Bài giảng số 3: Quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng trong không gian

 Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu một trong hai mặt phẳng đó chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia..  Hệ quả 2: Hai mặt[r]

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 3: QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Định nghĩa: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0

 Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu một trong hai mặt phẳng đó chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

Như vậy:    P  Q   a  P :a Q

 Hệ quả 1:

a Nếu hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trên  P thì đường thẳng a đi qua A và vuông góc với  Q sẽ nằm trong  P

b Nếu hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào thuộc mặt phẳng  P , vuông góc với giao tuyến của  P và  Q sẽ vuông góc với mặt phẳng  Q

 Hệ quả 2: Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

 Hệ quả 3: Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng  P có duy nhất một mặt phẳng  Q vuông góc với mặt phẳng  P

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một hình thoi có cạnh a và có SASBSCa Chứng minh rằng:

a) ABCD  SBD

b) SBD là tam giác vuông

Giải:

a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, ta có:

BD AC

Vì SAC cân tại S nên SO AC

Do đó AC SBD ABCD  SBD

P a

Q

B

C

A

D S

O

b) Từ giả thiết, ta có:

SAC BAC DAC

2

SO BD

Trong SBD trung tuyến SO thỏa mãn 1

2

SO BD nên nó là tam giác vuông tại S

Ví dụ 2: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC, ABD cùng vuông góc với mặt phẳng DBC

Vẽ các đường cao BE , DF của BCD và đường cao DK của ACD

a) Chứng minh rằng ABBCD

b) Chứng minh rằng ABE  ADC và DFK  ADC

c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của BCD và ACD Chứng minh rằng OH ACD

Giải:

a) Ta có:    





b) Ta có: CD BE









 ABECDACDABE  ADC

Ta có: DF BC DF ABC











DF AC

Mặt khác DK AC

Suy ra DFKACACDDFK  ADC

c) Vì ABECD nên AECD AEDK H

Ta có:    







Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng vuông góc  P và  Q có giao tuyến   Lấy A , B cùng thuộc   và lấy C P , D Q sao cho ACAB , BDAB và AB ACBD Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng   đi qua điểm A và vuông góc với CD Tính diện tích thiết diện khi

AC ABBDa

Giải:

Để xác định tứ diện, ta thực hiện:

- Trong ACD kẻ AK CD

- Trong BCD kẻ HK CD

Suy ra thiết diện là AHK

Ta có:

A

C

E

K

H

D

C

K

H

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang









 BDABCBDAH  AH BCD AH HK AHK vuông tại H

2

AHK

S  AH HK

2

a

Vì hai tam giác CKH và CBD đồng dạng nên HK CK

DB  CB

6

DB CK a HK

CB

Vậy

2

AHK

Ví dụ 4: Cho ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau, AC ADBCBDa

và CD2x Gọi I , J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với AB và CD

b) Tính AB và IJ theo a và x

c) Xác định x sao cho ABC  ABD

Giải:

a) Xét ACD và BCD, ta có:

CD chung







AJ BJ

JAB

 cân tại J IJ AB

Xét CAB và DAB, ta có:

AB chung







DI CI

  ICD cân tại I IJ CD b) Trong AJC vuông tại J, ta có:

AJ  AC CJ a x AJ  a2x2

Nhận xét rằng:

ACD BCD

ACD BCD CD

AJ CD











AJ BCD

   AJ BJ

Trong AJB vuông cân tại J, ta có:  2 2

2 2

AB AJ  a x và  2 2

2

AB IJ



c) Nhận xét rằng: ABC ABD AB









Do đó, để ABC  ABD điều kiện là: DI ABCDICI ICD vuông tại đỉnh I

D

A

I J

2

IJ CD

.2

x



Vậy với ax 3 thì hai mặt phẳng ABC và ABD vuông góc với nhau

Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a và có  0

60

A  , cạnh

6

2

a

SC  và SC vuông góc với mặt phẳng ABCD

a) Chứng minh SBD  SAC

b) Trong SCA kẻ IKSA tại K Hãy tính độ dài IK

c) Chứng minh  0

90

BKD  và từ đó suy ra

SAB  SAD

Giải:

a) Ta có: BD AC BD SAC









b) Trong ABD có  0

60

A  nên nó là tam giác đều, do đó

BDa,

3

2

a

AI  ACa 3

2

2 2

3

SA SC AC    a 

3 2 2

a SA

Vì hai tam giác AKI và ACS đồng dạng nên IK AI

SC  SA

2

SC AI a IK

SA

c) Trong KBD trung tuyến KI thỏa mãn: 1

2

KI  BD KBD vuông tại K  0

90

BKD

Ta có: SA BD

SA IK













 





Ví dụ 6: Cho ABC vuông tại A , ABa , BC2a Hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với mặt phẳng

ABC và nằm về một phía đối với mặt phẳng đó Trên Bx , Cy lần lượt lấy các điểm B , C sao cho

BB a , CC m

a) Với giá trị nào của m thì AB C  là tam giác vuông?

b) Khi AB C  vuông tại B , kẻ AH BC Chứng minh rằng B C H  là tam giác vuông Tính góc giữa hai mặt phẳng ABC và AB C 

A

D

B

C S

I K

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

a) Kẻ B D BC  , suy ra B D BC2a và C D  ma

Với AB C , ta lần lượt có: AB2 AB2BB2 a2a2 2a2,

AC  AC CC BC AB CC  a a m  a m ,

 2

4

B C  B D C D  a  m a

Khi đó, để AB C  là tam giác vuông ta có các trường hợp:

- AB C  là tam giác vuông tại A, điều kiện là:

B C  AB AC 2  2 2 2 2

- AB C  là tam giác vuông tại B, điều kiện là:

AC B C  AB 2 2 2  2 2

- AB C  là tam giác vuông tại C, điều kiện là:

AB B C  AC 2 2  2 2 2

 

m am a

Phương trình  * ẩn m có biệt số 2 2 2

nghiệm

Vậy với m 0 hoặc m2a thì thỏa mãn điều kiện đề bài

b) Trong ABC, ta có:

2

2

BH BC

2 2

a a

CH BCBH  a 

Với B C H  , ta lần lượt có:

HB HB BB  a  ,

4

HC HC CC   a  ,

B C   a  a a  a

Suy ra HC2 B C 2HB2 B C H  vuông tại B

Gọi   ABC , AB C  , ta có:

1

30 2

cos

2

ABC

AB C

AB AC S

S

AB B C



 

  





C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ABa, ADa 3,SAABCD 

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) với SAa ĐS: 30o

b) Tìm xSA để góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60 0 ĐS: x3a

C'

A H

y

x

B' D

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a,

2

a

SA  và SA( ABC ) Tính góc giữa

hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) HD: Lấy I là trung điểm BC, ĐS: 30 0

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA(ABCD), SA = x Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60 o HD: Kẻ BH SC , ĐS: x a

Bài 4: Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC nằm trên mặt phẳng (P) Gọi , lần lượt là góc hợp 

bởi hai đường thẳng AB, AC và mặt phẳng (P) Gọi  là góc hợp bởi (ABC) và (P) Chứng minh rằng

sin   sin   sin  .

Bài 5: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Gọi  ,,  lần lượt là góc hợp bởi các mặt

phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng cos2cos2cos21

Bài 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, ABa,SOABCD và

2

a

SO .

Gọi I ,J lần lượt là trung điểm của các đoạn AD,BC Chứng minh rằng:

a) SAC  SBD b) SIJ  SBC c) SAD  SBC

Bài 7: Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC=AD=BC=BD=

a, CD = 2x Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Tính AB, IJ theo a và x

b) Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc?

Bài 8: Cho hình vuông ABCD Dựng đoạn thẳng AS vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông ABCD

a) Hãy nêu tên các mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng SB, SC, SD và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

b) Chứng minh rằng (SAC)(SBD)

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA vuông góc với mặt phẳng

ABCD  Gọi M ,N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh BC ,DC sao cho 3

BM  ,DN  . Chứng

minh rằng hai mặt phẳng SAM và SMN vuông góc với nhau

Bài 10: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB,SC Tính diện tích tam giác AMN biết rằng hai mặt phẳng (AMN) và( SBC) vuông góc

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a,

2

a

SA  và SA (ABC) Tính diện tích

tam giác SBC

Bài 12: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh bằng a

a) Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’)

b) Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’ Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục

giác đều Tính diện tích thiết diện đó

Bài 13: Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến  Lấy A, B cùng thuộc và lấy C(P), D(Q) sao cho ACAB, BDAB, và AB = AC = BD Xác dịnh thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (  ) đi qua điểm A và vuông góc với CD Tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD = a