Trong tất cả các ngũ giác trên ta chọn ngũ giác có diện tích nhỏ nhất không chứa một điểm nguyên nào giả sử là ABCDE.. x y , .[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 CHUYÊN THPT LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên
Tin)
Bài I: (2 điểm)
1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = a + 2b + 3c = 14 Tính giá trị của biểu thức
T = abc
2) Cho n là số nguyên dương Chứng minh A = 24n + 1 + 34n + 2 là hợp số
Bài II: (3 điểm)
1) 2x25x1 7 x31Giải phương trình
2)
Bài III: (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh
Bài IV: (3 điểm)
Cho đường tròn (O, R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn sao cho SO = 2R Từ S
kẻ hai tiếp tuyến SA, SB (A (O), B (O)) và cát tuyến SCD (C nằm giữa S và D) thay đổi Gọi K là trung điểm của CD và H là giao điểm của AB và SO
1) Chứng minh 4 điểm C, D, H, O nằm trên một đường tròn.
2)
1
2Chứng minh AC.BD = AB.CD.
3)
KA KBTìm vị trí của điểm K sao cho nhỏ nhất
Bài V: (1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ngũ giác lồi ABCDE có tọa độ các đỉnh là các số nguyên Chứng minh tồn tại ít nhất một điểm nằm trong ngũ giác đó có tọa độ là các số nguyên
-
Hết -(Giám thị không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2Chữ ký của giám thị số 1: Chữ ký của giám thị số 2:
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ LẦN 3 VÀO LỚP 10
NGUYỄN HUỆ NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: TOÁN (Dành cho hệ chuyên Toán và chuyên Tin)
2 3 14
2a 4 6 28
a2 + b2 + c2 – 2a – 4b – 6c = - 14
(a – 1)2 + (b – 2)2 + (c – 3)2 = 0
0,25
2 Chứng minh rằng A = 2 4n + 1 + 3 4n + 2 là hợp số.
1,0
A =2.16n + 81n + 2
Vì 2.16n 2 (mod 5) 81
Từ (1) và (2) suy ra với mọi n > 0, A > 5 và A chia hết cho 5 nên A là hợp số 0,25
1
x Điều kiện
3 x 1 2 x x 1 7 x 1 x x 1
Ta có
0,5
1 0
a x b x 2 x 1 0
9
4
Đặt ;ta được:
0,5
4 6
2 Giải hệ phương trình
1,5
Ta có
2
9x
5 4 4
y x Coi (2) là phương trình bậc 2 ẩn y, suy ra:
0,5
Trang 35 4
y x 5x42 5x214x8( 1 32 2; );( 45;0)
Với suy ra: ta được nghiệm 0,5 4
y x(4 x) 2 5x214x 8
11 3 17 27 3 17 11 3 17 27 3 17
2b c 2b c 2c a 4b4c a Ta có:
4b 4c a 9 2b c 2c a
1 2
1 2
1 2
Tương tự: ; 0,25
9
a b c
SAC SDA
SC.SD = SA2 (1)
0,5
B
O
K C
D A
S
Trang 4SA2 = SH.SO (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) SC.SD = SH.SO
SCO SHD
Bốn điểm S, D, H, O nằm trên một đường tròn 0,5
2
3)
1
2
AB
1
2 AC
1
2 BC BACTa có sđ -
sđ=sđ=
AB BD CAK BAD AC.BD = AB.CK
1
2
Vì K là trung điểm của CD nên (4) 0,5
3
4)
Vì SO = 2R SAB đều
BKM BAS MBS ABK MBATrên tia KS lấy điểm M sao cho KM
= KB KMB đều (KM = KB và ) và (600 - )
SMB = AKB
Ta có:
KA + KB = SM + MK = SK SO = 2R
(vì 5 điểm S, A, B, K, O) nằm trên đường tròn đường kính SO.)
A
2
R min = khi SCD là cát tuyến đi qua tâm O hay C là trung điểm
của SO
0, 5
Giả sử tồn tại ngũ giác nguyên mà bên trong không chứa một điểm nguyên
nào Trong tất cả các ngũ giác trên ta chọn ngũ giác có diện tích nhỏ nhất
không chứa một điểm nguyên nào giả sử là ABCDE
x y,
Theo nguyên lí Dirichlet: vì có 5 điểm A, B, C, D, E tọa độ nguyên nên tồn tại ít nhất 2 điểm tạm gọi là X,Y mà cặp tọa độ của chúng có cùng tính
chẵn lẻ Khi đó trung điểm M của X, Y sẽ có tọa độ nguyên Do M không thể
nằm trong ngũ giác (giả sử) nên M phải thuộc một trong các cạnh hay XY phải
là một cạnh của ngũ giác
0,5
Không mất tổng quát ta giả sử 2 điểm đó là A, B Do đó ta có ngũ giác
MBCDE có diện tích nhỏ hơn diện tích ngũ giác ABCDE
Do tính nhỏ nhất và không chứa điểm nguyên nào bên trong của ABCDE suy
ra ngũ giác MBCDE phải chứa một điểm nguyên T bên trong Mâu thuẫn vì T
cũng nằm trong ABCDE
ĐPCM
0,5
Trang 5Các chú ý khi chấm:
1) Thí sinh phải lập luận đầy đủ mới cho điểm tối đa.
2) Thí sinh có cách giải đúng, khác với hướng dẫn thì giám khảo vẫn chấm và cho điểm theo số điểm quy định dành cho câu (hay ý) đó.
3) Vận dụng hướng dẫn chấm chi tiết đến 0,25 điểm nên không làm tròn điểm bài thi.