Vấn đề 3: Cấp số cộng và các dạng bài tập

Cần biết ít nhất 3 trong 5 đại lượng này thì mới tính được các đại lượng còn lại.[r]

Biên soạn: Th.s Lê Đức Thuận Giáo viên: THPT chuyên Hà Nội –Ams

VẤN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG

Tóm tắt lý thuyết

 Định nghĩa cấp số cộng: Cho dãy số  a n ,n1 Dãy số  a n là cấp số cộng với công sai là hằng số d a n1a n  d, n 1,n¥

 Số hạng tổng quát  a n của cấp số cộng: a n   a1 (n 1) d

 Tính chất trung bình cộng: 1 1, 2

2

n

a    n

 Tổng S n của n số hạng đầu tiên:  1 

2

n n

a a n

2

n

a n d n



 Chú ý: Khi giải các bài tập về cấp số cộng, ta thường gặp 5 đại lượng là a d n a S1, , , n, n Cần

biết ít nhất 3 trong 5 đại lượng này thì mới tính được các đại lượng còn lại

Dạng 1 Chứng minh ba số lập thành cấp số cộng

Phương pháp: Ba số a, b, c lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 2 b a c

1 Tìm x để ba số 10 3x, 2x 23, 74x lập thành cấp số cộng ĐS: x 1 x 11

4

   

2 Cho ba số a, b, c lập thành cấp số cộng Chứng minh rằng

a 8bc 2b c

3 Cho a, b, c lập thành cấp số cộng Chứng minh rằng:

a) a2abb , a2 2acc , b2 2bcc2 lập thành cấp số cộng

b) Nếu a0, b0, c0 thì 1 , 1 , 1

b c c a a b lập thành cấp số cộng

b c c a a b dưới dạng

chú ý rằng b a c b c a

2



   

4 Cho a , b , c2 2 2 lập thành cấp số cộng công sai khác 0 Chứng minh rằng 1 , 1 , 1

b c c a a  b lập thành cấp số cộng

HD: Chú ý rằng





Biên soạn: Th.s Lê Đức Thuận Giáo viên: THPT chuyên Hà Nội –Ams

Dạng 2 Tìm các phần tử a , a , d, S 1 n n của một cấp số cộng

Phương pháp: Sử dụng các công thức về cấp số cộng Có bao nhiêu ẩn lập bấy nhiêu

phương trình

5 Cho cấp số cộng  an có a2a3a510 và a4a6 26 Tìm số hạng đầu tiên a1 và công

6 Cho cấp số cộng  an có a3 15 và a418 Tính tổng S20 của 20 số hạng đầu tiên

ĐS: S 4650

7 a) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là 14 và tổng bình phương của chúng là 94

HD: Gọi 4 số là a 3d, a d, a  d, a 3d ĐS: 1; 2; 5; 8 hoặc 8; 5; 2; 1

b) Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là 40 và tổng bình phương của chúng là 480

HD: Gọi 5 số là a2d, ad, a, ad, a2d ĐS: 0; 4; 8; 12; 16 hoặc 16; 12; 8; 4; 0

Bài tập tổng hợp

8 Tính các tổng sau:

a) S 100 2992982972  2212 ĐS: S 5050

9 Cho dãy số  un xác định bởi u1 2 và n

n 1

n

u

1 u

  Chứng minh rằng

b)  an với n n

n

u 1 a

u



 là cấp số cộng ĐS: un 2 an 3 n an 1 an 1



