Đề thi kết thúc học phần môn xác suất các năm của trường Đại học sư phạm Hà nội

Xét tính không chệch, vững, và hiệu quả của ước lượng tìm được trong câu trên.. Tìm các hàm phân phối của S và T tương ứng..[r]

ĐỀ THI MÔN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

ĐỀ THI SỐ 1

1 Giả sử X và Y độc lập cùng có phân phối chuẩn N a( ,2) CMR X Y và X Y cũng độc lập

2 a Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên không âm và Z max(X,Y) CMR:

( Z a ) ( X a Y a )

E Z I  E X I  Y I  với a  tùy ý 0

b Giả sử dãy biến ngẫu nhiên (X n) khả tích đều CMR

1

1

lim ( sup | k |) 0

n

3 Giả sử (X n) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập với EXn 0, EX2n 1

4

EXn C n, 1,CR Đặt ij

n n

i j

  trong đó aijR a, ij a ji; ,i j1

CMR dãy (S n) hội tụ theo trung bình bậc hai 2

( (E S nS m) 0 khi m n  , khi và chỉ khi các

chuỗi sau hội tụ ij

1

j

a





ij , 1

i j a





ĐỀ THI SỐ 2

1 Giả sử f và g là các hàm mật độ với F và G là các hàm phân phối tương ứng trên đường thẳng thực, a

là số thực, / /a  1

a CMR hàm: ( , y)x  f x g y( ) ( ),{1a[2 F(x) 1][2 ( ) 1]}; , G y  x yR là hàm mật độ phân phối của véc tơ ngẫu nhiên (X, Y) nào đó

b X và Y có độc lập không, tại sao?

2 Giả sử X có hàm phân phối F(x) với F(0) = 0 và E/ X /  CMR

a

1

K

P X k







b Hàm

1

n

G x F x n x





   là hàm phân phối

3 Cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập (X n) cùng phân phối

a CMR chuỗi

1

2 n n

n







 hội tụ hầu chắc chắn

b Xác định phân phối của S

Tính kỳ vọng và phương sai của S

ĐỀ THI SỐ 3

1

a Giả sử biến cố A độc lập với mỗi biến cố của dãy các biến cố (B n  n, 1) và B B i k  với i k #

CMR A và

1

k k

B





 là độc lập

b Giả sử Y là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối là F(x) Hãy tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Z F Y( ), biết F(x) là hàm tăng ngặt

2

a Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số   Hãy tính kỳ vọng của biến 0

ngẫu nhiên 1

1

Y X





b Cho véc tơ ngẫu nhiên (X, Y) có hàm mật độ là:

.sin( )(1) ( , )

0(2)



(1) Nếu 0

2

x 

  và 0

2

y 

(2) 0 trong các trường hợp khác

Hãy tính hệ số tương quan của X và Y

3 Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N a( ,2) trong đó tham số a đã biết Giả sử

(X X, , ,X n) là mẫu quan sát được từ biến ngẫu nhiên X Hãy tìm ước lượng hợp lý cực đại của

tham số 2

 không? Tại sao?

ĐỀ THI SỐ 4

1 Giả sử P và Q là hai độ đo xác suất không gian đo ( , ) F

a Giả sử P A( )Q A( ) với mọi AF P A, ( ) 1 / 2 CMR P = Q trên F, nghĩa là P(A) = Q(A) với mọi AF

b Cho một ví dụ trong đó P(A) = Q(A) đối với mọi AF P A, ( ) 1 / 2 , nhưng P # Q trên F

2 Giả sử: Y Y o' 1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với:

1

2

P Y  P Y     n N

Đặt X n Y Y Y0 .1 n' n N CMR các biến ngẫu nhiên X X0' 1 là độc lập

3 Cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập X X1, 2, sao cho với mọi k,

a CMR nếu k k

k i

p q





 

 thì dãy (X k) tuân theo định lí giới hạn trung tâm

b Xem xét mệnh đề đảo với mệnh đề được phát biểu trong câu a có đúng không?

ĐỀ THI SỐ 5

1 Chọn ngẫu nhiên một số từ tập {1, 2, …, N} KH: A p là biến cố: “Số chọn được là bội của p"

a Giả sử P P1, 2, ,P là các số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau và đều ước của N CMR các n

biến cố A P1,A P2, ,A độc lập Pn

b Giả sử N có phân tích chính tắc thành tích các thừa số nguyên tố: 1 2

1a 2a a n

n

N P P P trong đó

i j p p các p là các số nguyên tố và gọi i ( )N là các số tự nhiên không vượt quá N và nguyên tố với N

Sử dụng câu a chứng minh rằng:

n

2 Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập cùng có phân phối chuẩn: X ~ ( ,a 2),Y ~ N b( ,2) với

,

  dương Tìm phân phối của Z cX dY m, ở đây c, d là các số thực đã cho

3 Giả sử (X n) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với các phương sai dương và

S  X X  X CMR với a, b thực bất kỳ ta có: lim [ n ] 0

4 Giả sử X (X X1, 2, ,X n) là mẫu ngẫu nhiên từ biến ngẫu nhiên  có phân phối Poison với tham

số (0;)

a Hãy ước lượng  bằng phương pháp hợp lý cực đại

b Xét tính không chệch, vững, và hiệu quả của ước lượng tìm được trong câu trên

ĐỀ THI SỐ 6

1 Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, X có phân phối chuẩn N(0,1), Y có phân phối nhị thức B(n,p) Đặt S X Y T,  X Y

a Tìm các hàm phân phối của S và T tương ứng

b Xác định hàm đặc trưng của T

2 Cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập X X1, 2, sao cho với mỗi kN*

1

2

P X   P X   P X   Đặt S n  X1X2 X n

a Với mỗi nN*, tính R n sup{x: [p S n x] 1}

b Tính lim n

n

R n



c Chứng tỏ rằng p 1 S n



  không hội tụ đến 0 khi n   đối với  nào đó 0

d Kết quả này có mâu thuẫn với luật số lớn không?

3

a Cho một ví dụ về biến ngẫu nhiên X khả tích sao cho: p X  Ex



  với   nào đó 0

b Cho biến ngẫu nhiên X khả tích và số aR CMR Emax( , )X a max(EX, )a

ĐỀ THI SỐ 7

1 Có hai hộp bong bàn, hộp thứ nhất có 8 bóng xanh, 12 bóng đỏ Hộp thứ hai có 6 bóng xanh, 12 bóng

đỏ Lấy ngẫu nhiên cùng một lúc hai bong từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai Sau đó lấy từ hộp thứ hai ra một bong Tính xác suất để bong vừa rút ra là bóng xanh?

2 Giả sử véc tơ ngẫu nhiên (X, Y) có hàm mật độ là: ( , ) 2 2 2 2

1

a

f x y



a Tìm a CMR X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập

b Đặt Z min 2 X ,1 Tính EZ

3 Giả sử (X n) là dãy biến ngẫu tự nhiên độc lập có phân phối

CMR dãy biến ngẫu nhiên (X n), tuân theo luật độ lớn

4 Giả sử X là biến ngẫu nhiên thỏa mãn EX2 1,E X a CMR: 0  2 2

1

P X  a   a với mọi 0 1

5 Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N a( ,2) và (X X1, 2, ,X n) là mẫu ngẫu nhiên độc lập quan sát được từ biến ngẫu nhiên X

a Tìm ước lượng hợp lý cực đại  2

,

,

b Xét tính không chệc, vững, hiểu quả của a 

ĐỀ THI SỐ 8

1

a Định nghĩa hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X CMR: nếu F x( )P:X( ) x x, R,

thì lim ( )

x f x

b Giả sử X X1, 2, ,X là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và n X có hàm phân phối là k F x với k( )

1, 2, ,

k  n Tìm hàm phân phối của Z max(X ,1 X2, ,X n)

2 Giả sử vecto ngẫu nhiên (X,Y) có mật độ đồng thời là ( , ) 1

0

f x y  



( , ) 1

f x y  với 0x1;0 y1

( , ) 0

f x y  trong trường hợp khác

a Tìm hàm phân phối đồng thời của X, Y

b Tính kỳ vọng và phương sai của X Tìm hệ số tương quan của X, Y

3 Giả sử (X X1, 2, ,X n) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối xác suất với hàm mật độ là:

1 (1) ( , )

0(2)

x

e

f x









 



 (1) Với x0, 0

(2) Với x  0

a Tìm ước lượng hợp lí cực đại của 

b Xét xem ước lượng tìm được có phải là ước lượng không chệch, ước lượng vững, ướng lượng hiệu quả không?

ĐỀ THI SỐ 9

1 Cho không gian xác suất ( , , ), , F  A BF CMR   ( ) ( ) 1

4

2 Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập có hàm mật độ là: ( ) ( ) 0(1)

(2)

e 

 



 (1) Với x  0

(2) Với x0,0

a Tính kì vọng và phương sai của X

b CMR: Z X

X Y



 có phân phối đều trên khoảng (0,1)

3 Giả sử (X n) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối

2

Đặt S n X X1, 2, ,X n CMR:

2

1

x

n

n



4 Cho không gian xác suất ( , , ) F  và dãy biến ngẫu nhiên (X n) thỏa mãn

1

n n

X n





     

CMR tồn tại AF sao cho ( ) 1A 

( )

n

X

A n





5 Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối B(1, )p và (X X1, 2, ,X n) là mẫu ngẫu nhiên độc lập

quan sát được từ biến ngẫu nhiên X(0 p1)

a Tìm ước lượng hợp lý cực đại p và * p

b Xét tính hông chệch, vững, hiệu quả của ước lượng vừa tìm được

ĐỀ THI SỐ 10

1 A

a Phát biểu và chứng minh định lí Tsê bư sép về luật yếu số lớn

b Giả sử dãy các biến ngẫu nhiên độc lập X X1, 2, ,X và n X có phân phối xác suất k (k1, )n

Dãy đó có tuân theo luật số lớn không? Tại sao?

2

a Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất Gọi X và Y là số chấm ở mặt trên hai con xúc xắc Đặt Z = max ( X, Y) Tìm phân phối đồng thời cuả ( X,Z)

b Giả sử vectơ ngẫu nhiên ( X,Y) có hàm mật độ đồng thời là:

(1) ( , )

0(2)

x y

e

f x y

 



 

 (1) Nếu x0,y0

(2) Trong trường hợp khác

2b.1 Tìm hàm phân phối đồng thời của (X, Y) 2b.2 Tính kì vọng và phương sai của X

2b.3 X, Y có độc lập không? Tại sao?

3 Giả sử (X X1, 2, ,X n) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối xác suất:

Với k1, 2, ,n và 0 p1

a Tìm ước lượng hợp lí cực đại của tham số p

b Xét xem ước lượng tìm được có phải là ước lượng không chệch, ước lượng vững, ước lượng hiệu quả không?

ĐỀ THI SỐ 11

1 Một bình chứa 2 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen Hai người chơi, mỗi người lần lượt rút một quả cầu, ghi lại màu và sau đó trả vào bình Người thắng cuộc là người đầu tiên rút được quả cầu màu đen và trò chơi kết thúc Tìm xác suất thắng cuộc của mỗi người

2 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ dạng:

- x

( )

x, 0

a e x

f x

b e x







 





( , , ,a b   0)

a Tìm mối quan hệ giữa a b, , , 

b Tìm hàm phân phối F(x) của biến ngẫu nhiên X

3

a Cho véc tơ ngẫu nhiên (X, Y) có hàm mật độ đồng thời: ( , ) y, 0

Tìm hàm mật độ của các biến ngẫu nhiên X, Y và Y-X Từ đó suy ra X và Y và Y-X là độc lập

b Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối chuẩn tắc N(0,1) CMR

  2 2 1

min X Y





4

a Cho các biến ngẫu nhiên X n  , X thỏa mãn điều kiện: n, 1  2

1

n n

X X







CMR: lim n ,

n X X h c c

b Cho dãy các biến ngẫu nhiên (X )n , với X có phân phối Poisson với tham số n, nghĩa là n

!

k

n n

k



n

Y

n



 tìm hàm đặc trwung của Y và từ đó suy ra: n

2

2

1

2

x u n









5 Cho mẫu quan sát (X X1, 2, , X )n của biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:

1

a Tìm ước lượng  của tham số  bằng phương pháp hợp lí cựu đại n

b Chứng minh 1

n

n E

n  



1

2

n

n D











  Từ đó suy ra  là ước lượng vững n

của 

ĐỀ THI SỐ 12

1 Có 5 người đàn ông, 4 người đàn bà và 1 đứa trẻ ngồi một cách ngẫu nhiên lên 10 chiếc ghế xếp thành một hàng ngang

a Tính xác suất để đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà

b Tính xác suất trên trong trường hợp 10 chiếc ghế được xếp quanh một bàn tròn

2 Cho X X1, 2,X3,X là bốn biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối, đồng thời 4

p X   p P X   p   Với k 1, 2, 3 ta xác định biến ngẫu nhiên Y như k

sau:

0

1

k

Y  



1

(1) (2)







(1) chẵn (2) lẻ

a Tìm phân phối của các Y k  k, 1, 2,3

b Tính kì vọng và phương sai của Y1Y2Y3

3 Giả sử X, Y là hai biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là

1

f x y

Hãy kiểm tra tính độc lập của hai biến ngẫu nhiên X Y và X Y

4

a Cho X X1, 2, ,X là n biến ngẫu nhiên không âm Đặt n Y maxX X1, 2, ,X n

CMR

n

i

i





b Giả sử (X n) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối chuẩn N a( ,2) Tính

limnP X X  X n 0

5 Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số  và X X1, 2, ,X n là mẫu ngẫu nhiên độc lập quan sát được từ X Tìm ước lượng hợp lý cực đại của  Ước lượng tìm được có phải

là ước lượng không chệch, vững, hiểu quả của  không? Tại sao?

ĐỀ THI SỐ 13

1 Có hai hộp bút, mỗi hộp chứa 2 bút bi đỏ và 5 bút bi xanh Hai người, mỗi người chọn ngẫu nhiên một hộp bút và từ đó lấy ra 3 chiếc bút Tính xác suất để hai người lấy được số bút bi đỏ như nhau

2 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:

2

x Khi x

f x

khi x





 



a Tính EX

b Xác định hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X

c Chứng minh biến ngẫu nhiên Y  X2 có phân phối đều trên đoạn  1, 4

3 Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối đều trên  0,1

a Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên U max(X,Y)

2

E U U  

4 Cho mẫu quan sát X X1, 2, ,X n của biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson tham số   Tìm 0 ước lượng hợp lý cực đại 

 của  Xét tính không chệch, vững, hiệu quả của ước lượng 



ĐỀ THI SỐ 14

1 Ba xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu độc lập với nhau, mỗi người bắn một viên đạn Xác suất bắn trúng đích của từng xạ thủ tương ứng là 0,6; 0,7 và 0,8 Mục tiêu bị phá hủy với xác suất 0,5 nếu có một viên đạn trúng đích; 0,7 nếu có hai viên đạn trúng đích và chắc chắn bị phá hủy nếu cả ba viên đạn trúng đích Tính xác suất để mục tiêu bị phá hủy

2 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ

0

Khi x khac









a Tính   1

2

2

P X  X  

b Chứng minh biến ngẫu nhiên Y  X có phân phối đều trên  0;1

3 Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối chuẩn tắc N(0,1) Xác định hàm mật độ

của biến ngẫu nhiên Z X

Y



4 Cho mẫu quan sát X X1, 2, ,X n của biến ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn N a( ,2) Tìm ước lượng hợp lý cực đại a

của a Xét tính không chệch, vững, hiệu quả của ước lượng a

ĐỀ THI SỐ 15

1 Giả sử B1, ,B là hệ đầy đủ sao cho ( n P B C i )0,i1, ,n, trong đó C là biến cố nào đó Chứng

minh: với biến cố A bất kỳ

1

n

k

P A C P A B C P B C





2 Giả sử (X n) là dãy biến ngẫu nhiên: EXn 0,DX n 2n1, EXn X m 0 n# 0

Đặt S n X1 X n Chứng minh rằng dãy S n/ n n , 1 khả tích đều

3 Giả sử (X n) là dãy biến ngẫu nhiên đối lập với các kì vọng bằng 0 ngoài ra, dãy X X1, 2, cùng

phân phối và dãy X2,X4,X6, cùng phân phối sao cho: 2

DX   2

DX   và hữu hạn

Tìm phân phối giới hạn của dãy S n / DS n

ĐỀ THI SỐ 16

1 Cho không gian xác suất    và , ,  A B  , CMR:

a ( ) ( ) ( ) 1

4

P AB P A P B 

b Giả sử P A( B P AB) ( )P A P B( ) ( )

2 Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên không âm, Z max(X,Y)

Chứng minh rằng:

a E Z( 1(Z a ))E X( 1(X a ))E Y( 1(Y a ))

b Giả sử (X n) là dãy biến ngẫu nhiên khả tích đều CMR: 1sup k 0

k n

n 



3 Giả sử (X n), ( )Y là hai dãy biến ngẫu nhiên sao cho với mỗi n   0

1

n n n

P X Y 







CMR: từ h c c .

n

X a suy ra h c c .

n

Y a

ĐỀ THI SỐ 17

1 Cho n là số nguyên dương bất kì Chứng tỏ rằng cos ,n t t IR là hàm đặc trưng Tìm phân phối xác

suất tương ứng

2 Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập cùng xác định trên không gian xác suất , ,F P Giả sử

X có phân phối nhị thức B n p , Y có phân phối nhị thức  ,  B m p( , ) CMR: X Y cũng có phân phối nhị thức

3 Giả sử X X1, , Xn là một mẫu ngẫu nhiên từ biến ngẫu nhiên  có phân phối nhị thức

( , ); 1; (0;1)

B m p m p

a Hãy ước lượng p bằng phương pháp hợp lý cực đại

b Chứng tỏ rằng ước lượng tìm được từ câu (a) ở trên là ước lượng hiệu quả của p

ĐỀ THI SỐ 18

1 Cho không gian xác suất , ,F P CMR:

a       1; ,

4

P AB P A P B  A BF

b Nếu A B C, , F độc lập, P A( )a, P A BC 1 b P ABC,    và 1 c P ABBC x, thì x thỏa mãn: 2

ax [ab(1a a)(  c 1)]x b (1a)(1c) 0

Từ đó

2

1

C

a



 và P B( )(1c x b)(  ) / (ax),P(C)=x/(x+b)

2 Giả sử X1, ,X là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân với hàm phân phối liên tục tăng ngặt n

( )

F x

a Tìm mật độ của T F X( 1)

b Tìm mật độ đồng thời của Y F(min(X1, , X )),n Z F(m ax(X , ,1 X n))

c Tính E Y( Z)

3 Cho dãy biến ngẫu nhiên (X n) với ( ) ( ) 1, 1, 2

2

P X k  P X  k   k

a Tìm  để 1 X

n n

X

n

    theo xác suất, hầu chắc chắn và bình phương trung

bình,

b Chứng minh rằng: (0, 2)

2

d n

X N trong trường hợp 1

2

ĐỀ THI SỐ 19

1 Có 3 xạ thủ loại một và 7 xạ thủ loại hai Biết xác suất bắn trúng đích của mỗi người trong các loại xạ thủ này tương ứng là 0,9 và 0,8 Chọn ngẫu nhiên ra 2 xạ thủ và cho mỗi người bắn một viên đạn, độc lập Tính xác suất để cả hai viên đạn đều trúng đích

2 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ ( ) 1 ,

2

x x

f x  e xR