Bài giảng số 1: Phương trình tổng quát của đường thẳng

c. Đường trung trực của tam giác.. Từ đó suy ra toạ độ trực tâm H của tam giác ABC. Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B.. b) Tính chu vi và diện tích của hình vuông AB[r]

VẤN ĐỀ 3.1 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 Vectơ n 0 gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng  nếu vectơ n có giá vuông góc với 

 Nếu vectơ n là VTPT của đường thẳng  thì mọi vectơ khác 0 cùng phương với n cũng là VTPT của 

 Phương trình đường thẳng (PTĐT)  đi qua điểm I(x , y )o o và có VTPT n(a, b) có dạng

là a(xx ) b(y y )o   o 0

 PTĐT đi qua hai điểm A(a, 0), B(0, b) với ab0 có dạng x y 1

a  b và gọi là PTĐT theo đoạn chắn

 Trong mặt phẳng tọa độ mọi đường thẳng đều có dạng phương trình tổng quát (PTTQ) là

axby c 0 với a2b20. Ngược lại mỗi PTĐT dạng axby c 0 với a2b2 0

đều là PTTQ của đường thẳng, nhận VTPT là n(a, b)

 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng 1: a x1 b y1 c ,1 2: a x2 b y2 c 2

 1 cắt 2 khi và chỉ khi 1 1

a  b

 1 song song với 2 khi và chỉ khi 1 1 1

a  b  c

 1 trùng với 2 khi và chỉ khi 1 1 1

a b c

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Dạng 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

a Qua hai điểm A(1; -1), B(2; 3)

b Qua điểm A(1; -1) và vuông góc với đoạn thẳng BC với B(2; 3), C(1; 2)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, A(1; 1), B(2, 0) và C0, -2) Viết phương trình tổng quát của

a Đường cao của tam giác

b Đường trung tuyến của tam giác

c Đường trung trực của tam giác

Ví dụ 3: Cho điểm I(1, 3) và đường thẳng d : x 2y 1 0.   Viết phương trình đường thẳng  đối xứng với đường thẳng d qua điểm I ĐS: x2y 9 0

Bài tập luyện tập:

1 Viết PTTQ của đường thẳng  trong những trường hơp sau:

a) Đi qua điểm I( 1, 3) và có VTPT n(2,5)

b) Đi qua điểm I( 3, 3) và nhận AB làm VTPT với A( 1, 2), B(1, 2)

c) Đi qua điểm I(2,3) và song song với đường thẳng d có phương trình    3x y 4 0 d) Là trung trực của đoạn thẳng AB với A( 1, 4), B(3, 2)

ĐS: a) 2x 5y 17  0, b) x 2y 9  0, c) 3x  y 9 0, d) 2x 3y 1 0  

2 Cho tam giác có ba đỉnh A(– 1, – 1), B(– 1, 3), C(2, – 4) Viết PTTQ của:

a) Đường cao qua A

b) Đường cao qua B Từ đó suy ra toạ độ trực tâm H của tam giác ABC

c) Viết phương trình đường trung trực của cạnh AB và AC Từ đó suy ra toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ĐS: a) 3x – 7y – 4 = 0, b) x   y 4 0 H( 8, 4), c) y 1 0, x    y 3 0, I(4, 1)

3 Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, BC, CA là AB: 2x – 3y – 1 = 0, BC: x + 3y + 7 = 0, CA: 5x – 2y + 1 = 0 Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B

4 Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC biết rằng M(– 2, 4), N(6, – 1), P(4, – 3) là trung điểm các cạnh BC, CA, AB

5 Cho điểm I(1, 3) và đường thẳng d : x 2y 1 0.   Viết phương trình đường thẳng  đối xứng với đường thẳng d qua điểm I ĐS: x2y 9 0

Dạng 2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Ví dụ 4: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 1,2trong mỗi trường hợp sau

0 5 3 2

:

 x y và 2 :x y 30

Ví dụ 5: Biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng 1,2 trong mỗi trường hợp sau theo m

1: (m 1)x my 1 0

     và 2: 2x  y 4 0

Đs: a) 1 2 4m 1 2 4m, m 1, 1// 2 m 1

           

Ví dụ 6: Viết phương trình đường thẳng qua M(1, -1)

a Song song với đường thẳng x- 2y-1 =0

b Vuông góc với đường thẳng 2x –y + 2 = 0

Bài tập luyện tập

6 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 1,2trong mỗi trường hợp sau

a) 1:x3y20 và 2:2x y30

b) 1:0,7x12y50và 2:1,4x24y100

7 Biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng 1,2 trong mỗi trường hợp sau theo m

1: 4x my 4 m 0

     và 2: (2m 6)x  y 2m 1 0 

m 1 m 1

 



 

Dạng 3: Bài tập tổng hợp

Ví dụ 7:Cho tam giác ABC có đỉnh A(1, 3) và phương trình hai đường trung tuyến BM, CN có BM:

x – 2y + 1 = 0, CN: y – 1 = 0 Tìm tọa độ hai đỉnh B và C ĐS: B(–3, –1), C(5, 1)

Bài tập luyện tập

8 * Cho điểm A( 1, 3) và đường thẳng  có phương trình x2y 2 0 Dựng hình vuông ABCD sao cho B, C nằm trên  và các toạ độ của C đều dương

a) Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D

b) Tính chu vi và diện tích của hình vuông ABCD

ĐS: a) B(0, 1), AB 5, C(2, 2), D(1, 4) b) Chu vi 4 5 , diện tích 5

9 * Cho hai đường thẳng d1 : x – y + 1 = 0, d2 : 2x + y – 1 = 0 và P(2, 1) Viết phương trình đường thẳng qua P và cắt d1, d2 lần lượt tại A, B sao cho PA = PB ĐS: 4x – y – 7 = 0

10 Cho hình bình hành có toạ độ một đỉnh là (4; – 1) Biết phương trình các đường thẳng chứa hai cạnh là x – 3y = 0 và 2x + 5y + 6 = 0 Tìm toạ độc ba đỉnh còn lại của hình bình hành đó

11

6 , 11

8 ( C ), 11

20 , 11

17 ( D ), 11

3 , 11

9 (

11 Lập phương trình đường thẳng  đi qua điểm I(6, 4) và tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2

4

3