Đề kiểm tra điều kiện toán A2

Bộ đề kiểm tra điều kiện Học viện Bưu chính viễn thông Đề 5 Toán A2

BÀI TẬP ĐIỀU KIỆN MÔN: ĐẠI SỐ

Sinh viên tùy chọn 3 trong 5 bài tập dưới đây

1) a) Đặt V1, V2 lần lượt là hai không gian vectơ con của  4gồm các véctơ

) , , , (x1 x2 x3 x4

v  thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II):



























0 2

2

0 4

4 5

3

0 2

3 3

2 )

(

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x





























0 4

6 5

3

0 3

4 2

0 9

10 2

)

(

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Hãy tìm số chiều của các không gian con V1, V2, V1+ V2, V1 V2

b) Cho ma trận



























4 1 1

1 2 1

2 2 1

A , tìm ma trận P sao cho P 1AP có dạng chéo

2) a) Cho ma trận





























3 1 3

3 1

1

5 1 3

m m

m

i) Với giá trị nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo A 1

ii) Cho m1 tìm A 1

b) Cho ánh xạ tuyến tính f :  4   4 xác định bởi:

) 9 5 4 , ,

2 3 , 8 5 3 2 ( )

,

,

,

a) Viết ma trận của f trong cơ sở chính tắc của 4

 b) Tìm một cơ sở của Kerf và Im f

3) a) Cho ánh xạ tuyến tính f:  3   3 có công thức xác định ảnh

) 8 , 3 5 2 , 3 2 ( ) , ,

i) Chứng minh rằng f là một đẳng cấu

ii) Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược f1(x,y,z)

b) Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mặt bậc hai (S ) có phương trình: 7x2  7y2  10z2  2xy 4xz 4yz 36 Hãy tìm hệ trục toạ độ trực chuẩn sao cho phương trình của (S ) trong hệ trục toạ độ này có dạng chính tắc, gọi tên mặt bậc hai ( S

)

4) a) Cho hai hệ vectơ: v1 (1,1,1,1),v2 (1,1,1,1),v3 (1,3,1,3)

và u1 (1,2,0,2),u2 (1,2,1,2),u3 (3,1,3,1)

Đặt V1 là không gian vectơ con của  4sinh bởi hệ vectơ v1,v2,v3 và V2 là không gian vectơ con của 4

 sinh bởi hệ vectơ u1,u2,u3.

Hãy tìm số chiều của các không gian con V1, V2, V1+ V2, V1 V2

b) Cho ánh xạ tuyến tính f :  3   3 xác định bởi:

f(x,y,z)  ( 3xyz, 2x 4y 2z,xy 3z)

i) Hãy viết ma trận A của ánh xạ f trong cơ sở chính tắc

ii) Tìm ma trận P sao cho P 1AP có dạng chéo

5) a) Cho ánh xạ tuyến tính f :  3   2 sao cho f( 1 , 0 , 0 )  ( 1 , 1 ),

) 0 , 3 ( ) 0

,

1

,

0

f , f( 0 , 0 , 1 )  ( 4 ,  7 )

a) Tìm ma trận chính tắc của f

b) Tính f( 1 , 3 , 8 ), f(x,y,z)

b) Cho ánh xạ tuyến tính f :  3   3 có ma trận trong cơ sở chính tắc là

























0 0 3

0 4 1

1 2 0

Hãy tìm ma trận của f trong cơ sở v1,v2,v3;

)

1

,

1

,

1

(

1 

v , v2  ( 1 , 1 , 0 ), v3  ( 1 , 0 , 0 )

c) Tìm hạng r ( A) của ma trận

































20 9

6 1

8 6 3 2

4 1 4

4 5 2 3

m

Hết