(Luận văn thạc sĩ) các điều kiện tối ưu cấp hai với hiện tượng envelope like cho các bài toán tối ưu vectơ không trơn trong các không gian vô hạn chiều

Nguyễn Đình Tuấn Tp... Nâi c¡ch kh¡c, chóng tæi s³ l m rã hìn èi vîinhúng h÷îng g¥y ra hi»n t÷ñng envelope-like... Tuan, Second-order optimality conditions with envelope-likeeffect for

i

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HCM

-

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI VỚI HIỆN TƯỢNG ENVELOPE-LIKE CHO CÁC BÀI TOÁN T ỐI ƯU VECTƠ KHÔNG TRƠN TRONG CÁC KHÔNG GIAN VÔ HẠN

CHI ỀU

Mã s ố: CS – 2014 - 43

Ch ủ nhiệm: TS Nguyễn Đình Tuấn

Tp H ồ Chí Minh - 2014

MÖC LÖC

Ch÷ìng mð ¦u 3

Ch÷ìng 1: Giîi thi»u b i to¡n nghi¶n cùu v  mët sè ki¸n thùc gi£i t½ch h m công nh÷ mët sè kh¡i ni»m v· c¡c tªp ti¸p xóc c§p mët v  c§p hai 5

Ch÷ìng 2: ¤o h m suy rëng kiºu x§p x¿ c§p mët v  c§p hai 9

Ch÷ìng 3: C¡c i·u ki»n tèi ÷u c¦n c§p hai 13

Ch÷ìng 4: C¡c i·u ki»n tèi ÷u õ c§p hai 27

K¸t luªn v  h÷îng nghi¶n cùu mð rëng · t i 32

T i li»u tham kh£o 33

Ch÷ìng mð ¦u

1 Lþ do chån · t i

C¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p hai âng vai trá quan trång v¼ nâ l m cho c¡c i·u ki»n tèi

÷u c§p mët ho n thi»n hìn b¬ng nhúng thæng tin c§p hai gióp ½ch r§t nhi·u trong vi»cnhªn ra c¡c nghi»m tèi ÷u công nh÷ ÷a ra c¡c thuªt to¡n sè º t½nh c¡c nghi»m n y.B£n ch§t cõa thæng tin c§p hai n y l  nh÷ sau Nâi mët c¡ch ìn gi£n, c¡c i·u ki»ntèi ÷u c§p mët kh¯ng ành r¬ng t¤i iºm cüc trà, ¤o h m theo h÷îng cõa ¡nh x¤, hñpbði h m möc ti¶u v  c¡c r ng buëc, khæng thuëc v· ph¦n trong cõa nân (hñp) ¥m trongt½ch c¡c khæng gian £nh ¤o h m theo h÷îng n y câ thº n¬m tr¶n bi¶n cõa nân nâitr¶n Trong tr÷íng hñp n y, c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p hai cung c§p thæng tin th¶m: nâichung, ¤o h m theo h÷îng c§p hai cõa h m Lagrange l  khæng ¥m

Tuy nhi¶n, v o n«m 1988, Kawasaki [14] l  ng÷íi ¦u ti¶n ¢ ph¡t hi»n ra r¬ng khi

ta x²t bao âng cõa nân ¥m nâi tr¶n, ¤o h m c§p hai cõa h m Lagrange câ thº ¥mn¸u ¤o h m theo h÷îng c§p mët cõa ¡nh x¤ hñp nâi tr¶n n¬m tr¶n ph¦n °c bi»t cõabi¶n cõa nân ¥m Æng gåi hi»n t÷ñng n y l  hi»n t÷ñng envelope-like Nhi·u nh  nghi¶ncùu v¨n khæng chó þ ¸n hi»n t÷ñng n y v  m­c ph£i sai l¦m ¡ng ti¸c Nhi·u t¡c gi£kh¡c ch¿ x²t nân ¥m nâi tr¶n, khæng x²t bao âng cõa nân n y, v  v¼ th¸ khæng câ hi»nt÷ñng envelope-like x£y ra ¢ câ nhi·u âng gâp quan trång cho hi»n t÷ñng thó và n y.C¡c k¸t qu£ cõa Kawasaki ÷ñc mð rëng v  ph¡t triºn cho c¡c b i to¡n quy ho¤ch væh÷îng kh£ vi c§p hai trong [3, 5, 24, 25], quy ho¤ch a möc ti¶u kh£ vi c§p hai trong[10, 11], quy ho¤ch a möc ti¶u (húu h¤n chi·u) kh£ vi li¶n töc c§p mët trong [7] v  choquy ho¤ch húu h¤n chi·u li¶n quan ¸n c¡c h m kh£ vi ch°t trong [20, 21] Chóng tæinhªn th§y r¬ng c¦n ph£i gi£i th½ch rã r ng hìn khi n o hi»n t÷ñng envelope-like x£y ra

v  khi n o hi»n t÷ñng n y khæng x£y ra Nâi c¡ch kh¡c, chóng tæi s³ l m rã hìn èi vîinhúng h÷îng g¥y ra hi»n t÷ñng envelope-like

Hìn núa, gi£i quy¸t c¡c b i to¡n vîi mùc ë khæng trìn c§p cao hìn luæn luæn l  mëtnhu c¦u thüc t¸ Do â, trong · t i nghi¶n cùu n y, chóng tæi chån c¡c x§p x¿ ¢ ÷ñc

· xu§t trong [1, 13] dòng l m c¡c ¤o h m suy rëng C¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p hai dòngc¡c x§p x¿ ¢ ÷ñc nghi¶n cùu trong [1] vîi gi£ thi¸t r¬ng t§t c£ c¡c x§p x¿ ÷ñc sû döng

l  compact C¡c x§p x¿ câ thº khæng bà ch°n ¢ ÷ñc dòng º chùng minh c¡c i·u ki»ntèi ÷u c§p mët v  c§p hai trong [15, 17-19] cho nhi·u b i to¡n tèi ÷u vectì kh¡c nhau

¤o h m suy rëng thuëc lo¤i n y ti»n lñi ð chê l  ngay c£ c¡c ¡nh x¤ khæng li¶n töc t¤imët iºm câ thº câ x§p x¿ c§p hai khæng t¦m th÷íng t¤i iºm n y Tuy nhi¶n, º tªptrung tr¶n c¡c i·u ki»n c§p hai v  x¡c ành rã c¡c h÷îng ch§p nhªn ÷ñc x§p x¿ g¥y

ra hi»n t÷ñng envelope-like, chóng tæi chõ y¸u x²t c¡c ¡nh x¤ kh£ vi c§p mët

C¡c quan s¡t tr¶n l  nguçn c£m hùng cho möc ½ch nghi¶n cùu cõa chóng tæi trong

· t i nghi¶n cùu n y l  ¡p döng ¤o h m suy rëng kiºu x§p x¿ º thi¸t lªp c¡c i·uki»n tèi ÷u c§p hai mîi vîi hi»n t÷ñng envelope-like cho c¡c b i to¡n tèi ÷u vectì khængtrìn trong c¡c khæng gian væ h¤n chi·u C¡c ¡nh x¤ trong b i to¡n nghi¶n cùu l  kh£

vi ch°t (trong c¡c i·u ki»n tèi ÷u c¦n) hay kh£ vi (trong c¡c i·u ki»n tèi ÷u õ) v khæng c¦n kh£ vi li¶n töc C¡c k¸t qu£ n y c£i thi»n v  mð rëng c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu

g¦n ¥y.

2 Möc ti¶u v  k¸t qu£ nghi¶n cùu

Chóng tæi xem x²t b i to¡n tèi ÷u vectì trong c¡c khæng gian væ h¤n chi·u sau ¥y.Cho X, Z, W l  c¡c khæng gian Banach, Y l  khæng gian ành chu©n, C ⊂ Y l  nân lçi

âng, v  K ⊂ Z l  tªp lçi Cho f : X → Y , g : X → Z, v  h : X → W l  c¡c ¡nh x¤

B i to¡n d÷îi sü xem x²t cõa chóng tæi l 

(P) minCf (x), sao cho g(x) ∈ −K, h(x) = 0

Chóng tæi dòng c¡c ¤o h m suy rëng theo ngh¾a x§p x¿ vîi mùc ë khæng trìn bªccao d÷îi gi£ thi¸t kh£ vi ch°t (trong c¡c i·u ki»n tèi ÷u c¦n) hay kh£ vi (trong c¡c i·uki»n tèi ÷u õ), tr¡nh gi£ thi¸t kh£ vi li¶n töc, º thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p haivîi t½nh ch§t envelope-like cho b i to¡n (P) C¡c k¸t qu£ cõa chóng tæi l m rã hìn v§n

· khi n o hi»n t÷ñng envelope-like x£y ra v  ho n thi»n c¡c k¸t qu£ ¢ câ trong l¾nhvüc nghi¶n cùu n y Cö thº, · t i thüc hi»n c¡c möc ti¶u nghi¶n cùu sau ¥y

+ Kh¡i ni»m v  c¡c t½nh ch§t cõa c¡c tªp ti¸p xóc c§p mët v  c§p hai

+ Kh¡i ni»m ¤o h m suy rëng kiºu x§p x¿ c§p mët v  c§p hai v  c¡c t½nh ch§t cõachóng

+ C¡c i·u ki»n tèi ÷u c¦n c§p hai vîi hi»n t÷ñng envelope-like cho c¡c nghi»m y¸u

P.Q Khanh and N.D Tuan, Second-order optimality conditions with envelope-likeeffect for nonsmooth vector optimization in infinite dimensions, Nonlinear Anal 77(2013) 130-148

•Ch÷ìng mð ¦u: Lþ do thüc hi»n · t i, möc ti¶u v  k¸t qu£ nghi¶n cùu cõa · t i

• Ch÷ìng 1: Giîi thi»u b i to¡n nghi¶n cùu v  mët sè ki¸n thùc gi£i t½ch h m côngnh÷ mët sè kh¡i ni»m v· c¡c tªp ti¸p xóc c§p mët v  c§p hai

• Ch÷ìng 2: ¤o h m suy rëng kiºu x§p x¿ c§p mët v  c§p hai

• Ch÷ìng 3: C¡c i·u ki»n tèi ÷u c¦n c§p hai

• Ch÷ìng 4: C¡c i·u ki»n tèi ÷u õ c§p hai

4

Ch÷ìng 1: Giîi thi»u b i to¡n nghi¶n cùu v  mët sè ki¸n thùc gi£i t½ch h m công nh÷ mët sè kh¡i ni¶m v· c¡c tªp ti¸p xóc c§p mët v  c§p hai

Cho X, Z, W l  c¡c khæng gian Banach, Y l  khæng gian ành chu©n, C ⊂ Y l  nânlçi âng, v  K ⊂ Z l  tªp lçi Cho f : X → Y , g : X → Z, v  h : X → W l  c¡c ¡nhx¤ Chóng tæi x²t b i to¡n tèi ÷u vectì sau ¥y:

(P) minCf (x), sao cho g(x) ∈ −K, h(x) = 0

Chóng tæi dòng c¡c kþ hi»u cì b£n N = {1, 2, , n, } v  R l  tªp hñp c¡c sèthüc Vîi khæng gian ành chu©n X, X∗ l  èi ng¨u topo cõa of X; h., i l  t½ch èing¨u k.k l  chu©n trong khæng gian ành chu©n b§t ký v  d(y, S) l  kho£ng c¡ch tø

iºm y ¸n tªp S Bn(x, r) = {y ∈ Rn : kx − yk < r}; Sn = {y ∈ Rn : kyk = 1};

BX(x, r) = {y ∈ X : kx − yk < r}, SX = {y ∈ X : kyk = 1} v  èi vîi BX(0, 1) tavi¸t ìn gi£n l  BX L(X, Y ) l  kþ hi»u khæng gian c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh bà ch°n tø

X v o Y v  B(X, X, Y ) l  khæng gian c¡c ¡nh x¤ song tuy¸n t½nh bà ch°n tø X × X

v o Y , trong â X v  Y l  c¡c khæng gian ành chu©n Vîi Pn, P trong L(X, Y ), ta vi¸t

Pn−→ Pp hay P = p-lim Pn n¸u Pn hëi tö iºm ¸n P Kþ hi»u t÷ìng tü ÷ñc dòng cho

Mn, M ∈ B(X, X, Y ) Vîi nân C ⊂ X, kþ hi»u C∗ = {c∗ ∈ X∗ : hc∗, ci ≥ 0, ∀c ∈ C}l nân èi cüc d÷ìng cõa C Vîi A ⊂ X, c¡c kþ hi»u riA, intA, clA, bdA, coneA, coA v A(x)l¦n l÷ñt l  ph¦n trong t÷ìng èi, ph¦n trong, bao âng, bi¶n, bao nân, bao lçi cõa

Av  bao nân cõa ph¦n dàch chuyºn A + x Vîi t > 0 v  r ∈ N, o(tr) l  kþ hi»u cõa mët

iºm phö thuëc v o t sao cho o(tr)/tr → 0 khi t → 0+ C1,1 l  khæng gian c¡c ¡nh x¤kh£ vi Fr²chet sao cho ¤o h m Fr²chet l  Lipschitz àa ph÷ìng

Trong ph¦n n y ta x²t X, Y l  c¡c khæng gian ành chu©n v  h : X → Y l  ¡nh x¤

Ta nâi h l  ên ành t¤i x0 n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa x0 v  κ > 0 sao cho, vîi måi

x ∈ U,

kh(x) − h(x0)k ≤ κkx − x0k

h÷ñc gåi l  kh£ vi ch°t t¤i x0 ∈ X n¸u nâ câ ¤o h m Fr²chet h0

(x0) t¤i x0 v limy→x0,y0

→x 0

kh(y) − h(y0) − h0(x0)(y − y0)k

ky − y0

Hiºn nhi¶n r¬ng n¸u h l  kh£ vi ch°t t¤i x0, th¼ h l  Lipschitz g¦n x0

K¸t qu£ sau ¥y ÷ñc chùng minh mët c¡ch t÷ìng tü nh÷ Bê · 3 cõa [7]

M»nh · 1.1 Cho h l  ¡nh x¤ kh£ vi Fr²chet quanh x0 ∈ X vîi h0

l  ên ành t¤i x0,

v  u, w ∈ X N¸u (tn, rn) → (0+, 0+), tn/rn→ 0+, v  wn:= (xn− x0− tnu)/12tnrn → w,th¼

IT00(S, x0, u) = {w ∈ X | ∀(tn, rn) → (0+, 0+) : tn

r n → 0, ∀wn → w,

∀n õ lîn, x0+ tnu +12tnrnwn ∈ S}.C¡c nân T (S, x0), IT (S, x0)v  ITC(S, x0)v  c¡c tªp T2(S, x0, u), A2(S, x0, u)v  IT2(S, x0, u)

÷ñc bi¸t rã C¡c nân A00

(S, x0, u) v  T00

(S, x0, u) ÷ñc Penot [25, 26] sû döng Chóngtæi ành ngh¾a nân IT00

(S, x0, u) mët c¡ch tü nhi¶n L÷u þ r¬ng n¸u x0 6∈ clS, th¼ t§t c£c¡c tªp ti¸p xóc ð tr¶n l  réng V¼ th¸, chóng tæi luæn x²t c¡c tªp ti¸p xóc ch¿ t¤i nhúng

iºm thuëc bao âng cõa tªp ang x²t

Chóng tæi ÷a ra mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa c¡c tªp ti¸p xóc c§p mët v  c§p hai ðtr¶n trong ba m»nh · sau ¥y

M»nh · 1.3 Cho S ⊂ X v  x0, u ∈ X Khi â, c¡c t½nh ch§t sau ÷ñc bi¸t rã

IT2(S, x0, u) = intA2(S, x0, u), clIT2(S, x0, u) = A2(S, x0, u);

(vi) n¸u u ∈ cone(S − x0), th¼

(S, x0, u) = ∅.(iv) A00

Bê · 4.1 cõa [28] Gií ¥y, ta x²t ph¦n (iv) Cho w ∈ A00

(i) (cê iºn) (xn− x0)/tn → u, trong â tn = kxn− x0k;

(ii) ([11]) ho°c z ∈ T2(S, x0, u) ∩ u⊥ tçn t¤i sao cho (xn− x0− tnu)/12t2

n→ z ho°c z ∈

T00(S, x0, u) ∩ u⊥\ {0} v  rn → 0+ tçn t¤i sao cho t n

r n → 0+ v  (xn− x0− tnu)/12tnrn → z,trong â u⊥ l  ph¦n bò trüc giao cõa u ∈ Rm

Ch÷ìng 2: ¤o h m suy rëng kiºu x§p x¿ c§p mët v  c§p hai

ành ngh¾a 2.1 ([1, 13]) X²t h : X → Y l  ¡nh x¤

(i) Tªp Ah(x0) ⊂ L(X, Y ) ÷ñc gåi l  x§p x¿ c§p mët cõa h t¤i x0 n¸u, vîi x trongmët l¥n cªn cõa x0, tçn t¤i r → 0+ sao cho rkx − x0k−1→ 0 khi x → x0 v ,

h(x) − h(x0) ∈ Ah(x0)(x − x0) + rBY.(ii) C°p (Ah(x0), Bh(x0)), vîi Ah(x0) ⊂ L(X, Y ) v  Bh(x0) ⊂ B(X, X, Y ), ÷ñc gåi

l  x§p x¿ c§p hai cõa h t¤i x0 n¸u Ah(x0) l  x§p x¿ c§p mët cõa h t¤i x0, v  vîi x trongmët l¥n cªn cõa x0, tçn t¤i r → 0+ sao cho rkx − x0k−1→ 0 khi x → x0 v 

l  x§p x¿ c§p hai cõa h t¤i x0

(ii) ([1, 13]) N¸u h : Rn → Rm l  Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x0, th¼ Jacobian Clarke[4] ∂Ch(x0) l  x§p x¿ c§p mët cõa h t¤i x0 N¸u, th¶m núa, h thuëc lîp C1,1 t¤i x0, th¼(h0(x0),12∂C2g(x0))l  x§p x¿ c§p hai cõa h t¤i x0, trong â ∂2

Ch(x0)l  Hessian Clarke [8]cõa h t¤i x0

(iii) ([15]) N¸u h : Rn → Rm l  li¶n töc v  câ ¡nh x¤ tüa Jacobian [9] ∂h(.) l  núali¶n töc tr¶n t¤i x0, th¼ co∂h(x0) l  x§p x¿ c§p mët cõa h t¤i x0 N¸u h l  kh£ vi li¶ntöc Fr²chet trong mët l¥n cªn cõa x0 v  câ ¡nh x¤ tüa Hessian [9] ∂2h(.)l  núa li¶n töctr¶n t¤i x0, th¼ (h0

(x0),12co∂2h(x0)) l  x§p x¿ c§p hai cõa h t¤i x0

Do â, c¡c x§p x¿ l  c¡c ¤o h m suy rëng r§t têng qu¡t Hìn núa, méi ¡nh x¤ h ·u

câ mët x§p x¿ t¦m th÷íng t¤i b§t cù iºm n o, l  to n bë khæng gian L(X, Y ) C¡c ¤o

h m kiºu x§p x¿ ti»n lñi khi dòng hìn so vîi c¡c ¤o h m suy rëng kh¡c l  c¡c x§p x¿ câthº tçn t¤i khæng t¦m th÷íng ngay c£ cho ¡nh x¤ khæng li¶n töc V½ dö cho h : R → R

∂h(0, 0) = Ah(0, 0) = {(0, β) : β ∈ {−1, 1}},công l  tüa Jacobian Fr²chet [9] Tuy nhi¶n,

∂hC(0, 0) = {(α, β) : α, β ∈ [−1, 1]}.V½ dö 2.2 Cho h : R2 → R2 ÷ñc ành ngh¾a bði h(x, y) = (|x| − |y|, |y| − |x|) Khi â,

hl  Lipschitz àa ph÷ìng t¤i (0, 0) v 

∂h(0, 0) =  1−1 −1

1

, −1 1

1 1



công l  tüa Jacobian Fr²chet Ta công câ ∂Ch(0, 0) =coAh(0, 0)

V½ dö 2.3 Cho h : R2 → R2 nh÷ sau h(x, y) = (|x|1/2sign(x), y1/3+ |x|) Khi â, h l li¶n töc nh÷ng khæng Lipschitz àa ph÷ìng t¤i (0, 0) v  x§p x¿ c§p mët

Ah(0, 0) =  α 0β γ

: α > 0, β = ±1, γ > 0



th¼ kh¡c tüa Jacobian Fr²chet

∂Fh(0, 0) = α 0β γ

: α ≥ 0, β ∈ [−1, 1], γ ∈ R

.Hai v½ dö sau ¥y chùng tä c¡c ¤o h m suy rëng c§p hai ð tr¶n công x£y ra t¼nhhuèng t÷ìng tü [15]

V½ dö 2.4 Cho h : R2 → R ành ngh¾a bði h(x, y) = 1

,

∂2h(0, 0) = 1 00 1

, 1 0

0 −1

, −1 0

0 1

, −1 0

0 −1/2

, −1/2 0

0 1/2

, −1/2 0

0 −1/2

.V½ dö 2.5 nh x¤ h : R2 → R cho bði h(x, y) = 2

3|x|3/2 + 12y2 thuëc lîp C1 nh÷ngkhæng thuëc lîp C1,1 Do â ∂2

Ch khæng tçn t¤i v  hai ¤o h m c§p hai x¡c ành bði

∂2h(0, 0) =  α 00 1

: α ≥ 0

,

Bh(0, 0) = α0 1/20

: α > 0



ành ngh¾a 2.3 ([15, 17]) Tªp A ⊂ L(X, Y ) (B ⊂ B(X, X, Y )) ÷ñc gåi l  compact

iºm ti»m cªn (theo d¢y) (vi¸t t­t p-compact) n¸u hai i·u ki»n sau ¥y thäa:

(i) méi d¢y bà ch°n theo chu©n (Mn) ⊂ A (⊂ B, t÷ìng ùng) ·u câ d¢y con hëi tö

iºm;

10

(ii) n¸u (Mn) ⊂ A (⊂ B, t÷ìng ùng) vîi lim kMnk = ∞, th¼ (Mn/kMnk) câ d¢y conhëi tö iºm ¸n mët giîi h¤n kh¡c khæng.

N¸u hëi tö iºm trong ành ngh¾a tr¶n ÷ñc thay bði hëi tö, th¼ ta nâi r¬ng A(hay B) l  compact ti»m cªn (theo d¢y) L÷u þ r¬ng n¸u Y = R, th¼ hëi tö iºm tròngvîi hëi tö sao-y¸u Kh¡i ni»m compact theo d¢y nâi tr¶n kh¡c kh¡i ni»m p-compact.Tuy nhi¶n, trong · t i n y chóng tæi ch¿ sû döng kh¡i ni»m p-compact theo d¢y v  bä

i thuªt ngú theo d¢y L÷u þ r¬ng n¸u X v  Y l  húu h¤n chi·u, th¼ b§t ký tªp A hay

B nâi tr¶n l  p-compact ti»m cªn

Vîi A ⊂ L(X, Y ) v  B ⊂ B(X, X, Y ) ta dòng c¡c kþ hi»u:

p-clA = {P ∈ L(X, Y ) | ∃(Pn) ⊂ A, P = p-lim Pn},p-clB = {M ∈ B(X, X, Y ) | ∃(Mn) ⊂ B, M = p-lim Mn},

A∞= {P ∈ L(X, Y ) | ∃(Pn) ⊂ A, ∃tn → 0+, P = lim tnPn},p-A∞ = {P ∈ L(X, Y ) | ∃(Pn) ⊂ A, ∃tn→ 0+, P = p-lim tnPn},

p-B∞ = {M ∈ B(X, X, Y ) | ∃(Mn) ⊂ B, ∃tn → 0+, M = p-lim tnMn}

Ch÷ìng 3: C¡c i·u ki»n tèi ÷u c¦n c§p hai

Chóng ta h¢y nhî l¤i c¡c kh¡i ni»m v· nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (P) Kþ hi»u

G = g−1(−K) v  H = h−1(0) Khi â, tªp ch§p nhªn ÷ñc cõa (P) l 

S = G ∩ H = {x ∈ X | g(x) ∈ −K, h(x) = 0}

iºm x0 ∈ S ÷ñc gåi l  nghi»m y¸u àa ph÷ìng (nghi»m àa ph÷ìng, t÷ìng ùng) cõa(P) n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa x0 sao cho, ∀x ∈ U ∩ S,

f (x) − f (x0) 6∈ −int C(f(x) − f(x0) 6∈ (−C) \ C, t÷ìng ùng)

Tªp hñp t§t c£ c¡c nghi»m y¸u àa ph÷ìng (nghi»m àa ph÷ìng, t÷ìng ùng) cõa (P)

÷ñc kþ hi»u bði LWE(f, S) (LE(f, S), t÷ìng ùng) Vîi m ∈ N, x0 ∈ S ÷ñc gåi l nghi»m ch­c ch­n àa ph÷ìng c§p m, ÷ñc kþ hi»u bði x0 ∈ LFE(m, f, S) n¸u tçn t¤i

γ > 0 v  mët l¥n cªn U cõa x0 sao cho, ∀x ∈ U ∩ S \ {x0},

(f (x) + C) ∩ BY(f (x0), γkx − x0km) = ∅,hay, t÷ìng ÷ìng,

d(f (x) − f (x0), −C) ≥ γkx − x0km.L÷u þ r¬ng, vîi p ≥ m,

LFE(m, f, S) ⊂ LFE(p, f, S) ⊂ LE(f, S) ⊂ LWE(f, S)

Do â, i·u ki»n c¦n cho nghi»m y¸u công l  i·u ki»n c¦n cho c¡c nghi»m cán l¤i, v 

i·u ki»n õ cho nghi»m ch­c ch­n công l  i·u ki»n õ cho c¡c nghi»m cán l¤i

º thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u c¦n c§p hai cho b i to¡n (P), ta dòng kh¡i ni»md÷îi ch½nh quy metric sau ¥y

ành ngh¾a 3.1 ([25]) Cho x0, u ∈ X: u 6= 0, T ⊂ Y v  h : X → Y Ta nâi r¬ng h l d÷îi ch½nh quy metric theo h÷îng t¤i (x0, u) èi vîi T n¸u tçn t¤i µ > 0, ρ > 0 sao cho,vîi måi t ∈ (0, ρ) v  v ∈ BX(u, ρ), ta câ

(DMSRu) d(x0 + tv, h−1(T )) ≤ µd(h(x0+ tv), T )

Ta nâi r¬ng h l  d÷îi ch½nh quy metric t¤i x0 èi vîi T n¸u tçn t¤i µ > 0, ρ > 0 saocho, vîi måi x ∈ BX(x0, ρ), ta câ

(MSR) d(x, h−1(T )) ≤ µd(h(x), T )

L÷u þ r¬ng nhi·u kh¡i ni»m li¶n h» ¸n d÷îi ch½nh quy metric ¢ ÷ñc nghi¶n cùu

v  sû döng d÷îi nhi·u thuªt ngú kh¡c nhau N¸u h(x0) ∈ T, th¼ i·u ki»n (MSR) tròngvîi i·u ki»n d÷îi ch½nh quy metric cõa ¡nh x¤ a trà x 7→ h(x) − T t¤i (x0, 0) ÷ñc

ành ngh¾a trong [6] V¼ th¸ chóng tæi sû döng thuªt ngú d÷îi ch½nh quy Chóng tah¢y quan s¡t r¬ng, vîi b§t ký u 6= 0, i·u ki»n (DMSRu) l  h» qu£ cõa (MSR) Trongph¦n sau, chóng tæi s³ dòng kþ hi»u (DMSRu) khi u = 0 (nh÷ng khæng nâi d÷îi ch½nhquy metric theo h÷îng", v¼ 0 khæng ph£i l  mët h÷îng) Khi â, (DMSR0) t÷ìng ÷ìngvîi (MSR) Hìn núa, khi T l  lçi âng, v  h l  kh£ vi li¶n töc t¤i x , i·u ki»n (MSR)

l  h» qu£ cõa i·u ki»n ch½nh quy Mangasarian-Fromovitz:

(MF) h0(x0)X−cone(T − h(x0)) = Y

Tr÷îc h¸t chóng tæi thi¸t lªp i·u ki»n tèi ÷u c¦n c§p hai cho (P) trong c¡c khænggian gèc

ành lþ 3.2 Cho c¡c ph¦n trong cõa C v  K l  kh¡c trèng v  x0 ∈ LWE(f, S) Khi

â, vîi måi u ∈ X, c¡c kh¯ng ành sau ¥y thäa

(i) Cho (f, g, h) l  kh£ vi Fr²chet t¤i x0, v  h l  d÷îi ch½nh quy metric theo h÷îng t¤i(x0, u) èi vîi T = {0} khi u 6= 0 Khi â, (f, g, h)0

(x0)u 6∈ −int[C × K(g(x0))] × {0}.(ii) Cho (f, g, h) l  kh£ vi ch°t t¤i x0, h l  d÷îi ch½nh quy metric theo h÷îng t¤i (x0, u)

èi vîi T = {0}, v  ((f, g, h)0

(x0), B(f,g,h)(x0)) l  x§p x¿ c§p hai cõa (f, g, h) t¤i x0 vîi

B(f,g,h)(x0) l  p-compact ti»m cªn N¸u (f, g, h)0

(x0)u ∈ −[C × clK(g(x0)) \ int(C ×K(g(x0)))] × {0}, th¼

(a) ho°c tçn t¤i (M, N, P ) ∈ p-clB(f,g,h)(x0) sao cho, vîi måi w ∈ X,

(f, g, h)0(x0)w + 2(M, N, P )(u, u) 6∈ −intcone[C + f0(x0)u] × IT2(−K, g(x0), g0(x0)u) × {0};(b) ho°c tçn t¤i (M, N, P ) ∈ p-B(f,g,h)(x0)∞\ {0} sao cho

(M, N, P )(u, u) 6∈ −intcone[C + f0(x0)u] × IT00(−K, g(x0), g0(x0)u) × {0}

(iii) Cho f l  kh£ vi Fr²chet t¤i x0, (f0

(x0), Bf(x0)) l  x§p x¿ c§p hai cõa f t¤i x0 vîi

Bf(x0) l  p-compact ti»m cªn, v  f0

(x0)u ∈ −bdC (v  intK khæng c¦n kh¡c réng), th¼vîi måi w ∈ T00

(S, x0, u)ho°c tçn t¤i M ∈ p-Bf(x0)∞ sao cho

f0(x0)w + M (u, u) 6∈ −intcone[C + f0(x0)u],ho°c tçn t¤i M ∈ p-Bf(x0)∞\ {0} sao cho

M (u, u) 6∈ −intcone[C + f0(x0)u].Chùng minh (i) N¸u u = 0, th¼ k¸t qu£ l  rã r ng Gi£ sû ph£n chùng r¬ng, vîi u ∈ Xkh¡c khæng,

(f, g, h)0(x0)u ∈ −int[C × K(g(x0))] × {0}.Khi â, vîi måi tn→ 0+,

h(x0+ tnu)

tn → h0(x0)u = 0.Bði gi£ thi¸t d÷îi ch½nh quy metric cõa h, tçn t¤i µ > 0, ρ > 0 sao cho, vîi måi t ∈ (0, ρ)

v  v ∈ BX(u, ρ), ta câ d(x0 + tv, H) ≤ µkh(x0+ tv)k Do â, vîi n lîn, tçn t¤i yn ∈ Hvîi (x0+ tnu − yn)/tn→ 0 Ta câ un := (yn− x0)/tn→ u v  x0+ tnun ∈ H

V¼

f (x0+ tnun) − f (x0)

tn → f0(x0)u ∈ −intC, g(x0+ tnun) − g(x0)

tn → g0(x0)u ∈ −intK(g(x0)),vîi n õ lîn, ta câ

f (x0+ tnun) − f (x0) ∈ −intC,g(x0+ tnun) ∈ −intK ⊂ −K,tùc l , ta ÷ñc i·u m¥u thu¨n

14

(ii) L§y u ∈ X sao cho

(f, g, h)(x0+ tnu) − (f, g, h)(x0) − tn(f, g, h)0(x0)u

t2

n/2 → 2(M, N, P )(u, u).Vîi b§t ký w ∈ X, bði gi£ thi¸t kh£ vi ch°t cõa f, ta câ

0

(x0)u

t2

n/2 → f0(x0)w + 2M (u, u).T÷ìng tü, ta ¤t ÷ñc

g(x0+ tnu + 12t2

nw) − g(x0) − tng0(x0)u

t2

n/2 → g0(x0)w + 2N (u, u),h(x0+ tnu + 12t2nw) − h(x0) − tnh0(x0)u

t2

n/2 → h0(x0)w + 2P (u, u).Gi£ sû

V¼ IT (−intC, f (x0)u) = −intcone(C + f (x0)u), (2) suy ra r¬ng, vîi n lîn,

g(x0) + tng0(x0)u + 1

2t

2 n

(b) N¸u {(Mn, Nn, Pn)}khæng bà ch°n, ta gi£ sû r¬ng αn := k(Mn, Nn, Pn)k → ∞v 1

αn(Mn, Nn, Pn)

p

−

→ (M, N, P ) ∈ p-B(f,g,h)(x0)∞\ {0} Do â,(f, g, h)(x0+ tnu) − (f, g, h)(x0) − tn(f, g, h)0(x0)u

αnt2 n

→ (M, N, P )(u, u).Gi£ sû

(M, N, P )(u, u) ∈ −intcone[C + f0(x0)u] × IT00(−K, g(x0), g0(x0)u) × {0} (6)V¼ (f, g)0

(x0)u ∈ −[C×clK(g(x0))\int(C ×K(g(x0)))], ta câ ho°c f0

= f (x0+ tnun) − f (x0+ tnu)

αnt2 n

+f (x0+ tnu) − f (x0) − tnf

0

(x0)u

αnt2 n

→ M (u, u) ∈ −intcone[C+f0(x0)u] (7)T÷ìng tü, ta câ

g(x0+ tnun) − g(x0) − tng0(x0)u

αnt2 n

→ N (u, u) ∈ IT00(−K, g(x0), g0(x0)u) (8)V¼ IT (−intC, f0

∈ −intC,

v  v¼ th¸

f (x0+tnun)−f (x0) ∈ −intC (9)

16