx2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x x (với 1, 2 x1x2) sao cho |x1| | x2|

Câu 4 (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K

1) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn

2) Chứng minh NB2 NK NM

3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi

4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) CHứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng

Giải:

2

MNAMCB sđAM

 C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn

2) Xét tam giác NBK và tam giác NMB ta có:

1 2

BMN KBN  sđ 1

2

BN  sđ NC BNM chung

NBK

  đồng dạng NMB

2

3) BHK cân tại B BHK BKH

Ta có BKH MCN

HKI MCN

BKH HKI



MK là phân giác góc BMC suy ra BMK IMK

Suy ta tam giác BMK = tam giác IMK (g – c – g)

Suy ra IK = BK (2 cạnh tương ứng) (1)

suy ra IK = BH (2)

Mà BHKHKI

Suy ra BH // KI (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra BHIK là hình thoi

4) NBK MBK

Nên BN là tiếp tuyến tại B của đường tròn (P) ngoại tiếp tam giác MBK

Suy ra BN vuông góc với BP

Mà BNBD

Suy ra B, P, D thẳng hàng

Tương tự C, Q, D thẳng hàng

Ta chứng minh tứ giác DPKQ là hình bình hành:

(do BPK BDCPK/ /DCPK/ /DQ

tương tự DP/ /QK)

Suy ra D, E, K thẳng hàng

Câu 5 (0,5 điểm)

Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: a1,b1,c1 và ab bc ca  9 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức Pa2b2c2

Giải:

Tìm min: Ta có:

0 9

a b c ab bc ca

Suy ra MinP   9 a b c

Tìm max: Ta có:

1 (1)

a b ab

Tương tự:

1 (2)

1 (3)

b c bc

c a ca

  

  

18

a b c ab bc ca

a b c

Suy ra Max P = 18

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (1), (2), (3) xảy ra

1 4 1 4 1 4

a b

c

a c

b

b c

a

  



 





  



  



  





 

