Vấn đề 4: Lũy thừa của một số hữu tỷ và các ví dụ

Ví dụ 2: Hãy viết các tích sau đây dưới dạng một lũy thừa của một số với số mũ khác 1.[r]

Vấn đề 4: LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỶ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Với xQ n, N*, ta bảo lũy thừa bậc ncủa xlà:



n thua s n

o x

x  x x x

x là cơ số, n là số mũ

 Nếu x a

b

 thì

n n

n

 



 

 

 Quy ước: Với xQ x,  0 thì 0

1

2 Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số

- Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ

.

m n m n

- Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác ), ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị

chia trừ số mũ của lũy thừa chia

m n m n

x x x  x mn

3 Lũy thừa của một lũy thừa

Khi tìm lũy thừa của một lũy thừa ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ

 m n m n.

x x

4 Lũy thừa của một tích

Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa

x y. n x y n. n

5 Lũy thừa của một thương

Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa

n n

n



B CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN

Ví dụ 1;

a) Tính 200 1890

1 , ( 1) và 2003

( 1)

b) Số 2001

( 3) là số tỷ âm hay dương?

ĐS: a) -1 b) 2001

( 3) là số hữu tỷ âm

Ví dụ 2: Hãy viết các tích sau đây dưới dạng một lũy thừa của một số với số mũ khác 1

6 2

)2 6

a

2 6 1

125

b  

ĐS: 2

)48

a

6 2 ) 5

b   

 

Ví dụ 3: Tìm các giá trị của số mũ n sao cho

ĐS: a) n 5, 6, 7,8 b) n 2, 3, 4

Ví dụ 4:

a) Cho a,b là các số hữu ty dương Chứng tỏ rằng

Nếu ab thì 2 2 3 3

,

a b a b

b) Người ta chứng minh rằng với n là một số tự nhiên tùy ý và ab0thì n n

a b Sử dụng mệnh

đề trên để so sánh các số 300

3

ĐS: b) 200 300

3  2

Ví dụ 5: a) So sánh

100 7 6

 

 

  và

98 7 6

 

 

 

b) Cho m, n là các số tự nhiên, a là số hữu tỷ Chứng tỏ rằng:

Nếu a 1,mn thì m n

ĐS: a)

100 98



LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ LÀ SỐ NGUYÊN ÂM

Trước đây, vì chỉ học lũy thừa với số mũ tự nhiên nên khi chia hai lũy thừa với số mũ tự nhiên cùng cơ số khác 0, ta phải có điều kiện số mũ của số chia không lớn hơn số mũ của số bị chia, nghĩa là:

:

m n m n

a a a  ( Với mn)

Bây giờ, việc đưa vào khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên âm của một số khác ) giúp ta tránh không phải đặt điều kiện đó

0,

a nN thì n 1

n

a a





Ta có thể tóm tắt các tính chất của lũy thừa với số mũ là số nguyên như sau:

m n m n m n m n

n n

n

b



 

 

 

Ví dụ 6: Viết các số hữu tỷ sau đây dưới dạng a.10ntrong đó a là số thập phân sao cho 1 a 10

và nZ:

6730000; 150000000000 ( 10 chữ số 0) 0,0000000000000000000016 ( 20 chữ số 0 đứng trước 16)

Hướng dẫn

 6

0

6370000 6, 37.10 , 15 00 0 1, 5.10 , 0, 00 016 1, 6.10

chu so chu so



C BÀI TẬP TỰ GIẢI

1 Viết các số hữu tỷ sau đây dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ khác 1:

1

;

81 243;

3

81.2 ;

2 Tìm x, biết:

3 Viết các số hữu tỷ sau đây dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ nguyên âm:

1

; 32

16

; 25

64

; 27



0, 00001;

4 Cho m, n là các số nguyên lớn hơn 1 và a là số hữu tỷ Chứng minh rằng:

Nếu 0 a 1,mn 1 thì m n

5 So sánh 16

(0,97)

6 So sánh các số

a) 20

3 với 31

2

c) 30 30 30

2  3  4 với 20

3.24

7 Chứng minh các đẳng thức

a) 8 12 16

45 5  75 c)  4 33





8 Tìm tất cả các số tự nhiên n, biết:

9 Chứng minh rằng:

10 5

B   chia hết cho 59