TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c... TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c.[r]
Trang 1Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh Trang 1
Phần 1: Ôn tập các bài toán về tam giác Phần Hình học 7
Buổi 1-2: tam giác -với bài toán tìm số đo góc
I/ Cơ sở lý thuyết
- Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau
- Trong tam giác vuông cạnh góc vuông bằng 1/2 cạnh huyền thì góc đối diện với
- Các tính chất về góc của tam giác cân, tam giác đều, cặp tam giác bằng nhau, tính chất phân giác
II/ Một số bài toán
cạnh BC ở M Đoạn thẳng AM cùng với các yếu tố của tam giác tạo thành 2 tam giác cân Tính các góc B và góc C của tam giác,
Hướng dẫn giải:
Từ giải thiết của bài toán ta có các khẵng định sau:
a, Các tam giác AMB và AMC không cùng cân tại M vì nếu không thì AM = MB = MC Suy ra tam giác ABC vuông tại A Trái giả thiết
b, Các tam giác AMB và AMC không cùng cân tại A vì nếu không thì AM = AB = AC Suy ra A, B, C, M thuộc đường tròn tâm A, Trái giả thiết
c, Tam giác AMB không thể cân tại B và tam giác AMC không thể cân tại C Vì nếu
không thì AB=AM và AC=CM Suy ra AB+BC =BC tức là không tồn tại tam giác ABC
ΔAMB cân tại A (Hình 1)
Trên hình 1:
Suy ra
* Trường hợp:ΔAMC cân tại M (AB<AC) và
ΔAMB cân tại B
Bài 2: Đường cao của một tam giác vuông Hạ xuống cạnh huyền chia cạnh huyền
thành hai đoạn mà hiệu của hai đoạn này bằng một trong hai cạnh góc vuông
Tính các góc của tam giác
Hướng dẫn giải:
Giả sử tam giác ABC vuông tại A Đường cao AH chia
BC thành hai đoạn BH và HC mà HC-HB=AB
Trên tia đối của tia HB lấy D sao cho HD=HB Ta có DC=AB
ΔADB là tam giác cân tại A nên DA=BA và tam giác ADC
Là tam giác cân tại D
A
1 2
B M C
A Hình 1
1 2
B M C
Hình 2
A
B H D C
Trang 2Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh Trang 2
Bài 3: Trong một tam giác đường cao đường trung tuyến phát xuất từ một đỉnh chia
góc ở đỉnh ấy ra làm 3 phần bằng nhau Tính các góc của tam giác
Hướng dẫn giải:
vừa là đường phân giác)
=> MH=HC Từ M kẻ MI vuông góc với AB
Từ các tam giác bằng nhau AMI và AMH ta có
MH=MI Từ đó MI=1/2 MB
miền trong của tam giác ấy với∠MBC=10 O , ∠MCB=20 O Tính góc AMB?
Hướng dẫn giải
suy ra BC > CA Trên tia CA lấy E sao cho CE=CB Dễ suy ra
Mặt khác
III/ Bài tập về nhà
Từ A và C người ta kễ
Tính
∠ADE?
Bài 2: Trong tam giác ABC cân tại C Kẻ trung tuyến CM và phân giác AD Tính các góc của tam giác, biết độ dài đường phân giác AD gấp đôi độ dài đường trung tuyến
CM
Bài 3: Trong tam giác ABC biết các đườgn cao hạ từ A và B xuống các cạnh đối diện không nhỏ hơn các cạnh đối diện đó Tính các góc của tam giác
Buổi 3-4: Tam giác với bài toán về đoạn thẳng
I/ Cơ sở lý thuyết
- Quan hệ về các yếu tố trong tam giác, Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
- Quan hệ các cặp cạnh tương ứng trong hai tam giác bằng nhau
II/ Một số bài toán
Bài 1: Từ trung điểm D của cạnh BC của tam giác, người ta kẻ đường vuông góc với phân giác trong của góc A Đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt tại M Và N Chứng minh rằng: a, BM=CN b, Tính AM và BM theo AC=b và Ab=c
Hướng dẫn giải
a, Từ B kẻ BE//AC cắt MN tại E
A
I
B M H C
E
A
M
B C
A
B
D
N
M E
C
Trang 3Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh Trang 3
b, Ta có AM=AB+BM và AN=AC- CN, mặt khác AM=AN
và BM=CN=>2AM=AB+AC
Hay AM = (AB+AC):2=> AM=(b+c):2
Nếu AB<AC thì BM=AM-AB = (b+c):2- c
Nếu AB>AC thì BM=AB-AM = c - (b+c):2
h b , h c Chứng minh rằng: 2 2 2
2 ) (
c b
a h h h
c b a
+ +
+
Hướng dẫn giải:
Vẽ tam giác ABC có các cạnh lần lượt là AB = c; AC = b; BC=a với các đường cao
Kẽ Cx//BA
Gọi E là điểm đối xứng của A qua Cx
Theo Pitago ta có
Tương tự ta có:
Suy ra điều cần chứng minh
2 2 2
2 ) (
c b
a h h h
c b a
+ +
+
Bài 3: Cho tam giác ABC, trên nữa mặt phẵng không chứa tia AC có bờ là đường thẳng AB , người ta vẽ AD vuông góc với AB và AD=AB trên nữa mặt phẵng không chứa tia AB có bờ là
đường thẳng AC , người ta vẽ AE vuông góc với AC và AE=AC Gọi P,Q,M theo thứ tự là trung
điểm của BD, CE, và BC Chứng minh rằng:
a, BE=CD, BE vuông góc với CD
Hướng dẫn giải:
điểm của BE với CD và DC theo thứ tự là I và N
Hay DC vuông góc với BE
b, Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, ta có MP//DC
và MP=DC/2 , MQ//BE và MQ=BE/2 Từ các chứng minh trên ta có
Buổi 5-6: T a m g i á c v ớ i b à i t o á n c ự c t r ị
Bài 1: Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng a Hãy tìm trên a
một điểm M sao cho AM + MB là ngắn nhất
Giải: Nối A với B cắt a tại điểm M
D
E
A
P Q
I
NN
M C
B
A
M, M a
B
Hình 1
A
c D
b
B E a
C
Trang 4Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh Trang 4
Dễ dàng chứng minh điểm đó thỏa mãn bài toán
Thật vậy, trên a lấy một điểm M' khác điểm M
Bài 2: Bạn Tú đang ở vị trí A cần đến bờ sông để lấy nước rồi đi đến vị trí B
(Hình 2) Con đướng ngắn nhất mà bạn Tú nên đi là
con đường nào?
Hướng dẫn giải: (Hình 2)
* Lấy A' đối xứng với A qua a
* Nối A'B cắt a tại M là điểm cần tìm
CM: Theo tính chất đỗi xứng trục ta có MA = MA'
=> AM + MB bé nhất khi AM' + MB bé nhất khi và chỉ khi A', M, B thẳng hàng
Bài 3: Trên một nữa mắt phẳng bờ là đường thẳng a cho trước hai điểm A,B, trên a hẵy
tìm hai điểm M,N ( MN=d cho trước) sao cho AM + MN + NB bé nhất
Hướng dẫn giải:
Lấy A' đối xứng với A qua a, Nối A'B cắt a tại M
Trên A lấy MN=d (sao cho BN bé nhất) các điểm
MN là các điểm cần tìm
Bài 4: cho hai đường thẳng a, b song song với nhau và cách nhau một khoảng không
đổi d Trên nữa mặt phẳng bờ a không chứa b lấy một điểm A Trên nữa mặt phẳng bờ
b không chứa a lấy một điểm B Hãy tìm trên a điểm M, trên b điểm N sao cho AM+MN+NB bé nhất
( Hướng dẫn - Lấy A' đối xứng với A qua a Nối A'B cắt b tại N từ N dựng NM vuông góc với a - M thuộc a- Các điểm M thuộc a, N thuộc b là các điểm cần tìm)
Nếu a,b không song song với nhau ta có bài toán 7 sau
Bài 5: Cho góc xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó Hãy tìm trên Ox, Oy các
điểm M,N sao cho AM + MN + NA nhỏ nhất
Từ bài toán 5 ta có thể có ngay
cách giải của bài toán sau:
Bài 5': Cho tam giác nhọn ABC và
một điểm I cố định trên cạnh BC tìm trên AB, AC
các điểm M, N sao cho chu vi tam giác IMN là nhỏ nhất
Và nếu không cố định điểm I trên cạnh BC ta có bài toán khó sau:
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn tìm trên các cạnh AB, AC, BC các điểm M, N, I sao cho
Chu vị tam giác MNI là nhỏ nhất (M, N, I là chân 3 đường cao của tam giác ABC
B
A
a
M N
A'
B
A
M a
A'
Hình 2
C x
M
O
A
N
B y
Trang 5Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh Trang 5
Buổi 7,8: Ô n t ậ p t ổ n g h ợ p v ề t a m g i á c
Bài 1 Cho tam giác cân ABC, AB = AC Trên tia đối của các tia BC, CB lấy theo
thứ tự 2 điểm D và E sao cho BD=CE
a, Chứng minh tam giác ADE là tam giac cân
b, Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE
c, Từ B và C theo thứ tự kẻ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE
Chứng minh: BH=CK
d, Chứng minh ba đường thẳng AM, BH và CK gặp nhau tại một điểm
Hướng dẫn giải bài 1:
a, ΔABC cân ở A (gt) nên AB=AC và =
Suy ra = , BD = CE(gt)
ΔABD=ΔACE (c-g-c), do đó AD=AE
Vậy tam giác ADE cân ở A
b, ΔAMD=ΔAME (c-c-c), suy ra: =
Vậy AM là tia phân giác của gốc DAE
c, ΔADE cân ở A (theo câu a) =
ΔBHD=ΔCKE (cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau) do đó BH=DK
d, Gọi giao điểm của BH,CK là O
Nên AO là tia phân giác của góc DAE mặt khác theo câu b, thì AM là phân giác của góc DAE Vì thế AO trùng AM Vậy AM, BH, CK đồng quy
Bài 2: Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa hai điểm A và B Trên cùng một
nữa mặt phẳng bờ AB dựng các tam giác đều ADC, BEC Gọi M,N lần lượt là trung
điểm của AE và BD Chứng minh:
a, AE = BD,
b, Tam gáic MCN là tam giác đều
Hướng dẫn giải bài 2:
Δ ACE = Δ DCB (c-g-c), do đó: AE = BD
b, Vì AE=BD, M là trung điểm của AE, N là trung
điểm của BD, Δ ACE = Δ DCB (theo a,)
ΔMEC=ΔNBC (c-g-c), suy ra CN=CM và
Biết rằng: C=70 0 , ∠BIC=120 0 Tìm số đo các góc của tam giác ABC
Hướng dẫn giải bài 3:
ACB ABC
ABD ACE
A
H K
D B
O
C E
MAD MAE
E
D M
N
A C B
C
I
A B
Trang 6
Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh Trang 6
Mặt khác BI là phân giác góc B (I là giao điểm của
các phân giác trong của tam giác ABC)
Bài 4 Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH=12,6cm, BC=25,2cm
a, Tính (AB+AC) 2 và (AB-AC) 2
b, Tính BH, CH chính xác đến chữ số thập phân thứ nhất
Hướng dẫn giải bài 4
a, Vì BC = 25,5 cm và AH =12,6 cm nên BC=2AH Do tam giác ABC vuông ở
A, có AH =
2
1
BC nên H là điểm giữa của BC Hay tam giác ABC là tam giác vuông
cân Do đó AB=AC=
2
BC
b, Cũng do tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A nên BH=HC=HA=12,6cm
Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại B, cạnh BC=18,6cm; hai trung tuyến BM, CN
vuông góc với nhau Tính CN
Hướng dẫn giải bài 5
Kí hiệu trọng tâm tam giác là G Đặt BG=x, CG=y
2
2⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ x =CM2 =AM2=BM2=
2 2
3
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ x
3
2
BC
suy ra y=
3
1 1 3
2 2
−
=
2
3 2
3
≈
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A Từ một điểm M trong tam giác ta kẻ MI,
MJ, MK lần lượt vuông góc với BC, CA, AB Tìm vị trí của M sao cho tổng MI 2 + MJ 2 +
MK 2 nhỏ nhất
B
N
G
C
A
M
A
B
H C
A
K J
M N
B I H C
Trang 7
Giáo viên: Dương Thị Mỹ Khương - Trường THCS An Ninh Trang 7
( AM>AN)
2
NH)
+
2 (AH) 2
Bài 7: Cho tam giác đều ABC, M là một điểm thuộc cạnh BC Gọi D,E theo thứ
tự là hình chiếu của M lên AC, AB Kẽ BH⊥AC tại H MQ⊥BH tại Q
a, Tính ∠DME
b, Chứng minh rằng: BD=MQ
c, Gọi I, N, K theo thứ tự là hình chiếu của D, H, E lên BC chứng minh rằng: BI=KN
d, Chứng minh rằng: Khi M di chuyển trên cạnh BC thì IK có độ dài không đổi
Hướng dẫn giải:
b, ΔMQB = ΔBDM (Cạnh huyền - góc nhọn)
⇒MQ=BD
c, EJ⊥KH
ΔHEJ=ΔDIB (Cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ EJ = IB Mặt khác EJ=NK (tính chất đoạn chắn)
⇒IB=NK
BN = IK suy ra IK có độ dài không đổi
Bài 9: Cho Tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung điểm của BC , G là điểm thuộc cạnh AB sao cho AG=1/3AB, E là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CG Các
đường thẳng MG và AC cắt nhau tại D So sánh độ dài DE và BC
Hướng dẫn giải:
A
H
E J
D
C K N M I B
