Chuyên đề: Các phương pháp tính thể tích khối chóp dành cho học sinh 12

- Các tính chất của quan hệ vuông góc, quan hệ song song trong không gian, các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác:.. - Một số dạng tính thể tích khối chóp:.[r]

Trang 1

Http://Baigiangtoanhoc.com Page 1

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH HÌNH CHÓP

Tác giả: Nguyễn Minh Thành 1.Cơ sở lí luận:

- Các tính chất của quan hệ vuông góc, quan hệ song song trong không gian, các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác:

- Một số dạng tính thể tích khối chóp:

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức V=1 .

3B h

( B là diện tích đáy,h là chiều cao)

Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó với

các cạnh của khối chóp khác đã biết thể tích và công thức:

' ' ' ' ' '

.

SA B C

SABC

V  SA SB SC

(A’,B’,C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp S.ABC)

Dạng 3:Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và công thức

thể tích khối chóp ABCD: V=1 ,

3   AB AC AD

2.Các biện pháp để tổ chức thực hiện:

Bài giảng được thực hiện qua các tiết dạy bồi dưỡng học sinh, tự chọn, ôn tập hoặc phụ đạo nhằm khắc phục thời lượng hạn chế theo Phân phối chương trình

Cung cấp cho học sinh các dạng toán tính thể tích khối chóp (phương pháp,

ví dụ minh họa và bài tập áp dụng giúp học sinh tự rèn luyện, ôn tập) :

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức V=1 .

3B h (1)

( B là diện tích đáy,h là chiều cao)

Dạng này được sử dụng ở các trường hợp sau:

Trang 2

Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400

a

b

b S

A

B

C

a

b c



S

C

Trường hợp 1: Khối chóp có cạnh bên nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy

Phương pháp:

- Xác định đường cao (chính là cạnh bên vuông góc với đáy)

- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1)

để tính thể tích khối chóp

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vuông góc với mặt phẳng

(ABC).SA=a, tam giác ABC vuông tại B và BA=BC= b Tính thể tích khối chóp

S.ABC

Lời giải:

Ta có SA( ABC) nên SA

là đường cao của hình chóp S.ABC

2 1

.

ABC

b

S  BA BC

Ta có thể tích khối chóp S.ABC là:V= SA.SABC

3

1

6

1 2

1 3

1

ab b

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC),

SA=a, tam giác ABC có A= và AB=b, AC=c Tính thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

Ta có SA( ABC) nên SA

là đường cao của hình chóp S.ABC

sin

ABC

bc

Thể tích khối chóp S.ABC là:

Trang 3

S

A

D

V= SA.SABC

3

1

6

1 sin 2

1 3

1

abc bc

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA

vuông góc với đáy.Góc giữa SC và đáy bằng 600

Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

Vì SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) nên SA là đường cao của hình

chóp S.ABCD

Mặt khác AC= 2 2

2

AB AC a

AC là hình chiếu vuông góc của SC

trên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC

và mặt phẳng (ABCD) là góc SCA

Suy ra SCA =600 và SA=AC.tanSCA=a 2.tan600=a 6

Diện tích đáy ABCD bằng SABCD=AB2=a2

Thể tích khối chóp S.ABCD bằng: V=1 1 2 3 6

a

SA S  a a  (đvtt)

Bài tập áp dụng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết:

a) Cạnh AB= a, AD=2a, SA=3a

b) Cạnh đáy AB=a 3, AD=a, góc giữa AC với mặt phẳng (SBC) bằng 300

Trường hợp 2: Khối chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với mặt đáy

Phương pháp:

- Xác định đường cao

Trang 4

S

A

D

(chính là cạnh chung của hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy)

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vuông góc với

đáy SA =a, đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc A=1200 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

Vì (SAB) và (SAD) cùng

vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

nên SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) hay SA là đường cao của

hình chópS.ABCD

Ta có SABCD=2SACD mà

2

3 2

ABCD

a

S

Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD

V  SA S  a  (đvtt)

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông cạnh a Các

mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SC tạo với đáy một góc 300 Tính thể tích khối chóp

Lời giải:

Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA

D

C

A

B S

Trang 5

N

M

S

A

B

C

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay

SA là đường cao của hình chóp

Ta có: SABCD=AB2=a2,

2

AB BC a SAAC (vì SA(ABCD) ), suy ra AC là hình chiếu vuông góc của SC xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc SCA bằng 300

Xét tam giác SAC vuông tại A có SA=AC.tanSCA = 0 6

2 tan 30

3

a

Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD : 1 1 6 2 3 6

V  SA S  a  (đvtt)

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông cân tại B,

AB=BC=2a Các mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng(ABC).Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với

BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600

Tính

thể tích khối chóp S.BCMN

Lời giải:

Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) hay SA là

đường cao của hình chóp S.BCMN

Vì ABBC (giả thiết) nên

SBBC (định lí ba đường vuông góc)

Và góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc SBA

Suy ra SA=AB.tan SBA = 2a.tan600 = 2 3a

Mặt khác MN// BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC và

2

.

BCMN ABC

a

Trang 6

60 0

I A

C

B S

Thể tích khối chóp S.BCMN: V=1 3

3 SA S BCMN a (đvtt)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC=a, hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với đáy.Góc tạo bởi SC và mặt đáy bằng 600.Tính thể tích khối chóp

Trường hợp 3: Khối chóp có hai mặt phẳng đi qua đỉnh (không chứa mặt bên) cùng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy

Phương pháp:

- Xác định đường cao (nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng

cùng vuông góc với mặt đáy)

- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức

(1) để tính thể tích khối chóp

Ví dụ 7:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A ,

AB=AD=2a, CD =a, góc giữa SC và (ABCD) bằng 600.Gọi I là trung điểm cạnh

AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Lời giải:

Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SI vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI là

đường cao của hình chóp S.ABCD

IC là hình chiếu vuông góc của SC

Trang 7

60 0

N M

A

B S

Xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc

giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCI

=600.Theo định lí Pitago ta có:

2

IC ID DC  a a a SI=IC tan SCI= 0

2 tan 60 6

Tứ giác ABCD là hình thang cân nên ta có

3

ABCD

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=1 1 2 3

3SI S ABCD  3 a a a (đvtt)

Ví dụ 8:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M là

trung điểm của AB, hai mặt phẳng (SMC) và (SMB) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Lời giải:

Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc

với mặt phẳng (ABCD) nên SI vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI là

đường cao của hình chóp S.ABCD

Gọi N là trung điểm của BC ta có

MN là đường trung bình của hình

vuông ABCD nên MN BC suy ra SN BC và góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc SNM= 450

Ta có MN=a và SM=MN.tanSNM=a.tan450=a SABCD=AB.AD=a2

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=1 . 3

3 ABCD 3

a

SM S  (đvtt)

Ví dụ 9:

Trang 8

S

O

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD=1200

Gọi O là giao điểm của AC và BD, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc giữa hai mặt phẳng SA và (ABCD) bằng 600

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Lời giải:

Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SO là đường cao của hình chóp S.ABCD

AO là hình chiếu vuông góc của SA

xuống mặt phẳng (ABCD) nên

góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD)

là góc SAO = 600 Ta có OAB = 600

os60

2

a

AB c  và

tan 60

SABCD=AB.AD.sinBAD =a2.sin1200 =

2 3 2

a

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=1 . 1. 3. 2 3 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD H là giao điểm của CN và DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH=a.Tính thể tích khối chóp S.CDMN

Trường hợp 4: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy

Phương pháp:

- Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy là giao giữa

mặt bên đó với mặt đáy )

Trang 9

H A

C

B S

D K

- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức

(1) để tính thể tích khối chóp

Ví dụ 10:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có đáy lớn là

AB = 2a, AD =CD =a và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau,

tam giác SAB đều Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH AB suy ra SH (ABCD) hay SH

là đường cao của hình chóp.SH=SA.sin600

=2 3 3 2

a a Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên AB khi đó

KD

2

  SABCD=

2

a

KD ABCD 

Thể tích khối chóp S.ABCD:

V=

Ví dụ 11:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a

SA=a,SB=a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN

Lời giải:

Trang 10

N

M A

C

B S

D

H

I A

C

B S

D

Gọi H là hình chiếu của S trên AB ta có SH(ABCD) hay SH là đường cao của hình chóp S.BMDN

Mặt khác tam giác SAB có

SA2 +SB2=AB2 (a2+3a2=4a2)

Nên vuông tại S suy ra

2

a SH

SH  SA SB  

2MN DB a

Thể tích khối chóp S.BMDN:

V=

3 2

Ví dụ 12:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a SA=SB và

mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy Góc giữa SC và mặt đáy bằng 450

Tính

theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của AB suy ra SI AB và SI (ABCD)

hay SI là đường cao của hình chóp S.ABCD

Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)

là góc SCI =450

Xét tam giác vuông SCI vuông cân tại I

2

CB BI  a a a ,

SABCD=AB2=4a2

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=1 . 4 3 2

3 ABCD 3

a

SI S  (đvtt)

Trang 11

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết

a) AB=2a, AD=2a, tam giác SAB đều

b) AB=2a, AD=a và tam giác SAB cân tại S, góc giữa SC và mặt đáy bằng 450

Trường hợp 5: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với hai

đường thẳng cắt nhau thuộc mặt đáy

Phương pháp:

- Xác định đường cao (chính là cạnh bên đó )

Ví dụ 13:Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc,

SA=AB=AC=a Tính thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

AC SA

AB SA













nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC

2 1

.

ABC

a

S  AB AC 

Thể tích khối chóp S.ABC là:

V= SA.SABC

3

1

6

1 2

1 3

1

a a

a  (đvtt)

Ví dụ 14:

a

S

A

B

C

Trang 12

S

A

B

C

Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc, SA=a, AB=AC= b Tính thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

AC SA

AB SA













nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC

2

AC AB

Thể tích khối chóp S.ABC là:VS.ABC= SA.SABC

3

1

6

1 2

1 3

1

ab b

Cho hình chóp S.ABC trong đó SA,AB,AC đôi một vuông góc, SA=a, AB=b, AC=c.Tính thể tích khối chóp S.ABC

Trường hợp 6: Khối chóp đa giác đều

Phương pháp:

- Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống tâm của đa giác đáy )

Ví dụ 15:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh bên bằng a 2 ,góc tạo bởi cạnh bên

và mặt đáy bằng 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có SO(ABC)

nên SO là đường cao của hình chóp Xét tam giác SOA vuông tại O có góc

Trang 13

M A

C

B S

O

M

A

B

C D

S

O

giữa SA và mặt phẳng (ABC) là góc

SAO =450.Suy ra AO=SA.cosSAO=a ,

SO=SA.sin SAO=a Gọi M là trung điểm

của BC ta có :

SABC=

2

.

a

AM BC

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=1 . 3 3

a

SO S  (đvtt)

Ví dụ 16:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, khi đó SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay

SO là đường cao của hình chóp Gọi M là trung điểm của

cạnh BC khi đó OMBC và SMBC, góc giữa mặt phẳng

(SBC) và mặt phẳng (ABCD) là

góc SMO =600

Xét tam giác SOM vuông tại O có

SO=OM.tan600= 3 3

a  a

SABCD=AB2=a2

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=1 . 3 3

3 ABCD 6

a

SO S  (đvtt)

Trang 14

D' B'

A

B

C

D

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó với

các cạnh của khối chóp khác đã biết thể tích và công thức:

' ' ' ' ' '

.

SA B C

SABC

V  SA SB SC

(A’,B’,C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp S.ABC)

Phương pháp:

- Tính thể tích khối chóp S.ABC

- Lập tỉ số các cạnh từ đó suy ra thể tích khối chóp S.A’B’C’

Ví dụ 17:

Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V Gọi B’ và D’ lần lượt là trung điểm của AB

và AD Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần Tính thể tích hai phần đó

Lời giải:Ta có

' '

DD ' '

AB CD

AB CD ABCD

BC B

Trang 15

O

D' S

A

C

D

B

B'

C'

Ví dụ 18:Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông

góc với mặt đáy và SA =2a Gọi B’,D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD

Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Lời giải:Ta có AB’SB và AB’CB (CB(SAB) suy ra AB’SC

Tương tự AD’SC suy ra SCAC’

Do tính đối xứng nên ta có

VS.AB’C’D’=2VS.AB’C’.Mặt khác

' '

' ' ' '

.

S AB C

SABC

V SB SC SB SB SC SC

4 4 8

5 6 15

Suy ra VS.AB’C’= 8 .

15V S ABC mà

VS.ABC=

3 2

.2

a

SA S  a a 

nên thể tích khối chóp S.AB’C’D’ : V=2. 8 . 3 16 3

15 3 45

 (đvtt)

Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 5, đường chéo AC =4, đoạn thẳng SO=2 2(O là tâm của hình thoi) vuông góc với đáy.Gọi M là trung điểm của cạnh SC Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Dạng 3:Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và công thức

thể tích khối chóp ABCD: V=1 ,

3   AB AC AD (2)

Phương pháp: - Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxyz phù hợp

- Tọa độ hóa bài toán

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	601,84 KB