Trong quá trình giải các bài toán về căn thức bậc hai ta cần chú ý các điều sau đây: 1.. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA[r]
Trang 1Bài giảng số 5: CÁC DẠNG TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI
A TÓM TẮT KIẾN THỨC
Trong quá trình giải các bài toán về căn thức bậc hai ta cần chú ý các điều sau đây:
1 Điều kiện để biểu thức A có nghĩa là A0
2 Ta luôn có 2
A A với điều kiện A0 (định nghĩa căn bậc 2)
3 Ta có hằng đẳng thức 2 0
0
A khi A
A A
A khi A
Do đó 2
2
0
A A A
4 Ta có AB A B khi A0,B0.
A B khi A B
AB A B
A B khi A B
Tương tự cho quy tắc khai căn của một thương
5 Ta có A2 B2 A B
A B
Do đó, để A2 B2 A B ta cần phải có điều kiện AB0 (điều kiện cùng dấu của hai vế)
Tức là
0
A B
A B
AB
Chú ý Có một trường hợp thường gặp
2
0 0
A
A B
(điều kiện cùng dấu của hai vế)
Tuy nhiên, từ điều kiện AB2 ta suy ra A0.
Do đó A B B 02
A B
B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1: Giải phương trình chứa căn
- Đặt điều kiện xác định cho biểu thức trong căn
Trang 2- Phá dấu căn bằng cách vận dụng hằng đẳng thức A = A hoặc bình phương hai vế của đẳng 2 thức
- Sau khi tìm được nghiệm, đối chiếu với ĐKXĐ và rút ra kết luận
Ví dụ 1: giải phương trình
Giải
a) x 1 2 (ĐK: x 1)
3
x thỏa mãn ĐKXĐ vậy phương trình có nghiệm x3
b) x24x 4 4
2
x x x x (1)
+ Trường hợp 1: x 2
(1) x 2 4 x 2 (thỏa mãn ĐK)
+ Trường hợp 2: x 2
(1) x 2 4 x 6(thỏa mãn ĐK)
KL: Vậy phương trình có 2 nghiệm x 6; x2
Ví dụ 2: 2x22 2x3 2x138 2x3 5
Giải
Cách 1:
Nhận xét: 2x310 vậy ta chỉ xét dấu của 2x34
Nếu
2 19 2
3
16 3 2 0 4 3
x
x x
Thì 2x31 2x3452 2x38 2x34
Giải ra
2
9
x (Không thỏa mãn điều kiện)
Trang 3+ Nếu
2
19 2
3 4 3
2x x
Thì 2x31 2x3450x0 vô số nghiệm với mọi x thỏa mãn
2
19 2
3 x
Kết luận:
2
19 2
3 x
Cách 2:
Áp dụng BĐT A B AB Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A.B0)
Giải: (*)
5 3 2 4 1 3
2
5 4 3 2 1
3
2
x x
x x
Ta có 2x31 4 2x3 2x314 2x3 5
Vậy 2x31 4 2x3 5 Khi 2x314 2x30
2 3
0 3 2 4
x
x
Kết luận:
2
19 2
3
x
Dạng 2: Căn bậc ba
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức
) 8 125 3 9
) 7 5 2 7 5 2
Lời giải mẫu:
) 7 5 2 7 5 2
x
3
3
3
3
3
14 3
x
x
Trang 4Dạng 3: Tìm Max, Min
- Đánh giá biểu thức trong căn
- Sử dụng bất đẳng thức Cô si
+ a b 2 ab với a, b là hai số không âm
+ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
- Làm trội, đánh giá qua biểu thức trung gian
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
x x
Giải
a) M x26x12
M x 6x12 x 6x 9 3 x3 3 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 3 đạt được khi x 3 0 x 3
1
x
x
(x1)
x
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương x1 và 4
1
x có
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 đạt được khi 1 4 1 4 5
1
x
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức, chứng minh đẳng thức, chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến
Ví dụ 5: Cho 3
4
x
Tính giá trị của biểu thức A = 1+ 2x + 1- 2x
1+ 1+ 2x 1- 1- 2x
Giải
Trang 53 3
1+ 1+ 2 1- 1- 2
6 2 3 3 3 3 6 2 3 3 3 3
6 6
6
1
Ví dụ 6: Cho xy + yz + zx = 1 và x + y + z = 2
Chứng minh biểu thức 2 2 2 2 2 2
A =
thuộc vào biến
Giải
Thay 1 = xy + yz + zx vào có
Trang 6
2
A =
xy yz zx x xy yz zx y xy yz zx z xy yz zx y
xy yz zx x xy yz zx z
xy yz zx y
x y x z y z x y x z y z x y y z x y x z x z y z
y z
x y y z x z
x y z
Ví dụ 7: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a b c ab bc bc Chứng minh a = b = c
Cách 1: Biến đổi tương đương
0 0
0 0
C BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm x, thỏa mãn
a x
2
b x x
c x x x x x
d x x x
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
a) C = 1
1
x b) D =
1
x x
x
x x
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ của biểu thức
Trang 7a) A = 2
2
x x
b) 2
3
x x
Bài 4: Chứng minh rằng:
1
a x a x
2
2
2
2
2, 1
a a
a
a a
182 33125 182 33125 7
4
5 3
3
1
5 2 7
là nghiệm của phương trình
3
x 3x 14 0
Bài 5: Tìm GTNN của các BT sau
a)A x2 x 1 x2 x 1
b)
2
3 B
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất (bé nhất) nếu có của:
2
x -4
1
2004 2003
-2x
x
Bài 7: Rút gọn
a) 3
512 ; 3
729
b)
3
3 3
3
135
54 4
20 14 2 20 14 2
d) 35 2 + 7 + -5 2 + 73
Bài 8: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a) x22x 1 x với x1
b) x2 x 0,5 x24x4với x2
Trang 8c) 4 2
x x x x x
Bài 9: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
a)
A xy x xy y
1
B
x
Bài 10: Chứng minh
a) 7 là số vô tỉ
b) Số x o 2 2 3 6 3 2 3 là 1 nghiệm của phương trình x416x2320