Bài giảng số 1: Phương pháp biến đổi tương đương trong chứng minh bất đẳng thức

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CHỨNG MINH BẤT. ĐẲNG THỨC[r]

BÀI GIẢNG SỐ 1 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CHỨNG MINH BẤT

ĐẲNG THỨC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 Các hàng đẳng thức đáng nhớ

 Các bất đẳng thức cơ bản:

 2

0

A 

 a   a

 a b  a b

a b c ab bc ca 

2(a b ) ab

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1:

Cho x 2 + y 2 + z 2 = 1 Chứng minh: xy yz zx 1

2

1











Lời giải

* Cĩ

2

1 zx yz

xy    2xy + 2yz + 2zx  -1  1 + 2xy + 2yz + 2zx  0

 x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx  0  (x + y + z)2  0 (luơn đúng)

* Cĩ xy + yz + zx  1  x2 + y2 + z2  xy + yz + zx

 2x2 + 2y2 + 2z2  2xy + 2yz + 2zx

 (x2 + y2 – 2xy) + (y2 + z2 – 2yz) + (z2 + x2 – 2zx)  0

 (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2  0 (luơn đúng)

Vậy bài tốn được chứng minh

Ví dụ 2:

Cho ab  1, x + y  0 Chứng minh

a)

ab 1

2 b

1

1

a

1

1

2

2 1

2 4

1

1

4

1

1











Lời giải

b 1

1 ab 1

1 ab 1

1 a

1

1 )

1

(

















) b 1 )(

ab 1 (

) ab 1 ( ) b 1 ( ) ab 1

)(

a

1

(

) a 1

(

)

ab

1

(

2 2

2

2

























2 2

2 2

2

2

b 1

) a b ( b a 1

) a b ( a b

1

ab b

a

1

a

ab

























 a(b – a)(1 + b2)  b(b – a)(1 + a2)  (b – a)[a(1 + b2) – b(1 + a2)]  0

 (b – a)(a + ab2 – b – a2b)  0  (b – a)[ab(b – a) – (b – a)]  0

 (b – a)2(ab – 1)  0 (luôn đúng với mọi ab  1)  đpcm

b) Đặt a = 2x > 0, b = 2y > 0  ab = 2x + y  20 = 1

(2) trở thành:

ab 1

2 b

1

1 a

1

1

2 2









Ví dụ 3:

Cho a, b, c > 0 và

b

2 c

1 a

1



b c 2

b c b a 2

b a













(1)

Lời giải

Từ

c a

ac 2 b ac

c a b

2 b

2

c

1

a

1

















Có

c a

) c a ( a c a

ac 3 a c a

ac 2 a

b

a

2



















c a

a c a

ac 2 a b a

2













c a

) a c ( c c a

ac 3 c c a

ac

2

c

b

c

2



















c a

c c a

ac 2 c b c

2













c

a c a

c a 4 ) c a ( / c

) c a ( / ) a c ( c ) c a ( / a

) c a ( / ) c a ( a

)

1

















2 a

c c

a 8 c

a 3 1

a

c

3

  a2 + c2  2ac  (a – c)2  0 (luôn đúng)

Vậy bài toán được chứng minh

Ví dụ 4:

Cho a + b > 0 Chứng minh

(a + b)(a 2 + b 2 )(a 3 + b 3 )  4(a 6 + b 6 ) (1)

Lời giải

Có a + b > 0  a2 + b2 > 0 nên

(1)  (a + b)(a2 + b2)(a3 + b3)  4(a2 + b2)(a4 + b4 – a2b2)

 (a + b)(a3 + b3)  4(a4 + b4 – a2b2)  a4 + ab3 + a3b + b4  4a4 + 4b4 – 4a2b2

 3a4 + 3b4 – 4a2b2 – a3b – ab3  0  (2a4 + 2b4 – 2a2b2) + (a4 + b4 – a3b – ab3)  0

 2(a2 – b2)2 + a3(a – b) – b3(a – b)  0  2(a2 – b2)2 + (a – b)(a3 – b3)  0

 2(a2 – b2)2 + (a – b)2(a2 + ab + b2)  0 (luôn đúng)  đpcm

Ví dụ 5:

Cho a + b + c = 3 Chứng minh: a 4 + b 4 + c 4  a 3 + b 3 + c 3

Lời giải

Có a4 + b4 + c4  a3 + b3 + c3  3(a4 + b4 + c4)  3(a3 + b3 + c3)

 3(a4 + b4 + c4)  (a + b + c)(a3 + b3 + c3)

 3a4 + 3b4 + 3c4  a4 + ab3 + ac3 + a3b + b4 + bc3 + a3c + b3c + c4

 2a4 + 2b4 + 2c4  ab3 + ac3 + a3b + bc3 + a3c + b3c

 a4 + a4 + b4 + b4 + c4 + c4  ab3 + ac3 + a3b + bc3 + a3c + b3c

 a(a3 – b3) – b(a3 – b3) + a(a3 – c3) – c(a3 – c3) + b(b3 – c3) – c(b3 – c3)  0

 (a – b)(a3 – b3) + (a – c)(a3 – c3) + (b – c)(b3 – c3)  0

(luôn đúng vì a – b, a3 – b3, a – c, a3 – c3, b – c, b3 – c3 cùng dấu)  đpcm

Ví dụ 6

Cho a, b, c > 0 Chứng minh

a) 2(a b) a b

1

b a )

ab

1

c b a )

abc

Lời giải

1 b

a ) b

a

(

2

1

b ln a ln ) ab ln(

) b a ( 2

1 ) b a ln(

) ab ln(

b a )

ab

 (a + b)(lna + lnb)  2(alna + blnb)  alna + alnb + blna + blnb  2alna + 2blnb

 alna + blnb  alnb + blna  a(lna – lnb)  b(lna – lnb)  (a – b)(lna – lnb)  0

(luôn đúng vì a – b, lna - lnb cùng dấu)  đpcm

b) Ta có, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

1

3

 

Theo (a), ta coự:

Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có :

2( lna a b lnb c ln )c alnb b lna b lncclnb c lnaaln (4)c

Cộng cả vế của (4) với lna ablnbclnc, sau đó ghép nhân tử chúng ta có :

3( lna a b lnb c ln )c (a b c  )(lnalnbln )c (đpcm)

Ví dụ 7

Cho a, b, c  [0, 1] Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2  1 + a 2 b + b 2 c + c 2 a (1)

Lời giải

Có a, b, c  [0, 1]  (1 – a2)(1 – b2)(1 – c2)  0

 (1 – a2)(1 – b2 – c2 + b2c2)  0  1 – b2 – c2 + b2c2 – a2 + a2b2 + a2c2 – a2b2c2  0

 a2 + b2 + c2  1 + a2b2 + b2c2 + c2a2 – a2b2c2

Có 1 + a2b2 + b2c2 + c2a2 – a2b2c2  1 + a2b2 + b2c2 + c2a2

 a2 + b2 + c2  1 + a2b2 + b2c2 + c2a2

Lại do a, b, c  [0, 1]  a2b2 + b2c2 + c2a2  a2b + b2c + c2a

 a2 + b2 + c2  1 + a2b + b2c + c2a  đpcm

Ví dụ 8:

Cho a, b, c  (0, 1) Chứng minh luôn tồn tại một bất đẳng thức sai

4

1 ) a 1 ( c , 4

1 ) c 1 ( b , 4

1 ) b 1 (

Lời giải

Giả sử cả 3 bất đẳng thức trên đều đúng

64

1 ) c c )(

b b )(

a a ( 64

1 ) a 1 ( c ) c 1

(

b

)

b

1

(



Có

4

1 a a 0 4

1 ) 2

1 a ( 4

1 ) 4

1 4

1 a a ( a

a

0  2  2       2     2 

Tương tự:

4

1 c c , b b

64

1 ) c c )(

b b )(

a a

Vậy phải có ít nhất một bất đẳng thức sai

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 Chứng minh

a) a2 + b2 + c2  ab + bc + ca

b) 3(a2 + b2 + 1)  (a + b + 1)2

2 Cho a + b  0 Chứng minh: 3

3 3

) 2

b a ( 2

b





4 Cho a > 0 Chứng minh: 3 a 3 a2 1a

5 Cho ABC Chứng minh:

3 c b a

cC bB











6 Cho a + b + c = 3 Chứng minh: a2004 + b2004 + c2004  a2003 + b2003 + c2003

7 Chứng minh với mọi x, ta có: x6 – x3 + x2 – x + 1 > 0

8 Chứng minh với mọi x, ta có: (x – 1)(x – 4)(x – 5)(x – 8) + 37  0

9 Chứng minh rằng 12 15 20 3 4 5

      với mọi x  