Bài giảng số 8: Phương pháp tam giác bằng nhau hình học 7

cho MD = MA. Gọi E và F lần lượt trên các đoạn AB,CD sao cho AE = DF.. Trên d lấy điểm N sao cho C,N cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB và AN = BC.. I là giao điểm của MN và BC. Đường t[r]

Bài giảng số 8: PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC BẰNG NHAU

Dạng 1: Dạng bài về chứng minh

1) Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau

*Phương pháp giải:

- Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) đó là hai cạnh (hay là hai góc) thuộc hai tam giác nào?

- Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau

- Bước 3: Từ hai tam giác đó bằng nhau, suy ra cặp cạnh (hay cặp góc) tương ứng bằng nhau

Ví dụ 1: Cho góc xOy khác góc bẹt Lấy 2 điểm A,B nằm trên Ox sao cho OA < OB Gọi C,D là 2 điểm nằm trên Oy sao cho OC = OA, OD = OB E là giao điểm của AD và

BC Chứng minh rằng:

a) AD = BC

b) ∆EAB = ∆ECD

c) OE là tia phân giác của góc xOy

Giải:

GT xOy 180  o;

A, B  Ox; OA < OB

C, D  Oy; OA = OC; OB = OD

AD  BC  E

KL a) AD = BC

b) ∆EAB = ∆ECD c) OE là tia phân giác của góc xOy

x

y

Chứng minh

a) Chứng minh AD = BC

Xét  OADvà  OCBcó:

- OA = OC (gt)

- OB = OD (gt)

- BOC chung

  OAD = OCB  (c-g-c) AD = BC (Cạnh tương ứng)

b) Chứng minh ΔEAB = ECD 

Ta có: OB = OD (gt)

OA = OC (gt)

OB – OA =OD – OC hay AB = CD (1)

Có: BCO = DAO  (góc tương ứng)EAB = ECD  (hai góc kề bù với các góc bằng nhau) (2) Xét ΔEABvà ΔECDcó:

- AB = CD {theo (1)}

- EAB = ECD  {theo (2)}

- EBA = EDC  (góc tương ứng của  OADvà  OCB)

 ΔEAB = ECD  (đpcm) (3)

c) Chứng minh OE là phân giác của góc xOy

(3) EA = EC (cạnh tương ứng)

Xét ΔOEAvà ΔOECcó:

- OA = OC (gt)

- EA = EC (cmt)

- OE chung

 ΔOEA = ΔOEC (c-c-c)  EOA = COA  hay xOE = yOE

OE là tia phân giác của góc xOy

Ví dụ 2:Cho tam giác ABC Lấy E,F nằm trên BC sao cho BE=CF Từ E và F kẻ các

đường thẳng song song với AB, lần lượt cắt AC tại G và H Chứng minh rằng:

EG+HF=AB

GT ΔABC ; E, F  Ox; BE = CF

EG // AC; FH // AC; G, H  BC

KL EG + HF = AB

Chứng minh

Từ E kẻ DE // AC𝐷𝐸𝐵 = 𝐴𝐶𝐹 (đồng vị)

Có FH // AB𝐷𝐵𝐸 = 𝐻𝐹𝐶 (đồng vị)

*Xét ∆BDE và ∆FHC có:

- 𝐷𝐸𝐵 = 𝐴𝐶𝐹 (cmt)

- BE = CF (gt)

- 𝐷𝐵𝐸 = 𝐻𝐹𝐶 (cmt)

Vậy ∆BDE = ∆FHC (g-c-g)

BD = FH (2 cạnh tương ứng)(1)

*Xét ∆ADE và ∆EGA có:

- 𝐷𝐴𝐸 = 𝐺𝐸𝐴 (đồng vị)

- AE chung

- 𝐷𝐸𝐴 = 𝐺𝐴𝐸 (đồng vị)

Vậy ∆ADE = ∆EGA(g-c-g)

AD = EG (2 cạnh tương ứng)(2)

Lại có: AB = BD + DA(3)

Từ (1); (2); (3) AB = EG + FH (đpcm)

2) Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, ba điểm thẳng hàng

*Phương pháp chứng minh

a) Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc

- Chứng minh góc tạo thành bằng 90 độ

- Vận dụng định lý: một đường thẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại

b) Chứng minh 2 đường thẳng song song

- Chứng minh 2 góc so le trong bằng nhau; 2 góc đồng vị bằng nhau hoặc 2 góc trong cùng phía bù nhau

- Vận dụng tính chất từ vuông góc đến song song

c) Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

- Vận dụng tính chất 2 tia đối nhau

- Vận dụng các đường thẳng cùng đi qua 1 điểm và song song hoặc vuông góc với một đường thẳng thì trùng nhau

- Vận dụng tiên đề Ơclit

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao

cho MD = MA Gọi E và F lần lượt trên các đoạn AB,CD sao cho AE = DF

a) Chứng minh E, M, F thẳng hàng

b) Từ A dựng đường thẳng d song song với BC Trên d lấy điểm N sao cho C,N cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB và AN = BC Chứng minh rằng 3 điểm N, C, D thẳng hàng

GT ΔABC, AM = BM, M  BC

MD = MA, AE = DF

KL a) E, M, F thẳng hàng

b) AN // BC; AN = BC chứng minh N, C, D thẳng hàng

Chứng minh

a, Xét ∆AMB và ∆DMC có:

- MB = MC (M là trung điểm BC)

- 𝐴𝑀𝐵 = 𝐷𝑀𝐶 (đối đỉnh)

- MA = MD (gt)

Vậy ∆AMB = ∆DMC(c-g-c)

𝐵𝐴𝑀 = 𝐶𝐷𝑀 (2 góc tương ứng)

Xét ∆EAM và ∆FDM có:

- EA = FD (gt)

- 𝐵𝐴𝑀 = 𝐶𝐷𝑀 (cmt)

- AM = DM (gt)

Vậy ∆EAM = ∆FDM(c-g-c)

𝐸𝑀𝐴 = 𝐹𝑀𝐷 ( 2 góc tương ứng)

Có 𝐷𝑀𝐹 + 𝐴𝑀𝐹 = 1800

(2 góc kề bù)

𝐸𝑀𝐴 + 𝐴𝑀𝐹 = 1800

Hay 𝐸𝑀𝐹 = 1800

E,M,F thẳng hàng

b, có 𝐵𝐴𝑀 = 𝐶𝐷𝑀 (cmt)

AB // CD (2 góc so le trong bằng nhau)(1)

Xét ∆ABC và ∆CAN có:

- BC = AN (gt)

- ACB = CAN  (so le trong)

- AC chung

Vậy ∆ABC = ∆CAN (c-g-c)

BAC = NCA (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc ở vị trí so le trong

CN // AB(2)

Từ (1); (2) C,N,D thẳng hàng

Bài tập áp dụng phần 1

Bài 1: Cho tam giác ABC cóAB < AC, A x, tia phân giác góc A cắt BC tại D Lấy điểm

E trên cạnh AC sao cho CDE x Chứng minh BD = DE

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A Điểm D nằm trên BC, điểm E nằm trên tia đối CB

sao cho BD = CE Từ D và E kẻ các đường vuông góc với BC cắt AB , AC lần lượt tại

M và N I là giao điểm của MN và BC Đường thẳng vuông góc với MN tại I cắt tia phân giác của góc BAC tại điểm O Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) I là trung điểm của MN

c) ∆AOB = ∆AOC

d) OC vuông góc với AN

Gợi ý:

d) OCA = OCN  mà OCA + OCN   180o(2 góc kề bù) OC vuông góc AN

Bài 3:Cho tam giác ABC có AB = AC Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối

của tia CB lấy E sao cho DB = CE Chứng minh

a) AD = AE

b) Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt BC tại H Chứng minh H là trung điểm của DE và AH là tia phân giác của góc DAE

Bài 4: Cho tam giác ABC có  o 

B = 50 ; C 30  o Kẻ AHBC (H BC  ) Trên AC lấy điểm

D sao cho AD = AB Chứng minh AH = 1BD

2

Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH  BC, H  BC Trên tia đối của tia AH, lấy điểm

D sao cho AD = BC Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, vẽ đoạn thẳng CE

vuông góc và bằng CA Chứng minh CD  BE

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB < AC O là trung điểm của BC Từ O kẻ đường thẳng

vuông góc với BC cắt AC tại D Trên tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC Gọi S là giao

điểm của AB và CE Chứng minh rằng:

a) AE // BC

b) 3 điểm S,D,O thẳng hàng

Bài 7: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Từ H hạ các đường vuông góc

xuống AB và AC, lần lượt cắt AB và AC tại P và Q Trên tia đối của tia PH lấy điểm E sao cho PE = PH Trên tia đối của tia QH lấy điểm F sao cho QF = QH Chứng minh rằng:

a) ∆APE = ∆APH ; ∆AQH = ∆AQF

b) 3 điểm E,A,F thẳng hàng và AE = AF

c) BE // CF

Bài8: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=AC Qua A vẽ đường thẳng d sao cho B,C

cùng phía so với d kẻ BH và CK vuông góc với d

a) Chứng minh rằng BH+ CK = HK?

b) Kết quả ở câu a) thay đổi thế nào khi B, C nằm khác phía đối với d

Bài 9: Cho tam giác ABC có AB = AC Trên tia đối cua tia BC lấy M, trên tia đối của

tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN Vẽ BD vuông góc với AM tại D, CE vuông góc

với AN tại E

a)Chứng minh AM = AN

b) Chứng minh BD = CE

c) Gọi K là giao điểm của BD và CE Chứng minh ADK = AEK 

d) So sánh độ dài KD + KE với 2AK

Bài 10*: Cho tam giác ABC nhọn AHBC (H thuộc BC) Dựng ra phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ABE, ACF Chứng minh rằng AH đi qua trung điểm của EF

HD: Gọi M là giao điểm của AH và EF

Kẻ EIAM, FKAM

Chứng minh EI = FK = AH ΔOKF = ΔOIE

Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng, độ lớn góc

*Phương pháp giải:

- Suy ra từ các góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau trong tam giác bằng nhau

- Áp dung tính chất “cộng đoạn thẳng”

- Dựa vào tổng các góc trong tam giác, góc ngoài của tam giác

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại B, AC =2AB Kẻ phân giác AE (E ∈ BC)

a) Chứng minh EA = EC

b) Tính góc A và góc C của tam giác ABC?

Giải:

GT ABC, B 90  o, AC = 2AB,

BAE = CAE

KL a) EA = EC

b) Tính góc A và góc C

a) Gọi D là trung điểm của AC AB = AD = DC

Xét ∆ABE và ∆ADE có:

- AB=AD (cmt)

- A = A1 2(vì AE là phân giác góc A)

- AE chung

Vậy ∆ABE = ∆ADE (c-g-c)

𝐵 = 𝐴𝐷𝐸 = 900

(2 góc tương ứng)

𝐸𝐷𝐴 = 𝐸𝐷𝐶 = 900

b) Xét ∆ADE và ∆CDE có:

- AD = CD (cmt)

- 𝐸𝐷𝐴 = 𝐸𝐷𝐶 = 900

(cmt)

- ED chung

Vậy ∆ADE = ∆CDE (c-g-c)(1)

EA = EC (2 cạnh tương ứng)

Từ (1)  C = A 2 𝐶 = 𝐵𝐴𝐶

2

Mà 𝐶 + 𝐵𝐴𝐶 = 900

𝐶 = 300; 𝐵𝐴𝐶 = 600

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A Phân giác góc B cắt AC tại D Lấy H trên BC

sao cho BA = BH

2

1

D

E A

a) Chứng minh rằng DH vuông góc với BC

b) Cho góc ADH = 1100

Tính góc AHD ?

GT ABC,  o

A = 90 ;ABD = CBD 

BA = BH

KL a) DH  BC

b)ADH = 110 0 ,AHD = ?

Chứng minh

Xét ∆ABD và ∆AHD có:

- AB = BH (gt)

- B = B1 2(vì BD là phân giác góc B)

- BD chung

Vậy ∆ABD = ∆AHD(c-g-c) (1)

𝐵𝐴𝐷 = 𝐵𝐻𝐷 = 900 DHBC

Từ (1) suy ra:

- DA = DH (2 cạnh tương ứng)

- 𝐴𝐷𝐵 = 𝐻𝐷𝐵 (2 góc tương ứng)

Gọi K = BD ∩ AH

Xét ∆ADK và ∆HDK có:

- AD = DH (cmt)

- ADK = HDK (cmt)

- KD chung

Vậy ∆ADK = ∆HDK (c-g-c)

𝐴𝐻𝐷 = 𝐷𝐴𝐻 (2 góc tương ứng) (2)

2

1

K H

D B

Xét ∆DAH có 𝐴𝐷𝐻 = 110 0

𝐴𝐻𝐷 + 𝐷𝐴𝐻 = 700

(3)

Từ (2) và (3)𝐴𝐻𝐷 = 𝐷𝐴𝐻 = 700

: 2 = 350

Bài tập áp dụng dạng 2

Bài 1:Cho tam giác ABC có góc A =350 Đường thẳng AH vuông góc với BC tại H Trên đường vuông góc với BC tại B lấy điểm D không cùng nửa mặt phẳng bờ BC với điểm A sao cho AH = BD

a) Chứng minh ΔAHB = ΔDBH

b) Chứng minh AB//HD

c) Gọi O là giao điểm của AD và BC Chứng minh O là trung điểm của BH

d) Tính góc ACB , biết BDH = 350

Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A M là trung điểm của BC Trên tia AM lấy điểm

N sao cho M là trung điểm của AN

a) Chứng minh rằng CN = AB, CN vuông góc với AC

b) Cho AM = 3cm Tính độ dài cạnh BC?

Bài 3.Cho ABC vuông cân tại A, M là điểm bất kì trên đoạn AC (M  A, C Kẻ

AFBM (F  BC), trên đoạn BF lấy điểm E sao cho EF = FC Kẻ EI // BM Tính



AIM  ?

HD: Gọi K là giao điểm của IE và AC Chứng minh  ABM =  AKI  AM = AI 

AIM  AIM  45o

Bài 4 Cho DABC có AB < AC Các phân giác BD và CE cắt nhau ở G thoả mãn điều kiện GD = GE Tính góc BAC