Các bài toán vận dụng cao ôn thi THPT Quốc gia lớp 12

Khi mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất, tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng CD... Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.[r]

lNGUYỄN VIẾT SƠN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN TỔNG HỢP MỘT SỐ CÂU VẬN DỤNG CAO Môn thi: Toán (Khối 12)

Câu 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 4 x 2x2  5 0

Câu 3 Một tỉnh A đưa ra nghị quyết về giảm biên chế cán bộ công chức, viên chức hưởng lương từ ngân

sách nhà nước trong giai đoạn 2015 – 2021(6 năm) là 10,6% so với số lượng hiện có năm 2015 Theo phương thức "ra 2 vào 1" (tức là giảm 2 tuyển dụng mới 1) Giả sử tỉ lệ giảm và tuyển dụng hàng năm so với năm trước đó là như nhau Tính tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm (làm tròn đến 0,01)

A minP 80 B minP 91 C minP 83 D.minP 63

Câu 7 Biết hàm số bậc ba yax3bx2cxd a( 0) có hai điểm cực trị đồng thời

( cđ) 1, ( ct) 3

y x y x Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f x( )m có 3 điểm cực trị

A   ; 1 3;  B     ; 3 1; 

Câu 8 Cho hai đường thẳng d và d ’ chéo nhau và vuông góc với nhau Khoảng cách giữa hai đường

thẳng d và d ’ bằng a Giả sử A và A ’ là hai điểm cố định lần lượt thuộc d và d ’ , các điểm B và B ’ lần lượt

thay đổi trên d và d ’ sao cho ABA B 2 (a B A B,  A Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện )

Câu 9 Cho số phức z thỏa mãn z2i  z 2 Tìm giá trị bé nhất của P z 2i   z 5 9i

A minP 10 B minP3 10 C minP4 5 D.min P 74

Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  5 và z22 z i đạt giá trị lớn nhất Tìm z 2

M x y z di động trên (S) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2x2y z 16

A minP3 B minP24 C minP2 D min P6

d Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T MA MB

A minT 4 B minT 2 2 C minT  6 D minT 3

Câu 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ( 1;3;5), (2;6; 1), ( 4; 12;5) A  B  C   và mặt phẳng ( ) :P x2y2z 5 0 Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức

Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích V Gọi P là trung điểm của SC

Một mặt phẳng chứa AP cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại hai điểm M, N Gọi V1 là thể tích của khối chóp

S.AMPN Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức V1

Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD là tam giác đều và mặt phẳng

(SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là

Câu 20 Cho tam diện ba mặt vuông Oxyz Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C thay đổi nhưng

luôn thỏa mãn OA OB OC  ABBCCAk không đổi Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC

A

31

Câu 21 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng phân giác của các góc tạo bởi

hai mặt phẳng ( ) :P x2y  z 1 0, ( ) : 2Q x   y z 1 0 mà góc đó chứa điểm M(1;1;1)

A x3y 2 0 B 3x y 2z 2 0

C x3y0 D 3x y 2z0

Câu 22 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng phân giác của góc nhọn của

các góc tạo bởi hai mặt phẳng ( ) :P x2y  z 1 0, ( ) : 2Q x   y z 1 0

A x3y 2 0 B 3x y 2z 2 0

C x3y0 D 3x y 2z0

Câu 23 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng

( ) : 3P x   y z 1 0 sao cho (Q) nằm về nửa không gian giới hạn bởi mặt phẳng (P) có chứa điểm

Câu 26 Cho 2 2

1 1 1 ( 1)

d d Có bao nhiêu đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng nói trên

A Không tồn tại B 1 C.Vô số D 2

f x có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt

A 4 nghiệm B 9 nghiệm C 6 nghiệm D 5 nghiệm Câu 29 Cho hàm số y f x( )x x( 21)(x24)(x29) Hỏi hàm số y f x cắt trục hoành tại bao nhiêu ( )

điểm phân biệt

Câu 30 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

3

2log ( 1)

Câu 33 Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính đáy bằng 30 cm Người ta

cắt khúc gỗ bằng một mặt phẳng chứa bán kính đáy của trụ và tạo với mặt

đáy một góc 450 như hình vẽ để được một miếng nêm Gọi V là thể tích

của miếng nêm thu được Tính V

Câu 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (1; 1;3), (0;1;1) A  B Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB Qua các điểm A và B, vẽ các đường thẳng ,    tiếp xúc với khối cầu (S) sao cho luôn vuông góc với  Trên các đường thẳng  và  lần lượt xác định các điểm M và N sao cho đoạn MN luôn tiếp xúc với khối cầu (S) Tính thể tích V của khối tứ diện ABMN

A (x1)2(y2)2 (z 3)2 150 B (x1)2(y2)2 (z 2)2 260

C (x1)2(y2)2 (z 16)2 260 D (x1)2(y2)2 (z 16)2 260

Câu 37 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x2)2(y1)2z2 25 và điểm (0; 1;1)

A Ba mặt phẳng thay đổi qua A và đôi một vuông góc với nhau cắt mặt cầu (S) theo giao là 3

đường tròn có bán kính lần lượt là r r r1, ,2 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T r r r1 .2 3

A Max T( )45 B Max T( )40 3

C Max T( )22 22 D Max T( )32 5

Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phằng ( ) : P x y 2z 1 0và

( ) : 2Q x   y z 1 0 Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành đồng thời (S) cắt (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính rằng r Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa mãn bài toán

15 Biết ( )S có bán kính  R không đổi khi J thay đổi trên (S) Tính  R

A R 4 B R  17 C R 3 2 D R 5

Câu 41 Phương trình 2017sinx sin  2 cos 2

x x có bao nhiêu nghiệm thực trong 5 ; 2017 

Câu 42 Cho hàm số f(x) liên tục trên và các tích phân

4

0(tan ) 4

Câu 43 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm phân biệt A, B cố định Tìm tập hợp tất cả

.4



A Mặt cầu đường kính AB

B Tập hợp rỗng

C Mặt cầu có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính R AB

D Mặt cầu có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính 3

Câu 45 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB2 ,a SABSCB900 và

góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SBC) bằng 300 Tính thể tích V của khối chóp đã cho

3

2 33

3

8 33

A S6a 2 B

2487



2127



S D S 24a 2

Câu 47 Gọi a, b, c là ba số thực khác 0, thay đổi thỏa mãn 3 a 5b 15c

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu 50 Cho 3 tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau Gọi C là điểm cố định trên Oz, đặt OC1;

các điểm A, B thay đổi trên Ox, Oy sao cho OA OB OC Tìm giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện OABC



Câu 51 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) A a B b C c với , , a b c0 Biết khi

A, B, C di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho a b c  2 thì tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC luôn thuộc một mặt phẳng (P) cố định Tính khoảng cách d từ điểm M(2016;0;0)đến mặt phẳng (P)

Câu 53 Một chiếc phao hình xuyến khi bơm căng chiếc phao có bán kính

đường tròn viền ngoài và viền trong lần lượt là 3 và 1 như hình vẽ Tính thể

tích V của chiếc phao

Câu 54 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi O là tâm của tam giác đều BCD M, N lần lượt là trung

điểm của AC, AB. Quay hình thang BCMN quanh đường thẳng AO ta được khối tròn xoay có thể tích

62

62

SB P là điểm thuộc cạnh SD sao cho SP2DP Mặt phẳng (AMP) cắt cạnh SC tại N Tính thể tích

của khối đa diện ABCDMNP theo V

z là số thực Tính 1 2

z z

Câu 61 Gọi k là số giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2 2

nx thì m là số nào sau đây ?

Câu 65 Cho số phức z thỏa mãn z  12 2m

m , trong đó m là số thực dương tùy ý Biết rằng với mỗi m,

tập các điểm biểu thị cho số phức w (2 1)( i i  z) 5 3i là một đường tròn có bán kính r Tìm giá trị

bé nhất của r

Câu 66 Bạn A có một cái cốc thủy tinh hình trụ, đường kính

trong lòng đáy cốc là 6cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm

đang đựng một lượng nước Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc

khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy cốc, mực nước trùng với

đường kính của đáy Tính thể tích lượng nước trong cốc

60cm

Câu 67 Ông B có một khu vườn giới hạn bởi một đường parabol và một

đường thẳng Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có

phương trình yx2 và đường thẳng là y25 Ông B dự định dùng một

mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi một đường thẳng đi qua O và điểm

M trên parabol để trồng một loại hoa Hãy xác định giúp ông B điểm M bằng

cách tính độ dài OM để diện tích của mảnh vườn nhỏ bằng 9

Câu 69 Cho hình lập phương có cạnh a, xét khối chóp có tất cả các đỉnh là đỉnh của lập phương trong đó

đáy của nó là một tứ giác nằm trên một mặt phẳng tạo với đáy của khối lập phương một góc 450 Tính thể

tích V của khối chóp đã cho

, m là tham số thực Giả sử (P) và (Q) là hai mặt phẳng chứa d, tiếp xúc với

(S) tại T và K Khi m thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng TK

Câu 73 Cho số phức z a 2 ( ,bi a b ) và đa thức f x( )ax2bx1 Biết f( 1) 1 Tính giá trị

lớn nhất của z

A Max z 2 B Max z 2 2 C Max z  5 D Max z  7

Câu 74 Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình 22 1 4 2

x m Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đúng 5 tiệm cận

x Khi hàm số có gí trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng -1, tính giá trị của biểu thức Pa2b 2

Câu 79 Cho các số phức z z1, 2 thỏa mãn 1 2

1 2

6 82

A MaxP10 B MaxP2 26 C MaxP6 3 D MaxP8 2

Câu 80 Cho đường thẳng : 1 4 4

Câu 84 Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log9alog12blog (16 a b ) Tính tỉ số a

Câu 89 Cho tứ diện ABCD có AB4 ,a CD6a , các cạnh còn lại đều bằng a 22 Tính bán kính của

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Câu 91 Cho điểm (1; 2; 3)A  và mặt phẳng ( ) : 2P x2y  z 9 0 Đường thẳng d đi qua A và có vectơ

chỉ phương u(3; 4; 4) cắt (P) tại B Điểm M thay đổi trong (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc

900 Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?

 

Câu 99 Tìm các giá trị của tham số thực m để hàm số yx42mx22mm4 có cực đại, cực tiểu lập

thành một tam giác đều

f x mx g x x mx m Biết tập tất cả các giá trị của

tham số thực m để mỗi hàm số đều có hai điểm cực trị đồng thời giữa hai hoành độ cực trị của hàm này

có một điểm cực trị của hàm kia là ( ; )a b Tính P  b a

Câu 101 Cho hàm số y  x3 3mx23(1m x2) m3m C2( m) Biết với mọi giá trị của m thì (C m) luôn

có hai điểm cực trị Gọi (x, y) là tọa độ của các điểm cực trị Tìm giá trị bé nhất của P2xy

y x x m x C Khi (C m ) có hai điểm cực trị, gọi (x, y) là tọa độ của

các điểm cực trị Tìm giá trị bé nhất của 





y x P

VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO VỀ NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN Câu 103 Biết

5

1( ) 3

 f x dx Tính

3

1(7 2 )

 x f x dx và f x( ) f(3x) x  1; 2 Tính

2

1( )

 x f x dx và f x( ) f(6x)  x  1;5 Tính

5

1( )

( )

Câu 113 Cho hàm số ( )f x có đạo hàm trên  0;1 và thỏa mãn

1 2

1 ( )cos( ( )).ln

VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Câu 123 Cho mặt cầu (S m) :x2y2z22mx2(m1)ymz  m 2 0 Biết rằng với mọi m, mặt cầu (S m ) luôn đi qua một đường tròn cố định Tìm bán kính r của đường tròn cố định đó

Câu 127 Cho các điểm ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )A a B b C c với a, b, c dương thỏa mãn a b c  4 Biết a, b,

c thay đổi thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc một mặt phẳng (P) cố định Tính khoảng cách d từ điểm M(1;1; 1) đến mặt phẳng (P)

Câu 129 Cho các điểm (0;0;1), ( ;0;0), (0; ;0), (1;1;1)A B m C n D với m0,n0 thỏa mãn m n 1 Biết

khi m, n thay đổi, tồn tại một mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) và đi qua D Tính bán kính R của mặt

Câu 131 Cho hai mặt cầu (S) và (S’) tiếp xúc ngoài tại điểm (2;1;1)A Một tiết diện chung ngoài của hai

mặt cầu lần lượt tiếp xúc với (S) tại điểm (3;1; 2) B  và tiếp xúc với (S’) tại điểm C Xác định tọa độ điểm

C biết C nằm trên đường thẳng : 1

và hai điểm (1; 1; 1), ( 2; 1;1)A   B   Gọi C và D là

hai điểm phân biệt di động trên đường thẳng  sao cho tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD luôn nằm trên tia Ox Tính độ dài đoạn thẳng CD

A 12 17

3 17

Câu 133 Cho điểm (0;0; 4)A , điểm M nằm trên mặt phẳng (Oxy) và M không trùng với gốc O Gọi D

là hình chiếu vuông góc của O lên AM và E là trung điểm của OM Biết đường thẳng DE luôn tiếp xúc

với một mặt cầu cố định Tìm bán kính của mặt cầu đó

phẳng ( ) :P x2y2z 9 0

Câu 136 Cho điểm (0;0; 2)A và đường thẳng

0:2

Gọi M là một điểm di động trên trục hoành, N

là một điểm di động trên  sao cho OMAN MN Khi đó MN luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định

cố định Tìm chỉ phương của đường thẳng cố định đó

Câu 139 Gọi m là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : mx y mz 1 0, ( ) : x my   z m 0, cho A

và B là hai điểm thay đổi trên m sao cho AB5 và hai điểm (0;0; 2), (0;0;1)C  D Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD

Câu 140 Gọi m là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : mx y mz 1 0, ( ) : x my   z m 0 Biết

rằng khi m thay đổi m và mặt phẳng (Oxy) cắt nhau tại điểm M thuộc một đường tròn cố định Đường

tròn đó đi qua điểm nào trong các điểm sau ?

15 Biết ( )S có bán kính  R không đổi khi J thay đổi trên (S) Tính  R

A R 4 B. R  17 C R 3 2 D R 5

VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Câu 142 Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD A B C D có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và    

Câu 145 Cho khối hộp ABCD A B C D     có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a Hãy tính thể tích V của

 a

322

Câu 149 Cho khối lăng trụ tam giácABC A B C có độ dài cạnh bên    AA 3 Một mặt phẳng (P) vuông

góc với AA cắt các cạnh bên của lăng trụ tại các điểm tạo thành một tam giác có diện tích bằng 8 Tính 

thể tích V của khối lăng trụ ABC A B C   

Câu 150 Tính thể tích V của một khối hộp nếu biết độ dài cạnh bên bằng 2, diện tích hai mặt chéo lần

lượt là 4,5 và góc giữa hai mặt chéo 60 0

Câu 151 Cho khối hộp đứngABCD A B C D có đáy là hình thoi có diện tích là     S1 Hai mặt chéo

(ACC A ), (BDD B có diện tích lần lượt là  ) S S2, 3 Tính thể tích V của khối hộp

Câu 152 Cho khối chóp S.ABC có 3 góc phẳng tại S đều bằng 600, độ dài các cạnh

 a

322

 a

326

 a

322

 a

326

 a

Câu 154 Cho tứ diện ABCD có AB =3 6 ; AC =6; BD = 6; CD = 3 2 Tính thể tích của tứ diện ABCD biết rằng khoảng cách giữa AD và BC bằng 6, đường thẳng AD tạo với mặt phẳng (BCD) một góc bằng 45 0 và hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (BCD) nằm ở miền trong của tam giác BCD

A V 12 3 B.V 9 6 C V 18 2 D V 15 3

Câu 155 Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M là trung điểm của BC và H

là trung điểm của AM Biết HBHCa , HBC300 ; góc giữa mặt phẳng SHC và mặt phẳng 

 a

3212

 a

3316

 a

Câu 156 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, AB Gọi a  là góc

giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (C’B’BC) Tính theo a thể tích khối chóp A’.BCC’B’ biết cos 1

a V

3

3

26212

a V

3

3

212218

a V

Câu 157 Cho mặt phẳng (P) chứa hình vuông ABCD Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A

lấy điểm M, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại C lấy điểm N (M, N cùng phía so với mặt phẳng (P)) Gọi I là trung điểm của MN Thể tích V của tứ diện MNBD được tính bởi công thức nào sau đây

Câu 158 Cho hình chóp SABCD có đáyABCD là tứ giác lồi và góc tạo bởi các mặt phẳng (SAB), (SBC),

(SCD), (SDA) với các mặt đáy lần lượt là 900, 600, 600, 600 Biết rằng tam giác SAB vuông cân tại S và

 a

Câu 159 Cho hình chóp S.ABC có SASBSC  đồng thời SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau a tại S Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC Gọi D là điểm đối xứng của S qua K; E là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SHI) Tính thể tích của khối tứ diện SEBH theo a