Bài giảng số 5: Một số phương pháp cơ bản giải hệ phương trình thường gặp trong đề thi ĐH

Nội dung phương pháp: Thông thường ta rút một biến hoặc một biểu thức thích hợp từ một phương trình và thay vào phương trình còn lại của hệ ta thu được phương trình một[r]

Bài giảng số 5 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI HỆ

PHƯƠNG TRÌNH

I Phương pháp thế

Nội dung phương pháp: Thông thường ta rút một biến hoặc một biểu thức thích hợp từ một

phương trình và thay vào phương trình còn lại của hệ ta thu được phương trình một ẩn

Chú ý:

 Phương trình một ẩn này phải giải được

 Một phương trình trong hệ có thể đưa về tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :

2

x x y x y x





 

 

1 2

Giải

Phương trình   6 6 2

2

2

  thay vào phương trình  1 ta được:

2

x  x          x

 3

4 0

x x

4

x x





   

 Với x = 0 thay vào phương trình  2 ta thấy không thỏa mãn

Với x 4 thay vào phương trình  2 ta được 17

4

y

Vậy nghiệm của hệ phương trình là :  17

4

x y   

 

1

x y



  



Giải

Từ Phương trình    2 22

2  x y 1 Thế vào phương trình  1 ta được:

2

 





Với x y, thay vào phương trình   1 1

Với x 2y, thay vào phương trình     2 1 2 1

Với 2x2xyy2   0 x y 0, không thỏa mãn phương trình  2

BÀI TẬP:

Giải các hệ phương trình sau:

1)

2

3

5 2 3





 Đáp số:     x y;  0;3 ; 2;1 ;  4; 1 

1

x x y x x y





 

 Đáp số:    x y;  1;0

2

1





  

; 1; 1 ; 2;

2

x y     

4)

1 5 1



 Đáp số:     x y;  0; 2 , 0; 2 , 1; 3 ,     1;3 

HD: Phương trình (2) y25x2 4 Thay vào phương trình (1) được:

x  y  x y y  x

5)





13 13 13 13

6)

12

3

12

3

x

y





Đáp số:  x y; 4 2 3;12 6 3   

HD:

1

3





 



Nhân vế với vế hai phương trình ta được:

  

x  y y x    

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

2







 

 

1

2

Giải

Điều kiện: 1

0

x

y





 



Phương trình (1) 2 2  

      xyx2y 1 0

0

Với x y( vô lí )

Với x2y1, thay vào phương trình (2) và biến đổi, thu gọn ta được:

y1  2y2  0 y 2( do y0) x 5

Vậy nghiệm của hệ phương trình là :    x y;  5; 2

BÀI TẬP:

Giải các hệ phương trình sau:

1)

1 1

x x y x y

x y x xy





 Đáp số:     x y;  1;1 ,  1; 1 

2)

2

2





; 0;1 , ;0

3

3)

2





; 0; 4 , 4; 0 , ; 0

5

4)





; 2 4; 4

x y 

5) 3 22 02 2

xy x

  





HD  2   

2 0

xy x

  



2

2





; 1;1 , 1; 1 , 2 ; , 2 ;



 

7)

2

8 16

xy





Đáp số:   x y;  3;7 , 2; 2   

2

x y x y



 





 Đáp số:     x y;  1;1 , 1; 1  



 

9)

4

4

2

1

2 4

2

1

1 4

x

x y

y

x y







Đáp số:  x y; 64 17 12 2 ;16 17 12 2       

II Phương pháp đặt ẩn phụ

Nội dung phương pháp:

Điểm quan trọng nhất trong việc giải hệ là phát hiện ẩn phụ u f x y v ; , g x y ; Có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một số phép biến đổi cơ bản

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

1 2





Giải

Đặt y z, ta được hệ phương trình

3 3 2 2

1

2







2

1 2

2

x z xz x z



 



xz P

 





 

Ta có:

2

1 2

2









2 3 4

S P









3 2 1

2

1

2 3 2

x y

x y

 





  

 











  







Vậy nghiệm của hệ phương trình là :   3 1 1 3

x y      

BÀI TẬP:

Giải các hệ phương trình sau:

1)  2 2





; 0;1 ; ;

7 7

x y    





2 2



  



x y xy x x y





 Đáp số:    x y;  1;3

2

2



 



Đặt

2

xy v

  











30 11

xy x y x y x y

xy x y xy x y



 

xy v

 



 



4)

5 4 5

1 2

4

      







Đáp số:   3 5 3 25 3

x y      

HD:

2 2

5 4 5

4



 



Đặt

2

xy v

  







5)

2

2

1 4

1

3

xy x y

y

y x

y





   



Đáp số:     x y;  1;1 , 3; 1  

6)

3

7 3

x y x y





 Đáp số:   x y;  5; 4 ,  4;5 

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :  

2 2





Giải

Nhận xét: y = 0 không phải là nghiệm nên hệ đã cho tương đương với :

2

2

1

4

1

2 1

x

y x

y

x

y x

y

    







  



Đặt :

2

1

2

x

y

   



1

2 1

2

2 1

5

x x

y y

x

y x

y

 

 



    





Vậy nghiệm của hệ phương trình là :     x y;  1; 2 , 2;5 

BÀI TẬP:

Giải các hệ phương trình:

1) 2 2 1 7 2

1 13

  



; 3;1 , 1;

3

1

7

1

13

x x

x x



 

    



Đặt

1

y

x

v

y

  





 



2)

2

3

1

x y

x

x y







Đáp số:    x y;  1;0

HD:

2

3

1

3

x y



 



Đặt

1

, 2

x y

x y v



  



3)

6

y y x x

x y x





 Đáp số:     1

; 1; 2 , ;1

2

HD:

2 2

2 2

2

1

6 6

y

x x

y



Đặt

1

y

v

x

x

 





  



4)

2 2

1

1

x y

xy

x y





Đáp số:   7 3 5 7 3 5

HD:

1 1

5

1 1

49

x y

x y

x y

x y

    



 



Đặt

1

1

x

y

  





  



5) 3 3 

9 3 1 125

45 75 6

y x





; ; , ;5

3 2 3

x y    

     

HD:

3

3

125

x

y







Đặt

3

5

u x

v

y







 



2





 Đáp số:      x y;  0;3 , 1;0

HD: Cộng vế với vế hai phương trình rồi đặt t  x y1

III Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Nội dung phương pháp:

Điểm quan trọng của phương pháp này là biến đổi một phương trình của hệ về dạng

   

f u  f v với f là hàm số đơn điệu trên D Từ đó suy ra u = v

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  2   







 

 

1 2

Giải

Đk: 3

4

x ; 5

2

y

Ta có phương trình (1)  2   

4x 1 2x 5 2y 1 5 2y

2x 1 2x  5 2y 1 5 2 y

Ta có:    2    2

0

2

x

y











Thay vào phương trình (2) ta được:

2

2

x

Nhận xét 0, 3

4

x x không phải là nghiệm của  

Xét hàm số:   2 5 4 2

2

x

3 0; 4

4

3 4

x

 g x là hàm nghịch biến  

g      x

 

Vậy nghiệm của hệ là :   1

; ; 2

2

x y  

  

BÀI TẬP:

Giải các hệ phương trình sau:

1)    





1

; 1;

2

x y   

2

2y 1 4y 1 1 1

Xét    2 

f t t  t   f t  đồng biến 2 y 1

x

 

3

4 3 3 1 3 5







Đáp số:   1

; 1;

3

x y   

 

3

x y xy





2 2

x y  

HD: Cách 1: Vì  2

4xy xy nên từ (1)

   3 2

2 xy  xy 30    2 

1 2 3 3 0

a a  a 

 a1 (với x y a)

Khi đó  2   2 2    2

2

a

y y





1 2 1 2

x y

 





 



Cách 2: Đặt t x y  theo cách 1 ta có t1

2  t 2t  t 2y1 0 Xét hàm số   4 2  2

f t  t t  t y với t1 Ta có

' 4 4 1 4 1 1 0

1

2

  

4)

7

x y y

x y xy y





 Đáp số:   x y;  2;1

HD: Phương trình (2)  2 3

9

y

y     t t

Thay vào phương trình (1) thu gọn: 2  33 9 3

t  t t  t

3

3

Xét hàm số:   9  33

3

f t   t t  t  t

  8 2 32

 

f t

 đồng biến  t 1

5)

2





 Đáp số:     x y;  1;1 , 1; 1   6)

8









Đáp số:  x y;   2 2; 4 2  

HD: phương trình (1)  

2

x

f   f y

  

  , với   4 1  

t

t



 







Đáp số:     3 11 3 11

3

2 14 3 2 1





98

   HD: phương trình (1)   1

x

 

2





 Đáp số:      x y;  1;0 , 5; 2

HD: phương trình (1)  f  2x 1 f y 1, thay vào phương trình còn lại thu gọn ta được

1 5 4 20 25 0

10)

4





 Đáp số:      x y;  1;0 , 2;1

HD: phương trình (1)    4 

1

f x f y

   , thay vào phương trình còn lại thu gọn ta được

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

2 3 3







 

 

1

2

Giải

x

y

  



  



Đặt z   x 1 z  0; 2

Phương trình (1) 3 2 3 2

3 , 0; 2

f t  t t  t

         f t là hàm nghịch biến trên  0; 2

Mà f z  f y     z y x 1 y

Thay vào phương trình (2) có: 2 2

x  x      x y

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:   x y;  0;1

BÀI TẬP:

Giải các hệ phương trình sau:

1)

3 4

1





 Đáp số:    x y;  2;1

2)

y x









 Đáp số:    x y;  1;1

3)

3

   







x y          

4)

1

x y





x y

5)





 Đáp số:    x y;  1;1

HD: Trừ vế với vế của hai phương trình ta được:

   

f t  t  t  t  t t t   x y

Thay vào phương trình thứ nhất  Phương trình có dạng :

   1

f x x  x  x  x  x t

6)

3

3





 Đáp số:   x y;  0;0

7)

2

4

3

y





Đáp số:   x y;  2;11 

HD: Từ phương trình thứ nhất  y 3x21 Thay vào phương trình còn lại và thu gọn ta được

2

1

x

x



 Vế trái đồng biến, vế phải nghịch biến

3

2





; 0; , ; 0

x y     

9)

2





HD: Phương trình thứ nhất  f y  f x 1 

10)





27 9

x y   

HD: Phương trình thứ nhất  f x  f y 2  Thay vào phương trình thứ hai rồi liên hợp

11)





2 2

x y    

  HD: Phương trình thứ nhất  f x  f y 1  Thay vào phương trình thứ hai rồi đánh giá vế trái lớn hơn hoặc bằng vế phải

12)

2

1 1





 Đáp số:    x y;  5; 4

HD: Phương trình thứ nhất  f x  f y 1  Thay vào phương trình thứ hai thu gọn, nhân liên hợp ta được:

  1 2 6



13)

4





 Đáp số:    x y;  1;1

HD: Phương trình thứ nhất  f x 2 f  y Thay vào phương trình thứ hai rồi dùng

bunhiacopxiki

14)





2 2 2 2

    HD: Cộng vế hai phương trình ta được  2   2

f x  x  f y





 Đáp số:  x y;   4; 4 

2

3 3

x y x y





17)

3

2

2 1 3

1 1

x

x x







Đáp số:  1 5 1 5

        

2

1 3 2 4 1 1 8

2 0

x y x







Đáp số:   1

; 4;

8

x y   

HD: Phương trình thứ nhất 1  

2

x

 

 

2

2

log log 2 2

log 6 log 1 log 3 3 0

x





 Đáp số:        x y;  8;7 , 2;1 , 4;3

HD: Phương trình thứ nhất  f x  f y 1 

20)

2

2

2

8

8

8

y

z

x













Đáp số: x y z; ;   1;1;1 

21)

2

1

e

y









Đáp số:   x y;  4; 4  