Bài giảng số 6: Phương trình E-lip và các dạng bài tập

Viết phương trình chính tắc của Elip biết rằng Elip có độ dài trục lớn bằng 8 và cắt ( C ) theo một hình vuông..[r]

Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 1

Vấn đề 5: CÁC DẠNG TOÁN VỀ ELIP

Dạng 1 Các câu hỏi lý thuyết

1 Nêu định nghĩa elip; viết phương trình chính tắc của elip và trình bày những yếu tố liên quan (tiêu

điểm, tiêu cự, trục lớn, trục bé, các đỉnh, tâm sai, đường chuẩn, bán kính qua tiêu)?

2 Viết phương trình tiếp tuyến của  E :x22 y22 1

a b  tại điểm M x y 0; 0   E

3 Nêu điều kiện cần và đủ để đường thẳng :AxBy C 0 là tiếp tuyến của  E :x22 y22 1

a b  ?

Dạng 2 Xác định các yếu tố của elip

4 Cho elip  : 2 2 1

4 1

x y

a) Xác định tọa độ các đỉnh, độ dài hai trục, tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở và phương trình đường chuẩn của  E

b) Một đường thẳng d qua một tiêu điểm của  E và song song với trục Oy cắt ,  E tại hai điểm

,

M N Tính độ dài đoạn thẳng MN

c) Tìm các giá trị của m để đường thẳng : y x m cắt  E

5 Cho đường cong   2 2

: 4 9 36

C x  y  a) Chứng tỏ rằng  C là elip Tính độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ, tiêu cự, tâm sai, bán kính qua tiêu;

Tìm tọa độ tiêu điểm, các đỉnh; Viết phương trình đường chuẩn, phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ

sở của  C

b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M 1;1 và cắt  C tại hai điểm A B, thỏa MAMB

Dạng 3 Lập phương trình chính tắc của elip

6 Lập phương trình chính tắc của elip trong những trường hợp sau:

a) Một đỉnh A'2;0 và một tiêu điểm F1 1;0

b) Đi qua hai điểm   3

1; 2 , ; 5

2

c) Đi qua điểm M 3;1 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 6

d) Tiêu cự bằng 6 và tâm sai bằng 2

3

e) Đi qua điểm M 2;0 và tiếp xúc với : 3x8y100

g) Tiếp xúc với hai đường thẳng 1:x2 3y3 3 0, 2: 7x4 3y9 30

7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho một elip dạng chính tắc  E có khoảng cách giữa các đường chuẩn

là 36 và bán kính qua các tiêu điểm M nằm trên  E là 9 và 15

Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 2

a) Viết phương trình của  E

b) Viết phương trình tiếp tuyến của  E tại M

c) Tìm tọa độ của điểm N sao cho NF1NF2 2, trong đó F F1, 2 lần lượt là tiêu điểm trái và tiêu điểm phải của  E

8 (ĐHCĐ, A, 2008) Viết phương trình chính tắc của elip  E biết rằng  E có tâm sai 5

3

e và hình chữ nhật của  E có chu vi bằng 20. Đs:

1

9 4

x y

9 (ĐHK A 2012) Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn ( C ): x2y2 8 Viết phương trình chính tắc của Elip biết rằng Elip có độ dài trục lớn bằng 8 và cắt ( C ) theo một hình vuông

Dạng 4 Tìm điểm trên elip

10 Tìm các điểm ,A B trên  E sao cho AB qua M 1; 2 và MAMB trong các trường hợp

a)  : 2 2 1

16 9

x y

25 16

x y

11 Cho elip  : 2 2 1

9 4

x y

E   Tìm điểm M E thỏa mãn:

a) MF1MF2 b) MF1 2MF2

Dạng 5 Tiếp tuyến của elip

12 Cho elip  : 2 2 1

16 9

x y

E   Viết phương trình tiếp tuyến của  E biết tiếp tuyến đó:

a) Qua A 4;0 b) Qua B 2; 4

c) Song song với : x2y 6 0 d) Vuông góc với :d x  y 3 0

13 Viết phương trình tiếp tuyến của  : 2 2 1

9 4

x y

E   biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: 2x y 0

một góc 0

45

14 Viết phương trình tiếp tuyến chung của  1 : 2 2 1

9 4

x y

E   và  2 : 2 2 1

4 9

x y

15 Hãy lập phương trình các cạnh của hình vuông ngoại tiếp  : 2 2 1

6 3

x y

16 Cho  : 2 2 1

9 5

x y

E   Trong tất cả các hình chữ nhật ngoại tiếp  E , hãy xác định hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất, diện tích lớn nhất

17 Chứng minh rằng nếu MN là đường kính bất kỳ của  E :x22 y22 1

a b  thì các tiếp tuyến tại M và

N song song với nhau

Trung tâm luyện thi EDUFLY-0987708400 Page 3

18 Tìm quỹ tích các điểm để từ đó có thể kẻ tới  E :x22 y22 1

a b  hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Dạng 6 Bài toán chứng minh

19 Cho  E :x22 y22 1,

a b  với a b 0

a) Chứng minh rằng với mọi M E ta có bOMa và MF MF1 2OM2 a2b2

b) Gọi A là một giao điểm của d y: kx với  E Tính OA theo a b k, ,

c) Cho A B, E sao cho OAOB Chứng minh rằng

2

1

1

OB không đổi