Bài giảng số 3: Công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng

Ch ứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:.[r]

Bài giảng số 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

A CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

1) Công thức biến đổi tổng thành tích

 cosa +cosb = 2cos

2

a  b

cos 2

a b  cosa – cosb = -2sin

2

a  b

sin 2

a b 

 sina +sinb = 2sin

2

a  b

cos 2

a b 

sina –sinb = 2cos

2

a  b

sin 2

a b 

 tana + tanb = sin( )

cos cos

a b



tana - tanb = sin( )

cos cos

a b



2) Trường hợp đặc biệt:

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Biến đổi biểu thức sau thành tích

T  a a a

Bài giải

Ta có

2

1 cos 2 1 cos 6

cos 2 1

cos 2 cos 6

cos 2 cos 4 cos 2 cos 2 2

cos 2 (cos 4 cos 2 ) 2 cos 2 cos 3 cos



Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:

Bài giải:

Vì

ABC 



sin os

sin os

c

c









 





Khi đó VT = sinA + sinB + sinC

Ví dụ 3: Biến đổi thành tích biểu thức sau C = 1 +sina +cosa

Bài giải

Dùng công thức góc nhân đôi ta có

1 sin cos

2

sin 1 cos

2sin os 2 cos

2 cos (sin os )

2 cos 2 os 2 2 os os

c

c

Luyện tập:

Bài 1: Biến đổi thành tích các công thức sau:

a) B =cosa +cosb +cos(a +b) +1

b) C = 1 +sina +cosa

c) D = sinx +sin3x +sin5x +sin7x

Bài 2: Rút gọn biểu thức : A = sin sin 3 sin 5

Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:

a) A B C

b) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC

c) cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosA.cosBcosC

Bài 4: Biến đổi tổng sau thành tích:

a T2 sin2asin 22 asin 32 a

b T4 tan3xtan2 x3 tanx3

c T5   1 cos 2 a  sin a

d T6  sin cos 3 a a  sin 4 cos 2 a a

Bài 5: Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân nếu thoả mãn một trong các trường hợp sau đây:

sin sin 1

cos cos 2









B CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

 cosacosb = [cos(a b) cos(a-b)]

2

1





 sinacosb = [sin(a b) sin(a-b)]

2

1





 sinasinb = [cos(a b) cos(a b)]

2

1







Ví dụ mẫu

Ví dụ 4: Chứng minh các đẳng thức sau

a) sinxsin( ) sin( )

sin 3

Bài giải:

1 1

s inx.(cos2 )

s inx s inx os2

s inx (sin 3 s inx)

x

x

1

sin 3

  (đpcm)

2

os(2 ) os



= 1 3 3

0

  = VP (đpcm)

Ví dụ 5:Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện:

CosC(sinA + sinB) = sinCcos(A –B) Tính T = cos A + cos B

Bài giải:

Vì ABC  cosC cos(AB)

ABC  C AB

Ta có: cos (sinC Asin )B sin os(C c AB)

A B A B



2

C

c  )

3 3 3 3

c

c

c

3

2

3

2

B

c

A







 



c  c  )AB600

Luyện tập

Bài 6: Chứng minh các công thức sau:

a) cos5xcos3x +sin7xsinx = cos2xcos4x

b) sin5x -2sinx(cos2x +cos4x) =sinx

sin ( ) sin sin( )

Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau

4

3 cos(

) 6 cos(

) 4 cos(

) 3









x

3

2 cos(

) 3 2 cos(

) 6 cos(

) 3 2

Bài 8: Chứng minh

a) cos5x.cos3x + sin7x.sinx = cos2x.cos4x

b) sin5x – 2sinx(cos2x + cos4x = sinx

Bài 9: Chứng minh

a) 5 7

sin 20.sin 40 sin 80

8

