Vấn đề 2: Dãy số đơn điệu và dãy số bị chặn lớp 11

Phương pháp 2: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà tìm một kỹ thuật tách hợp lý để rút gọn dẫn đến tìm. được công thức của số hạng tổng quát u n.[r]

VẤN ĐỀ 3.2 DÃY SỐ VÀ CÁC DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ Dạng 1 Xác định số hạng tổng quát của dãy số dựa vào hệ thức truy hồi

Khi giải bài toán về xác định số hạng tổng quát un của dãy số dựa vào hệ thức truy hồi, ta có thể làm theo hai phương pháp sau:

Phương pháp 1: Tiến hành theo các bước sau đây

 Tính một số vài hạng cụ thể u , u , u , 1 2 3 của dãy số  un

 Dự đoán công thức của số hạng tổng quát un

 Chứng minh công thức dự đoán ở bước trên bằng phương pháp quy nạp

Phương pháp 2: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà tìm một kỹ thuật tách hợp lý để rút gọn dẫn đến tìm

được công thức của số hạng tổng quát un

1 Tìm số hạng tổng quát của các dãy được cho bởi các công thức truy hồi sau đây:

a) 1

2

u 1

u  u 1, n 1







   

1

n

n 1 n

u 1

u

u 1











2 Tìm số hạng tổng quát của các dãy được cho bởi các công thức truy hồi sau đây:

a) 1

n 1 n

u 1

u  u 2n 1, n 1





     

1

u 11

u  10u 9n 1, n 1







3 * Cho dãy số  an xác định bởi an 2 2

n 4n 3



  và dãy số  un xác định bởi hệ thức truy hồi

n 1 n n 1

u a

u  u a  , n 1





 Xác định công thức tính un theo n

Dạng 2 Xét tính đơn điệu của dãy số

Để xét tính đơn điệu (tăng hoặc giảm) của dãy số  un ta làm như sau:

Phương pháp 1: Xét hiệu Hun 1 un

 Nếu H0 với mọi số tự nhiên n 1 thì dãy số  un tăng

 Nếu H0 với mọi số tự nhiên n 1 thì dãy số  un giảm

Phương pháp 2: Nếu un dương với mọi số tự nhiên n 1 thì lập tỷ số n 1

n

u T u





 Nếu T 1 với mọi số tự nhiên n 1 thì dãy số  un tăng

a)

n

2 1

u , n 1, n

2 1



n

u , n 1, n 3

   

5 Xét tính đơn điệu của các dãy số  un cho bởi công thức sau:

a)

2 n

3n 2n 1 u

n 1

 



2 n

u  n n 1

6 Xét tính đơn điệu của các dãy số  un cho bởi công thức sau:

a)

n

3

u , n 1, n

n

n

3n ( 1)

4n ( 1) 

 

7 Xét tính đơn điệu của các dãy số  un cho bởi công thức truy hồi sau

a) 1

2

u 1

u  u 1, n 1







   

1

n

n 1 n

u 1

u

u 1











8 * Với giá trị nào của a thì dãy số  un cho bởi công thức

2

an 1 u

2n 3





 là:

a) Một dãy tăng b) Một dãy giảm

Dạng 3 Xét tính bị chặn của dãy số

 Để chứng minh dãy số  un bị chặn trên bởi M ta chứng tỏ un M với mọi số tự nhiên n 1

 Để chứng minh dãy số  un bị chặn dưới bởi m ta chứng tỏ un m với mọi số tự nhiên n 1

 Để chứng minh dãy số  un bị chặn trên và dưới lần lượt bởi M và m ta chứng tỏ mun M với mọi số tự nhiên n 1

 Nếu dãy số  un tăng thì luôn bị chặn dưới bởi u 1

 Nếu dãy số  un giảm thì luôn bị chặn trên bởi u 1

9 Xét tính bị chặn của dãy số  un cho bởi công thức

a) un 1 1 1

1.3 2.4 n(n 2)

   

1

u  2 u , n 1

 





   



10 Cho dãy số  un cho bởi công thức truy hồi

1

n

n 1

n

u 1

u 2

u 1









Chứng minh rằng 1 un 3

2

 

với mọi số tự nhiên n 1

2a) un  n 2b) un 1

n



3a) un n2 3b) un 10nn

4) Ta có un a1a2  an trong đó an 1 1

n 1 n 3

  nên n

u

6 n 2 n 3

5a)

n 1

n

2

2 1 2 1





n 1

3 n



n 1 (n 1)(n 2)



2

1

n n 1

7a) Không tăng không giảm 7b) Không tăng không giảm

8a) Chứng tỏ un 1 un bằng quy nạp 8b) Chứng tỏ un 1 un bằng quy nạp

9) Ta có

0





Do đó

a)  n 2

3

  b)  n 2

3

 

10a) Ta luôn có un 0 và 1 1 1 1 un 3 1 1 1 3

k(k 2) 2 k k 2 4 2 n 1 n 2 4

        

10b) 0un 2

11) Sử dụng phương pháp quy nạp