Bài giảng số 2: Phân tích nhân tử trong các biểu thức chứa căn

Ta thường sử dụng phương pháp phân tích nhân tử trong các bài toán chứa căn để rút gọn và làm.. đơn giản biểu thức.[r]

Bài giảng số 2: PHÂN TÍCH NHÂN TỬ TRONG CÁC BÀI TOÁN CHỨA CĂN

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Ta thường sử dụng phương pháp phân tích nhân tử trong các bài toán chứa căn để rút gọn và làm đơn giản biểu thức Các cách phân tích nhân tử hay dùng:

 Thêm bớt thừa số

 sử dụng hằng đẳng thức

 nhẩm nghiệm phương trình

 Nhân liên hợp

Bên cạnh đó ta cần phải chú ý tới một số tính chất của biểu thức chứa căn:

 Điều kiện để biểu thức A có nghĩa là A 0

 Ta luôn có  2

A  A với điều kiện A  (định nghĩa căn bậc 2) 0

 Ta có hằng đẳng thức 2 0

0

A khi A

A khi A





  



Do đó  2

2

0

A  A  A

 Ta có AB  A B khi A0,B0.

0, 0

A B khi A B

A B khi A B





Tương tự cho quy tắc khai căn của một thương

 Ta có 2 2

A B





    



Do đó, để 2 2

A B  AB ta cần phải có điều kiện AB  (điều kiện cùng dấu của hai vế) 0

Tức là

2 2 0

AB





Chú ý Có một trường hợp thường gặp

2

0 0

A

A B

 



  







(điều kiện cùng dấu của hai vế)

Tuy nhiên, từ điều kiện AB2 ta suy ra A 0.

Do đó

2

0

B









B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:

a) 2 3 6 216 1

3





c) 5 2 6 8 2 15

7 2 10



Giải:

a) 2 3 6 216 1 2 3 3 2 6 6 1

2 6

6

2 6

2 6

3 6 1

2

 



:

 7 5 : 1

 1

c) 5 2 6 8 2 15

7 2 10



2



















 5 22

5 2







7 2 10 3





Ví dụ 2: Phân tích nhân tử: x6 x7

Giải:

Cách 1: Ta nhận thấy x6 x 7 0 có nghiệm là x 1, x  7

nên suy ra: x6 x 7  x1 x7

Cách 2 : Tách thừa số.: x6 x7 x x7 x7

 1 7 1

     x7 x1

Ví dụ 3: Phân tích nhân tử: 2

x x  y

Giải:

Ta tách thừa số và thêm bớt: x2 x  6 5 y2   2

6 1

     x  6 1 y x6 1 y

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức

4

2

  biết a b là các số dương ,

Giải:

Ta có  2  4  4 

a ab b a b  ab  a b ab a b ab và

a b ab  a b  b  , a,b  nên D4 a4b2.

Ví dụ 5: Tìm x y z, , nếu 2 2009 2010

2

 

Giải:

2

 

 x 2 2 x 2 1  y 2009 2 y 2009 1  z 2010 2 z 2010 1 0

 x 2 1 2 y 2009 1 2 z 2010 12 0

          x3;y 2008;z2011

x x x A



a) Rút gọn A

b) Tìm x để A 0;

c) Tính giá trị của A nếu 12

6 2 5

x 



Giải:

a) Điều kiện: x0,x1

 1

x x

A



 x 1 x x  x 1 x

         x 2 x 1

b) A 0 x2 x 1 0  x 1 12 0 x2

c)

2 12

1 1

6 2 5

A   

2

6 2 5

1

6 2 5

2

5 1 1

5 1

4

6 2 5





C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Thực hiện phép tính

1

9 2 14 9 2 14

A     

ĐS: A 2 7

2

4 D  8 2 7  37 12 7 2 7  3 ĐS: D  720

Bài 2: Phân tích thành nhân tử

4 x2 x  1 4 ĐS:  x 1 3 x 1 1

Bài 3: Chứng minh rằng:

1

với x  a

2

2

2

2

2, 1

a a

a

a a

 

 

3 3 3

182 33125 182 33125  7

4

5 3

3

1

5 2 7



là nghiệm của phương trình x33x 14  0





   là số vô tỉ

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất nếu có:

1

I





4 3

Bài 5: Tìm giá trị x nguyên để các biểu thức sau nguyên:

x

C

x





x

D

x



B

1

B

a





c) Tìm các giá trị của a để B nguyên và 4

1

a B

nguyên ĐS: a0,a4

9

C

y

a) Rút gọn C; ĐS: 3

1

C y







b) Tìm y để 1;

2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của C nếu có ĐS: Cmin   1