Bài giảng số 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam g[r]

BÀI GIẢNG SỐ 8 CÁCTRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:

 Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia (g.g)

 Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác

vuông kia (c.g.c)

2 Dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau( cạnh huyền-cạnh góc vuông)

3 Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng:

 Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng

 Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC , phân giác AD Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C lên

AD Chứng minh rằng:

a) ABEACF, BDECDF

b) AE DF  AF DE

Giải

a) Xét ABE và ACF , ta có:

0

ˆ AFˆ 90 ,

BAECAF (vì AD là phân giác)

Xét BDE và CDF , ta có:

E

F

D B

A

C

C

C'

ˆ ˆ

BDECDF (đối đỉnh)

   (g.g)

b) Vì ABE ACF nên

AF

CF

 (1)

Vì BDECDF nên

DF

CF

 (2)

AF

DF

Ví dụ 2: ( Bài 4- sách pp giải toán 8 theo chuyên đề tr215) Cho tam giác ABH, vuông tại H, có

AB cm BH  cm Trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho 5

3

AC

AH 

a) Chứng minh ABH CAH

b) Tính góc BAC ĐS: BAC90 0

Giải

12 3

Xét ABH và CAH , ta có:

0

AHBCHA

BH  AH (chứng minh trên)

Do đó ABH CAH(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

b) Từ câu a) CAHˆ  ABHˆ

Ta lại có BAHˆ ABHˆ 900 nên BAHˆ CAHˆ 900

Do vậy BAC ˆ 90 0

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , điểm D thuộc cạnh BC Đường thẳng qua D và song song với AC

cắt AB tại E, đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC tại F Biết diện tích của tam giác

Giải

Vì / /

/ /







nên tứ giác ABCD là hình hành

Xét BDE và CDF ta có:

BDEˆ DCFˆ (đồng vị)

DBEˆ CDFˆ (đồng vị)

Do vậy

BDE

DCF

    

BE

2

16 40 25 81

ABC BDE ABCD CDF

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC , điểm O bất kì nằm trong tam giác Qua O kẻ các đường thẳng

MN, PQ, RS lần lượt song song với BC, CA, AB ( P S, BC N Q; , AC R S; , AB) Gọi diện tích các tam giác ABC, ROM, QNO, OSP theo thứ tự là S S S S, 1, 2, 3 Chứng minh rằng

S  S  S  S

Giải

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC nhọn có diện tích S, đường cao AH Qua H kẻ đường thẳng song

song với AB, cắt AC tại K Biết diện tích tam giác AHK bằng 2S

9 Tính tỉ số .

AK KC

ĐS: 2 hoặc 1

2

Giải

Vì HK // AB nên theo định lí ta-let, ta có: AK BH k

KC  HC 

F

E

A

D

1

AC AKKC k KCKC k

1

BH

k

Hơn nữa HKC BAC nên ta có:

2

HKC ABC

  

Mà S AHK S ABC S ABH S HKC

S AHK S ABC BH S ABC KC S ABCC

 2 2

1

2

k

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Mức độ cơ bản

1 Cho tam giác vuông ABC A , ˆ 90 0 Qua điểm D trên cạnh BC, kẻ đường thẳng vuông

góc với BC, cắt AB, AC theo thứ tự tại E và G

a) Chứng minh DBEDCG

b) Chứng minh DB DC DE DG

2 Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là 3cm cm cm, 4 ,5 Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC và có diện tích 54cm2 Tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C'

ĐS: 3cm cm,9 ,10cm

3 Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB5 ,m AC7m và có đường cao AH Tính độ dài các đoạn thẳng BC, AH, BH và CH ĐS:

4 Chân đường cao AH của tam giác vuông ABC chia cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng

có độ dài 25cm và 36cm Tính chu vi và diện tích của tam giác vuông đó

5 Cho tam giác vuông, trong đó cạnh huyền dài 20cm và một cạnh góc vuông dài 12cm

K

H

A

6 Cho tam giác ABC có diện tích S, các đường trung tuyến AD, BE, CF Gọi S' là diện

tích tam giác có độ dài ba bằng AD, BE, CF Chứng minh rằng ' 3

4

S  S

7 Cho tam giác vuông ABC A, ˆ90 ,0 AB12cm AC, 5cm. Từ trung điểm M của cạnh

huyền BC kẻ đường vuông góc với BC cắt AB tại N Tính độ dài đoạn MN ĐS: 2,7cm

8 Cho tam giác ABC, đường cao AH Biết CˆBˆ90 0

Chứng minh rằng: AH2BH CH

9 Hình thang ABCD có các cạnh đáy AB8 ,m CD12 m Điểm M nằm trên đường thẳng

AB sao cho đường thẳng DM chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau Tính độ dài BM ĐS: BM 2, 4 m

10 Cho tam ABC vuông tại A, hình vuông EFGH nội tiếp tam giác sao cho E thuộc AB, F

thuộc AC, H và G thuộc BC Tính độ dài của cạnh hình vuông biết rằng

BH  cm GC cm ĐS: 4cm

Mức độ nâng cao

11 Cho tam giác ABC cân (AB = AC), hai đường cao BH và CK Tính độ dài đoạn HK theo

BCa ACb ĐS:  2 2

2

2

2

HK

b





12 Cho hình chữ nhật ABCD có AB36cm AD, 24cm Gọi E là trung điểm của cạnh AB Đường thẳng DE cắt AC và BC theo thứ tự ở E và G

a) Chứng minh FD2EF.FG

b) Tính độ dài DG ĐS: 60cm

13 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), H là trung điểm của cạnh BC Kẻ HE vuông góc với

AC Gọi O là trung điểm của EH Chứng minh AO vuông góc với BE

14 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các

cạnh AB, BC và CE cắt DF tại M Tính diện tích của tam giác MCD theo a

5

MCD

15 Cho tứ giác ABCD có diện tích bằng 36m2, trong đó diện tích tam giác ABC bằng

2

11m Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD và DC lần lượt ở M và N Tính diện tích tam giác MND ĐS: S MND 51,84m2

phần có độ dài 1 và 3 Hỏi đường cao ứng với cạnh huyền chia cạnh này theo tỉ số nào? ĐS: 1

9

17 Cho tam giác vuông cân ABD B , ˆ 90 0 Trên tia đối của tia DB lấy hai điểm E và C sao cho BD = DE = EC Chứng minh rằng: ADBˆ  AEBˆ ACBˆ

18 Tam giác ABC có Bˆ60 ,0 Cˆ20 ,0 BC4cm Gọi D là trung điểm của AC Trên cạnh

CB lấy điểm E sao cho CE = CD Tính tổng diện tích các tam giác ECD và ABD

ĐS: 3cm2

19 Cho tam giác ABC cân tại A, trực tâmm H chia đường cao AE theo tỉ số 7: 1 Giao điểm

I của các đường phân giác của tam giác chia AE theo tỉ số nào? ĐS: 3 : 1

20 Cho hình thang ABCD có các đáy ABb CD, a a( b) Đoạn thẳng MN song song với đáy, có hai đầu thuộc hai cạnh bên chia hình thang ra hai phần có diện tích bằng nhau Chứng minh rằng

2

2

Hướng dẫn

11 Kẻ đường cao AI, ta có IACˆ HBCˆ (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

  (g.g), ta có:

2

2

a

HC

   (cạnh huyền và một góc nhọn)

Do đó AHK ACB(g.g), ta có:

2

2

2

2

a

KH

12

a) Do AE // DC nên EF AF

FD FC (1)

Do AD // CG nên AF DF

FC  FG (2)

EF

H K

I

A

G

E

B A

b) Ta có: AED  BEG BG ADBC

Do đó CG2BC2.2448cm

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông CDG ta có:

13 Kẻ BDAC, ta có CBDˆ HACˆ (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

  (g.g), ta có: BC CD

AH  EH

Dễ dàng chứng minh được E là trung điểm của CD,

từ đó BE và CO là các đường trung tuyến của hai tam giác

đồng dạng DBC và EAH nên:

AO  HO  HA

  (c.c.c) CBEˆ HAOˆ

Từ đó chứng minh được BE AO

14 DCF  CBE(c.g.c) nên Dˆ1Cˆ1

C C  D C  Tam giác MCD vuông tại M

  9(g.g), ta có: CD CM

FD  FC

Do đó

CMD

FCD

FCD

S  CF CD CD nên

2

2 2

1

4

CMD

CD

FD

Trong tam giác vuông CDF, theo định lí Pitago, ta có:

2

DF CD CF CD  BC CD  CD  CD

Do vậy:

2

2

4

MCD

CD

CD

15 S ACDS ABCDS ABC 36 11 25m2

O E D

H

A

M

2 2

.25

MDN

MDN ADC

S

Hai tam giác MAC và BAC có đáy AC chung,

11

MAC BAC

36

MCD

25

MCD ACD

S  AD  (2)

Từ (1) và (2)

2

2

36 25 51,84 25

MDN

16 Gọi AH, AD lần lượt là đường cao, đường phân giác kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC vuông

tại A Ta có:

1 3

AC CD (vì AD là tia phân giác của góc A)

Vì AHB CHA(g.g) nên,

2

1 9

AHB

CHA

Vậy đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn theo tỉ số 1

9

17 Gọi F là điểm đối xứng của D qua điểm B Tam giác ADF vuông cân tại A

Do vậy, ta có: DAFDBA(g.g) DA DF

Mà DBDE DF, DC nên DA DC

DE  DA

Vì thế DAEDCA(c.g.c) Aˆ1Cˆ 1

Mặt khác D là góc ngoài của tam ˆ1

giác ADE nên Dˆ1 Aˆ1Eˆ1Eˆ1Cˆ1

Vậy: ADBˆ AEBˆ ACBˆ (đpcm)

C

A

Trên cạnh FB lấy điểm G sao cho FG = AB

Ta có ACG cân có góc ở đỉnh bằng 20 , ABC0   GFC(c.g.c)

Đặt S ECDS S1, ABD S2

Ta có ECD ACG(g.g)

1

1

4 ACG

S  S (1)

2

2 ABC 4 ABC GFC

4 ACG ABC GFC

2

2

19 Theo tính chất đường phân giác:



Vì AEB BEH(g.g) nên

2

8

AEB BEH

S

Từ (1) và (2)

2

20 Gọi O là giao điểm của AD và BC

Đặt S ABNM S MNCDS Đặt MN = x

2

,

OAB OMN

 

  

 

2

ODC OMN

 

  

 





Vậy

2

2

x   (đpcm)

D

F

A

E G

I H E

A