Bài giảng số 2: Hệ thức về cạnh và goc trong tam giác vuông

Dạng 3: Dạng bài sử dụng kiến thức hệ thức lượng và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để giải quyết bài toán khác.. III.[r]

Bài giảng số 2: Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

I Lý thuyết

Tỉ số giữa các cạnh là đặc trưng cho độ lớn của góc nhọn đang xét ở trên và được gọi là tỉ số

lượng giác của góc nhọn đó ABC  ta có:

;

;

*Áp dụng tỉ số lượng giác để tính các cạnh trong tam giác vuông ABC:

b = a.sinB = a.cosC

c = a.sinC = a.cosB

b = c.tanB = c.cotanC

c = b.tanC = b.cotanB

* Ghi nhớ:

- Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối hoặc cạnh huyền

nhân cos góc kề

- Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông còn lại nhân tan góc đối hoặc

cotan góc kề

sinα b

=

a

cosα c

= a

b

tanα =

c

c cotgα =

b

- Một số công thức bổ sung:

sin α + cos α = 1; tan cot = 1; sinα = cos(90 - α); tanα cot(90 - α)

1 cot ; 1 tan α





II Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Dạng bài tính cạnh, đoạn thẳng nhờ áp dụng hệ thức lượng và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông

*Phương pháp giải chung

- Ghi nhớ các hệ thức ở phần lí thuyết

- Thể hiện các dữ kiện đề bài cho trên hình vẽ

- Quan sát hình và xét xem cạnh, đoạn thẳng đang tìm số đo ở trong hệ thức nào, công thức nào? Tính theo hệ thức, công thức nào thì hợp lý

- Vận dụng thêm các định lí Talet, định lý đường phân giác trong tam giác nếu cần thiết

- Sử dụng MTBT để tính các góc khi biết các tỉ số lượng giác

Ví dụ 1

Cho ABC vuông tại A có AB = 3 ; AC = 4

a) Tính tỉ số lượng giác của góc C

b) Từ kết quả câu a)  Các tỉ số lượng giác góc B

a Theo Pitago

AC

AB  = 2 2

4

3  = 25= 5

sinC =

BC

AB

=

5

3

; cosC =

BC

AC

=

5

4

; tanC =

AC

AB

= ;

4

3

cotC =

AB

AC

=

3 4

b) Do Bˆ và Cˆ là hai góc phụ nhau

SinB = cosC =

5

4

; cosB = sinC =

4 3

tanB = cotC =

3

4

; cotB = tanC =

4 3

Dạng 2: Dạng bài biến đổi các biểu thức lượng giác, chứng minh đẳng thức

Ví dụ 2 Đơn giản biểu thức sin1 1 sin  

Giải

sin1 1 sin   1 sin 1 sin   1 sin  cos 

Dạng 3: Dạng bài sử dụng kiến thức hệ thức lượng và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để giải quyết bài toán khác

III Bài tập luyện tập

Dạng 1

Bài 1 Cho tam giác vuông ABC Tính tỉ số lượng giác của góc B trong khi góc B có số đo

trong mỗi trường hợp là 300; 450; 600

Bài 2 Cho tam giác đều ABC, đường cao AH Tính các tỉ số lượng giác của các góc: ABH

và HAB

Bài 3 Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH Biết AB = 6cm, ˆ 50o

B , hãy tính AH,

AC, CH

Bài 4 Cho tam giác vuông tại A có đường cao AH chia BC thành BH=64cm và CH=81cm

Tính các cạnh và góc tam giác ABC

Bài 5 Cho ABC vuông tại A Tìm các tỉ số lượng giác của góc B khi:

a BC =5cm và AB =3cm

b BC =13 cm và AC =12 cm

c AC = 4cm và AB =3cm

Bài 6 Dựng góc nhọn , biết sin 1

2

Bài 7 Dựng góc nhọn , biết tan 2

3

Bài 8 Cho biết sin 0,8 Tính các tỉ số lượng giác còn lại của 

Bài 9 Cho biết tan  3 Tính các tỉ số lượng giác còn lại

Bài 10 ChoABC có góc C = 20o; ˆB= 300 ; BC = 60cm Đường cao kẻ từ AP Hãy tính AP?; AC?

Bài 12: Cho ABC vuông tại A có AB=10cm và AC=15cm

a Tính góc B

b Phân giác trong góc B cắt AC tại I Tính AI

c Vẽ AH  BI tại H Tính AH

Dạng 2

Bài 1 Đơn giản biểu thức

a) 1 - sin2

b) (1 - cos).(1+ cos)

c) 1+ sin2  + cos2

e) sin4  + cos4  + 2sin2.cos2 

f) sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + + sin2 870 + sin2 880 + sin2 890 – 1

2

g) tan210 tan220 tan230 tan2870 tan2880 tan2890

h) (tan2 10 : cotan2 890) + (tan2 20 : cotan2 880) + .+ (tan2 440 : cotan2 460) + tan2450

sin 10o sin 20o sin 30o sin 40o sin 50o sin 60o sin 70o sin 80o

Bài 2 Cho  là góc nhọn Chứng minh:

1 tan cos sin

1 tan cos sin

Bài 3 Cho hình thang ABCD có ˆ ˆ 90o

B C Hai đường chéo vuông góc với nhau tại H Biết AB = 3 5cm, HA = 3cm

a) Chứng minh: HA:HB:HC:HD=1:2:4:8

b) Chứng minh: 12 - 12 = 12 - 12

Dạng 3

Bài 1 Tính diện tích hình thang cân biết hai đáy là 12cm và 18cm, góc ở đáy bằng 750

Bài 2 Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, AC  4cm BD;  5cm Hai đường chéo cắt nhau trong đó có một góc là 50 độ Tính diện tích tứ giác ABCD và đưa

ra công thức tổng quát

Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A có dường phân giác trong AF Biết BD = 3cm, DC =

4 cm Tính các cạnh của tam giác ABC?

Bài 4 Một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính chu vi và diện tích

hình thang biết đáy nhỏ dài 14 cm và đáy lớn dài 50 cm

Bài 5 Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là 3cm và 14 cm Độ dài các đường chéo là

8cm và 15 cm Tính diện tích hình thang ABCD ?

Bài 6 Cho hình thang ABCD có AB // CD, đường cao bằng 4 cm, đường chéo BD = 5 cm,

hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau Tính diện tích hình thang ABCD ?