Bài giảng số 1: Các phương pháp giải phương trình vô tỷ trong đề thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị TrangA. Bài giảng số 01: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ.[r]

Bài giảng số 01: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

( ) ( ) ( ) k ( )

k f x g x  f x g  x



2

( ) ( )

( ) 0

k

f x g x

g x





 2k 1 f x( )2k 1g x( )  f x( )g x( )

 2k f x( ) 2k g x( )  f x( )g x( )0



2

0

A B

B

 









A B



 2k f2k( )x  f x( ) ; 2k 1 f2k1( )x  f x( )

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) x3  2 x

b) x2  x 1 2x3

Giải

a) Phương trình

5 21

2

2 2

x

x x









Vậy nghiệm của phương trình là: 5 21

2

S   

b) Phương trình

2

3

2

x x



1 17

1 17

2 3

2

x

x x









Vậy nghiệm của phương trình là: 1 17

2

S   

Ví dụ 2: Giải phương trình: x1(3x2 x 1) 3 x32x 1 0 (2)

Giải

2

( x 1 x)( x 1 3x 1) 0

2

1 0 (1)

1 3 1 0 (2)

 



Ta có:

(Vô nghiệm)

Ta có: 21 0

x

x











(2) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 3: Giải phương trình: x2153x 2 x28 (3)

Giải

Ta có: (3) x215 x283x 2

x

7

3 2 (*)

x

(*)

 có nghiệm thì 3 2 0 2

3

x  x

Mặt khác: (1) x215 4 3x 3 x2  8 3

3( 1)

x

x

1 0

3 0 (**)

x

 







Do 2

3

x  nên x2 154 x2 8 3 và x  1 0

(**) 0 (**)

VT

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1

3x 1 6x3x 14x 8 0 (1)

Giải

Điều kiện: 1 6,

3 x

   khi đó:

2

(2)( 3x 1 4) (1  6x) 3 x 14x 5 0

( 5)(3 1) 0

( 5)(3 1) 0

3 1 0 (*)

5 0

x

x







 



Theo điều kiện 3x  1 0 VT(*)  (*) vô nghiệm 0

Do đó phương trình đã cho có nghiệm: x 5

Ví dụ 5: Giải phương trình: x x9 1x 4x (5)

Giải

Điều kiện: x 0

(1)x  x 9 2 x x( 9) x   1 x 4 2 (x1)(x4)

2 x x( 9) (x 1)(x 4)

2

4 x 9x 4 x x( 9) (x 1)(x 4)

4 x 9x 4 x x( 9) x 5x 4

4 x x( 9) 4x

2

( 9)

Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x 0

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

Ta đặt căn thức hoặc biểu thức trong căn làm một ẩn phụ để đưa phương trình về phương trình, hệ phương trình đơn giản hơn

Ví dụ 6: Giải phương trình sau: 2 2

2 x 2x2 x 2x5

Giải

Đặt t  x22x20x22xt22

Phương trình 2 2 2 5 2 2 3 0 1 (tm)

3 (l)

t

t







3

x

x

 



 Vậy nghiệm của phương trình là: S   1;3 

Ví dụ 7: Giải phương trình: x 3 6x (x3)(6x) 3 (7)

Giải

Đặt

2

9

2

t

t x  x x x  

Khi đó (1) trở thành:

3

3 2

t t

t

t

 







 Với t  1 x 3 6x   1 (vô nghiệm)

6

x

x

 





 Vậy nghiệm của phương trình (7) là: S   3; 6 

Ví dụ 8: Giải phương trình: 3

2 3x23 6 5 x  8 0

Giải

u x  xu   x u 

2

v  x  x v  2

15x 18 3 (v v 0)

Ta có hệ phương trình: 2 3 3 28 0 3 3 8 22 (1)



Thế (1) vào (2) ta được phương trình:

15u (8 2 ) u 24 0

2

(u 2)(15u 26u 20) 0

3

2

3

u

Vậy nghiệm của phương trình là: x 2

Ví dụ 9: Giải phương trình: 2  2

1 1x x 1 2 1 x (1)

Giải

Điều kiện: x   1;1

Đặt xsin ,t với ; os 0

t

t    c

Ta có phương trình: 1 cos t sin (1 2 cos )t  t

3

2 os os sin

1

1 2

t

x t

x t















Vậy nghiệm của phương trình là: 1;1

2

S  

Ví dụ 10: Giải phương trình: (4x1) x2 1 2x2 2x 1 (10)

Giải

Đặt t x21, (t0)x2 t2 1

Phương trình (10) trở thành: 2

(4x1)t2(t 1)2x 1

2

2t (4x 1)t 2x 1 0 (1)

Ta có:  (4x1)28(2x1)16x224x 9 (4x3)2

Phương trình có nghiệm: 4 1 (4 3) 1

4

t     x

Với

2 2

1

t x      

0

3

x

x







 



Vậy nghiệm của phương trình là: 0;4

3

S  

Dạng 3: Phương pháp đánh giá

Sử dụng bất đẳng thức hoặc tính đơn điệu của hàm số để đánh giá

Ví dụ 11: Giải phương trình: x 1 3x  2(x2 2x3)

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với 2 bộ ( x1; 3x) và  1;1 , ta có:

VT  x  x  x  x 

2

( 1 3 ).2 8 2 2 (1)

x

2( 2 3) 2(( 1) 2) 2 2 (2)

Dấu ‘=’ xảy ra  x1

Từ (1),(2), ta có phương trình có nghiệm duy nhất x 1

Ví dụ 12: Giải phương trình: (x3) x 1 (x3) 1x2x0 (1)

Giải

x



Ta có: (1)(x1) x   1 x 1 2 x 1 (1x) 1x  1 x 2 1x

Xét hàm số: y f x( )x3x2 2x

Có: f '( )x 3x22x 2 0  x R yx3x22x đồng biến trên R

Xét u x( ) x1 và v x( ) 1x đều có miền giá trị 0; 

f x  x  x  x VT

f x  x  x  xVP

   

0

x

Vậy (1) có nghiệm x 0

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình sau:

2 x4 1x  1 2 x ĐS: x 0

2

x

x x  x x   ĐS: x1;x 5

4

2

x

5 3 3 3

2

x x x

6 x2 x 1 x2 x 1 2 ĐS: 1;1

2

T   

2

x  

3

x

x



 ĐS: x 1 5;x 1 13

2

x   

10 x2 4x x26x11 ĐS: x 3

Bài 2: Giải các phương trình sau:

1 x2 x5 5 ĐS: 1 21; 1 17

x   

x  x  ĐS: x30;x 61

3 3 x x2  2 x x2 1 ĐS: 1 5

2

x 

4 2x 3 x 1 3x2 2x25xx16 ĐS: x 3

2

x x 

6 2

x  x  ĐS: x2;x10;x 1

18x x  1 3 ĐS: x2;x17

10 32x2 37x2 32x7x3 ĐS: x 6;x 1

11 x x2 1 x x2 1 2 ĐS: x 1

12 x 1 x24x 5 ĐS: Vô nghiệm

Bài 3: Giải các phương trình sau:

1 2 x2 2 12 4 x 1

2 x2  x 1 8 2x2 x 3 x23x 5 8 2x24x9 ĐS: x 2

3 4 4

x x  ĐS: x1;x16