Bài giảng số 1: Nguyên hàm và các dạng bài tập

ài tập về tính nguyên hàm.[r]

Ấ ĐỀ 1 Ê À

ạng 1 ài tập củng cố đạo hàm và vi phân

1 Hoàn thành các công thức tính đạo hàm

1) (x) ' 2)

'

1

x

  

 

  3)  x '

4)  u ' 5) 1 '

u

  

 

  6)  u '

7) (sin ) 'x  8) (cos ) 'x  9) (tan ) 'x 

10) (cot ) ' x  11) (sin ) ' u  12) (cos ) ' u 

13) (tan ) 'u  14) (cot ) 'u  15) ( ) 'e x 

16) ( x) '

a  17) ( ) 'u

e  18)  u '

a  19)  lnx ' 20)loga x' 21)  lnu '

22) (loga u) '

 Cho hàm số y f x  Vi phân của hàm số y f x , kí hiệu là dy và được xác định bởi công thức ,

'

dyy dx

2 Tìm vi phân của các hàm số

a) cos 2

1

x y

x



x

1 cos

2 x

y





3 Điền vào chỗ trống trong các câu sau

a) u dx' d  b) 2x1dxd  c) dx d( )

x  d) cosxdxd( ) e) a dx x d( ) g) e ax b dxd( )

h) sinxdxd  i) 2 ( )

sin

dx d

x  k) dx d( )

x 

l) dx2 d( )

sin

dx

d

x   n) sinax b dx  d 

ạng 2 ài tập về tính nguyên hàm

 Cho hàm số y f x  Nguyên hàm của hàm số y f x , ký hiệu là  f x dx  , và được xác định như sau f x dx( ) F x( )C, trong đó F x( ) '  f x( )

4 Hoàn thành các công thức tính nguyên hàm

a) dx b) x dx  c) e dx x 

d) sinxdx e) cosxdx g) 2

cos

dx

x 



h) 2

sin

dx

x

 i) 1dx

x 

 k) 1 dx

x 



l) a dx x  m) sinax b dx   n) cosax b dx  

o) dx

ax b 



 p) e ax b dx q) 1 dx

ax b 





 Nếu  f x dx( ) F x( )C và uu x  thì  f u du( ) F u( )C

5 Hoàn thành các công thức tính nguyên hàm của các hàm số hợp

a) du b) udu

c) eudu

d) sinudu e) cosudu g)

u cos

du

2 



h)

u sin

du

2 

 i) du

u

1



 k) 1 du

l) audu m) sin(aub)du n) co s(aub)du

o) du

au b 



 p) eau b du q) 1 du

au b 





6 Tính các nguyên hàm sau đây

a) (2x3 x2 4x5)dx b)    )dx

x

1 x x ( 3 c) ( x2)17dx

d)     dx

x

) x 2 x x x

1 3 1 4

3

e) (2ax  x)dx g) sin4 xcosxdx h)     

dx ) x 2 2 e e

( x x x i)lnxxdx k) cos2 xdxsin2 x

7 a) Chứng minh công thức dx ln tan x C



 bằng cách tính đạo hàm của hàm số x

y ln tan C

2 4



b) Áp dụng công thức câu a) hãy chứng minh rằng dx ln co tx C

sin x   2 



8 a) Tìm hai số A, B sao cho

5 x

B 1 x

A ) 5 x )(

1 x (

1











) 5 x )(

1 x (

1

b) Tương tự câu a, hãy tính   dx

9 x

1

2 Từ đó suy ra công thức tính   dx

a x

1

2 2

c) Tìm A, B sao cho 22 3

  và tính nguyên hàm 2

x dx



 



9 Tính các nguyên hàm sau đây

a)   dx

x

1

x

x

1 x

1 (

3 c) ( x1)(x x 1)dx d) ( x1)20dx e) x2 x3 5dx g) x(1x )2dx

1 2

h)     )dx

x

4 x

2 x

1 x

(

3 3

i)  x3 12dx k)   dx

a x

x

2

10 Tính các nguyên hàm sau đây

a) ex(1ex)dxa) b) cotxdx c) tanxdx

d) (2x 3x)dx e) sin xcos5xdx g) cos(axb)dx với a0

h)   )dx

x cos

e 2

(

x x

x sin x cos

x sin x cos

  k)   dx

1 e

e

x

x

l) e3cosx sinxdx m)   dx

x

) 3 x ln 2

n) cos xcos3xdx o)sin2 xdx p) sin3xdx q) sin4 xdx

11 Tính các nguyên hàm sau đây

a)

2

dx

2 3

(x 1)dx (x 1) (x 3)



2 3

(x x 1)

dx

x 3x 2

 



ĐÁP SỐ VẤN ĐỀ 1

) 1 x (

x cos x 2 x sin ) 1 x (

2







2 / x sin 2

1

dy 

x cos

x sin 2 ln 2

dy cos x 2

1





2

3 4

4





18

) 2 x ( 3

1  18  , 6d) x x 2x 2x C

3

4 43  31  21   , 6e)

C x 3

2 a

ln

a

3 x



 , 6g) sin x C

5

3

4 2 ln

2 e e

x x

, 6k) tanxcotxC;

1 x

5 x

|

ln

4





3 x

3 x

| ln 6

1



 + C, 9b) x C

2

3 x 5

3 35  32  , 9c) x C

2

3 x

2 2

1



 , 9d)

C 42

1)

-(2x 21



 9e) (x 5) x 5

9

2 3  3  , 9g) (1 x ) 1 x C

3

1  2  2  , 9h) ln|x| 4 x 6 x C

4

4







C x 4

x

7

x7  4   , 9k) ln|x a| C

2

1 2   ,

 10b) ln|sinx| + C, 10c) – ln|cosx| + C, 10g) sin(ax b) C

a

1



 , 10k) ln(1 + ex) + C, 10l) e C

3

1 3cosx





,

10m) (2lnx 3) C

8

 11a)3ln | x 1| 7 ln | x 2 | 5ln | x 4 | C      ,11b)

f (x) 2(x 1) 8(x 1) 32(x 1) 32(x 3)

ln | x 1| ln | x 2 | C



