Bài toán nhúng đẳng cấu miền nguyên không gian giao hoán vào vành chia

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Đình Khôi BÀI TOÁN NHÚNG ĐẲNG CẤU MIỀN NGUYÊN KHÔNG GIAO HOÁN VÀO VÀNH CHIA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành p

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Phạm Đình Khôi

BÀI TOÁN NHÚNG ĐẲNG CẤU MIỀN NGUYÊN

KHÔNG GIAO HOÁN VÀO VÀNH CHIA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Phạm Đình Khôi

BÀI TOÁN NHÚNG ĐẲNG CẤU MIỀN NGUYÊN

KHÔNG GIAO HOÁN VÀO VÀNH CHIA

Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS BÙI TƯỞNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn “Bài toán nhúng đẳng cấu miền nguyên

không giao hoán vào vành chia” do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn

trực tiếp của PGS.TS Bùi Tưởng Trí Nội dung luận văn có tham khảo và

sử dụng một số kết quả từ nguồn sách, tạp chí, bài báo được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về luận văn của mình

Tác giả luận văn

Phạm Đình Khôi

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tôi đã được Quý Thầy Cô cung cấp cho tôi những kiến thức chuyên sâu, giúp tôi trưởng thành trong học tập và nghiên cứu khoa học Tôi xin gửi lời biết ơn đến tất cả Quý Thầy Cô đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt thời gian học tại trường

Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Bùi Tưởng Trí Thầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn Đặc biệt, tôi đã được học ở Thầy phương pháp làm việc khoa học và sự am hiểu thấu đáo của riêng Thầy

Xin được phép gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng Bảo vệ Luận văn Thạc sĩ đã đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá luận văn Tôi cũng xin được phép gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô công tác tại Phòng Sau Đại học của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh,

Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, thực hiện luận văn

Cuối cùng, xin khắc sâu công ơn Cha Mẹ, cảm ơn người thân, bạn bè luôn ủng hộ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt khóa học

TP Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2020

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các kí hiệu

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 3

1.1 Một số định nghĩa và tính chất trên vành giao hoán 3

1.1.1 Định nghĩa nhóm 3

1.1.2 Luật giản ước 3

1.1.3 Đại số 4

1.1.4 Đại số nửa nhóm 4

1.1.5 Định nghĩa vành 4

1.1.6 Định nghĩa ideal 5

1.1.7 Khái niệm ideal nguyên tố 5

1.1.8 Khái niệm ideal cực đại 5

1.1.9 Mệnh đề 5

1.2 Địa phương hóa trong vành giao hoán và bài toán nhúng đẳng cấu 7

1.2.1 Định nghĩa vành địa phương 7

1.2.2 Địa phương hóa trong vành giao hoán 9

Chương 2 VẤN ĐỀ ĐỊA PHƯƠNG HÓA KHÔNG GIAO HOÁN 14

2.1 Một số khái niệm cơ bản về vành không giao hoán 15

2.1.1 Miền nguyên (không giao hoán) 15

2.1.2 Vành chia 15

2.1.3 Nửa nhóm (không giao hoán) 15

2.1.4 Nửa nhóm tự do 15

2.1.5 Đại số nửa nhóm kH trong một vành không giao hoán có

đơn vị 17

2.2 Bổ đề 17

2.3 Định lí 19

2.4 Định lí 21

Chương 3 MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU GỢI MỞ LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN 23

3.1 Vấn đề bổ sung thứ tự trên H 23

3.2 Tựa - đồng nhất thức (Quasi – identities) 23

3.3 Một số định nghĩa và định lý liên quan địa phương hóa trong vành không giao hoán 24

3.3.1 Mệnh đề 27

3.3.2 Ví dụ 27

3.4 Những điều kiện cần cho khả năng nhúng của một miền R vào một vành chia 29

KẾT LUẬN 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

MỞ ĐẦU

Như chúng ta đã biết trong vành giao hoán (có đơn vị) thì mọi miền nguyên đều có thể nhúng đẳng cấu vào một trường (trường các thương của nó)

Bài toán hoàn toàn tương tự cho các vành không giao hoán là khả năng nhúng một miền nguyên không giao hoán vào một vành chia thì liệu có đơn giản như vậy hay không

Vì vành giao hoán (có đơn vị) và vành không giao hoán (có đơn vị) có vài nét khác nhau nên việc nhúng đẳng cấu từ một miền nguyên giao hoán vào một trường thì luôn luôn làm được nhưng việc nhúng đẳng cấu từ một miền nguyên không giao hoán vào một vành chia thì lại không đơn giản như vậy

Chính vì vậy, tôi chọn đề tài này để đưa ra một bài toán mà miền nguyên không giao hoán không thể nhúng đẳng cấu vào vành chia qua một ví dụ rất nổi tiếng của Mal’ Cev Luận văn gồm ba chương :

_ Chương 1: Những kiến thức cơ bản

Chương này trình bày một số khái niệm, định nghĩa và tính chất đã biết trong đại số giao hoán và đại số không giao hoán, sau đó là giới thiệu đôi nét

về việc địa phương hóa trong vành giao hoán

_ Chương 2 : Vấn đề địa phương hóa trong vành không giao hoán

Chương này trình bày đôi nét về việc địa phương hóa trong vành không giao hoán và đưa ra câu trả lời phủ định cho câu hỏi: “ phải chăng mọi miền nguyên không giao hoán đều có thể nhúng được vào trong một vành chia không giao hoán” thông qua ví dụ nổi tiếng của Mal’ Cev

_ Chương 3: Một số hướng nghiên cứu gợi mở liên quan đến bài toán

Phần mở rộng này trình bày một số vấn đề gợi mở làm tiền đề cho những nghiên cứu tiếp theo cho việc tìm ra điều kiện cần và đủ để có thể nhúng đẳng cấu từ một miền nguyên không giao hoán vào trong một vành chia

Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong chương này sẽ nhắc lại một số khái niệm, tính chất đã biết trong đại số giao hoán và đại số không giao hoán có liên quan Sau đó giới thiệu đôi nét về việc địa phương hóa trong một vành giao hoán, và dẫn đến một số tính chất cần thiết cho chương sau

1.1 Một số định nghĩa và tính chất trên vành giao hoán

1.1.2 Luật giản ước

a) Một phần tử a trong (G,*) có tính chất giản ước trái nếu :

c) Một nửa nhóm (G,*) có tính chất giản ước trái (hoặc giản ước phải) nếu mọi phần tử a trong (G,*)là giản ước trái (hoặc giản ước phải)

Phép cộng theo nghĩa thông thường

Phép nhân : Phân phối với các tổng hình thức

Nửa nhóm luôn có đơn vị

• Đặc biệt, trong đại số giao hoán đã chứng minh được rằng nếu H là nửa nhóm giao hoán có luật giản ước hai phía thì FH (không có ước của 0) là miền nguyên

• Tuy nhiên, trong các vành không giao hoán thì kết quả tương tự là không còn đúng Việc trình bày lập luận này ta sẽ dành ở phần tiếp theo

1.1.5 Định nghĩa vành

Một vành là một tập hợp R được trang bị hai phép toán hai ngôi, được gọi là phép cộng và phép nhân và thường kí hiệu là “ + ” và “ ” Để tạo thành một vành, hai phép toán này phải đáp ứng một số tính chất:

Vành phải là một nhóm Abel với phép toán cộng

Có tính kết hợp với phép toán nhân

Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng

Các phần tử đơn vị của phép cộng và phép nhân được biểu thị bằng 0

và 1

a) Nếu phép nhân có tính giao hoán, nghĩa là a b b a = thì vành R được gọi là vành giao hoán

b) Nếu trong vành R tồn tại hai phần tử a 0,b 0 sao cho a b = 0

thì các phần tử a, b được gọi là ước của 0

c) Vành giao hoán, có đơn vị, không có ước của 0 được gọi là miền nguyên

1.1.7 Khái niệm ideal nguyên tố

Ideal p của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu p Rvà nếu

.

x yp thì xp hay yp

1.1.8 Khái niệm ideal cực đại

Ideal  được gọi là ideal cực đại của vành R nếu   R và bất kì ideal I chứa  nghiêm ngặt thì I=R

1.1.9 Mệnh đề

i) p là ideal nguyên tố của vành R  vành thương R

p là miền nguyên

ii)  là ideal cực đại của vành R  vành thương R là trường

Chứng minh:

i) ( ) Cho p là ideal nguyên tố của R Ta chứng minh R

p không có ước của 0

( ) Cho R p là miền nguyên Ta chứng minh p là ideal nguyên tố

Lấy a b, p sao cho a b p

ii) ( ) Lấy a+   R\ 0  Dẫn đến a+     0 a 

Nên ta có ideal của R là aR+ chứa hoàn toàn 

Mà  là ideal cực đại của R nên aR+ =  R

Khi đó, tồn tại bR x,   sao cho: ab+ =x 1

Vậy  là ideal cực đại của vành R

• Đặc biệt: Nếu (0) là ideal nguyên tố thì R là miền nguyên (Vì nếu có a b, R sao cho a b =  0 (0) và do (0) là ideal nguyên tố nên a =0hay b =0)

1.2 Địa phương hóa trong vành giao hoán và bài toán nhúng đẳng cấu 1.2.1 Định nghĩa vành địa phương

Vành địa phương là vành giao hoán có đơn vị, trong đó có một ideal cực đại duy nhất

Ví dụ 1: Bất kì trường nào cũng là vành địa phương

Do đó Mlà ideal cực đại của R

_ Giả sử có Nlà ideal cực đại của R mà N Mthì:

m

N M m k k n

Do đó M là ideal cực đại duy nhất của R

Vậy R là vành địa phương

1.2.2 Địa phương hóa trong vành giao hoán

a) Tập con đóng nhân

Cho R là một vành có đơn vị, một tập con S của R được gọi là một tập

con đóng nhân của R nếu:

1 S, 0 S

S đóng đối với phép toán nhân được định nghĩa trong R

b) Địa phương hóa theo một ideal nguyên tố

Cho R là vành giao hoán có đơn vị bất kì, p là ideal nguyên tố thực sự của R Xét tập S=R p\ thì S là tập đóng nhân

Chứng minh M là ideal cực đại duy nhất:

_ Giả sử có ideal thực sự I của R S mà I chứa hoàn toàn M :

Do đó Mlà ideal cực đại của R S

_ Giả sử có Nlà ideal cực đại của R S mà N M thì:

1

r s

Do đó M là ideal cực đại duy nhất của R S

Vậy R S là vành địa phương

• Tuy nhiên, nếu chọn M =f R f n    0, n 0 và

1, , , , n,

S = f f f là tập đóng nhân thì R S không là vành địa

phương vì không có ideal cực đại duy nhất

• Đặc biệt, khi R là miền nguyên thì (0) là ideal nguyên tố và

Một trong những điều quan trọng mà chúng ta đã được biết là cho bất kỳ miền nguyên R giao hoán, ta có thể tùy ý nghịch đảo các phần tử khác 0 của

R để tạo thành một trường các thương duy nhất của R

Với một tập hợp nhân trong vành R, tức là một tập con S R sao cho

S được đóng bởi phép nhân , 0 S,1 S Một đồng cấu :R→R' được gọi là S – khả nghịch nếu  ( )S U(R') (U(R')là nhóm các phần tử khả nghịch của vành R’)

Vành R S được gọi là vành các thương của R theo một ideal nguyên

i)  s S: ( )s khả nghịch trong R S

ii) Đồng cấu  có tính phổ dụng, nghĩa là với mọi đồng cấu

:R R'

 → có tính chất ( )s là khả nghịch  s S thì tồn tại đồng cấu f R: S →R' sao cho  = f 

Trong trường hợp đặc biệt, khi S =R p\ , trong đó p là ideal nguyên tố

thì  là một đơn cấu và R S là vành địa phương Đặc biệt hơn nữa khi R là

miền nguyên giao hoán thì (0) là ideal nguyên tố và S =R\ 0  ta có R S là một

trường, gọi là trường các thương của R, do đó  là phép nhúng R vào R S

Và bây giờ nếu R là một vành không giao hoán bất kỳ thì liệu các tính

chất của R S và  có còn thu được kết quả tốt như vậy hay không Ta sẽ nghiên cứu về câu hỏi này chương sau

Chương 2 VẤN ĐỀ ĐỊA PHƯƠNG HÓA KHÔNG GIAO HOÁN

Sau khi nhắc lại các lý thuyết cơ bản của vành giao hoán, trong chương này ta tìm hiểu về lý thuyết của vành các thương trong bối cảnh của các vành không giao hoán

Trong chương này và cũng là nội dung chính của luận văn, ta cũng xét

bài toán địa phương hóa một vành R không giao hoán có đơn vị theo một tập con nhân S của nó, nghĩa là 0 S, 1 S S, đóng với phép nhân trong R Khi đó

ta phải giải quyết hai vấn đề:

Thứ nhất là có tồn tại hay không vành mà được ký hiệu là R S và một đồng cấu  :R→R S sao cho  là S – khả nghịch trong R S , nghĩa là ( )s khả nghịch trong R S,  s S

Thứ hai là với mọi đồng cấu  : R→R' sao cho  là S – khả nghịch

trong R S thì tồn tại đồng cấu f R: S →R' sao cho  = f 

Tuy vậy, trong trường hợp R là vành không giao hoán thì bài toán tổng

quát trên là quá lớn và không dễ dàng để giải quyết nên chúng ta chỉ xét

trường hợp riêng khi R là một miền nguyên không giao hoán Lúc này

 

\ 0

S =R là một tập con nhân và R S là một vành chia (vì mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch) còn  là một đơn cấu nhúng R vào vành chia

Câu hỏi đặt ra là có phải với mọi miền nguyên không giao hoán R thì

đều tồn tại R S không, và nếu R S tồn tại thì sự tồn tại đó có phải là duy nhất không?

Đó chính là chủ đề chính của luận văn của chúng ta, nói khác đi là bài toán nhúng đẳng cấu miền nguyên không giao hoán vào vành chia

Nội dung chính của luận văn này là đưa ra câu trả lời phủ định cho câu hỏi trên thông qua ví dụ nổi tiếng của Mal’cev, và sau đó là một vài gợi mở nhỏ về điều kiện để một miền có thể nhúng được vào một vành chia

2.1 Một số khái niệm cơ bản về vành không giao hoán

Để chuẩn bị cho nội dung chính của chương, tức là trình bày ví dụ của Mal’cev ta cần nhắc lại một số khái niệm

2.1.1 Miền nguyên (không giao hoán)

Miền nguyên là một vành (không giao hoán) khác không, có đơn vị và không có ước của không cả hai phía

2.1.2 Vành chia

Vành chia là một vành khác vành không, có đơn vị là 1  0, mọi phần tử , 0

aA a đều có một nghịch đảo phép nhân:  a A,  x A: a x =  =x a 1

Vành chia chỉ khác trường ở chỗ phép nhân không nhất thiết phải có tính giao hoán

* Nhận xét: Ta thấy ngay mọi vành chia đều là miền Từ đó dẫn đến câu hỏi tự nhiên là liệu có phải bất cứ một miền nào cũng có thể nhúng được vào trong một vành chia hay không?

2.1.3 Nửa nhóm (không giao hoán)

Cho H là tập hợp khác rỗng, trên H được trang bị một phép toán hai

Định nghĩa: Cho A là một bảng chữ cái Một nửa nhóm với các phần

tử là dãy hữu hạn có thể có của các chữ cái trong A với phép toán là đặt dãy này nối tiếp dãy kia được gọi là một nửa nhóm tự do trên A, ký hiệu là A+

bản của bảng chữ cái của nó, lực lượng của bảng chữ cái A được gọi là hạng

của nửa nhóm tự do

Nửa nhóm tự do là vật tự do trong phạm trù các nửa nhóm, hay nói khác

đi thì mọi nửa nhóm đều là ảnh đồng cấu của một nửa nhóm tự do

Mệnh đề: Cho một nửa nhóm F , các điều kiện sau là tương đương:

i) F là nửa nhóm tự do

ii) F có một tập hợp sinh A sao cho bất kỳ phần tử nào của F đều có

thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tích các phần tử của A

iii) F thỏa mãn luật giản ước (theo như 1.1.2), không chứa phần tử lũy

đẳng, mọi phần tử của F có một số hữu hạn các ước, và với mọi

, , ', '

u v u v F đẳng thức uv=u v' ' dẫn đến u=u' hoặc là một trong u

và u’ là ước bên trái của từ còn lại

Định nghĩa: Mỗi một nửa nhóm con H của một nửa nhóm tự do là nửa

nhóm con có một tập hợp sinh bất khả quy duy nhất bao gồm các phần tử

không thể phân tích được thành tích của các phần tử khác nhau trong H Tuy

nhiên, không phải mọi nửa nhóm con của nửa nhóm tự do đều tự do

Mệnh đề: Cho một nửa nhóm con H của một nửa nhóm tự do F , các điều

kiện sau là tương đương:

i) H là nửa nhóm tự do

ii)  w F H: wH   ,HHw   w H

iii)  w F H: wHHw   w H

Với bất kỳ các từ u, v khác nhau trong nửa nhóm tự do F thì hoặc là u và v

là các phần tử sinh tự do của nửa nhóm con sinh ra bởi chúng hoặc là có một

phần tử w sao cho w=u k =v k l l; ,  Điều thứ hai xảy ra khi và chỉ khi

.

u v=v u

Mỗi một nửa nhóm con với 3 phần tử sinh trong một nửa nhóm tự do thì luôn được biểu diễn hữu hạn Tuy nhiên tồn tại nửa nhóm con với 4 phần tử sinh không được biểu diễn hữu hạn

2.1.5 Đại số nửa nhóm kH trong một vành không giao hoán có

đơn vị

Cho H là nửa nhóm nhân, không giao hoán, có luật giản ước cả hai phía và cho k là miền nguyên giao hoán thì đại số nửa nhóm kH là tập hợp các tổng hình thức :

k11+k22+ + k nn , k jk, iH Phép cộng theo nghĩa thông thường

Phép nhân : Phân phối với các tổng hình thức

Nửa nhóm luôn có đơn vị

2.2 Bổ đề

Ta trở lại với câu hỏi : Liệu có phải bất kì miền nào cũng được nhúng vào trong một vành chia hay không? Thông qua một ví nổi tiếng , Mal’cev đã trình bày câu trả lời phủ định cho câu hỏi này

Tổng quát hơn, Mal’cev đã quan tâm đến vấn đề nhúng một nửa nhóm giản ước H vào trong một nhóm G (Với nửa nhóm giản ước là nửa nhóm trong đó giữ cả hai quy luật giản ước trái và phải) Ta sẽ giả định rằng tất cả nửa nhóm sử dụng trong phần sau là “ vị nhóm ”, (tức là nửa nhóm không giao hoán có chứa phần tử {1}) Tuy nhiên, ta chỉ dùng giả thiết này xuyên suốt chỉ để cho thuận tiện