Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳng

Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳngSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Phép đồng dạng và hình vuông trong hình học giải tích phẳng

Địa chỉ: trường THPT Nho Quan B

Hòm thư điện tử: toantinnqb@gmail.com

Số điện thoại: 0975805618

2 Nguyễn Văn Sáng

Chức danh: giáo viên

Học vị: cử nhân toán

Địa chỉ: trường THPT Nho Quan B

Hòm thư điện tử: quangsang19@gmail.com

Số điện thoại: 0947378873

III NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN

1 Thực trạng và giải pháp cũ thường làm- hạn chế của giải pháp cũ

1.1 Thực trạng

Các bài toán về hình học giải tích Oxy trong đề thi THPT Quốc gia luôn

là câu hỏi khó mang tính phân loại cao và đang có xu hướng khai thác sâu hơn

Để giải được bài toán này học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản vềphương pháp tọa độ trong mặt phẳng, các tính chất đã học và vận dụng linh hoạtcác phương pháp, công cụ khác nhau để giải toán

Trên thực tế học sinh trường THPT Nho Quan B trải qua quá trình học tập

và rèn luyện từ lớp 10 đến lớp 12 thì có rất ít học sinh có thể giải thành thạo bàitoán này trong đề thi THPT Quốc gia, học sinh giỏi cấp trường và tỉnh Nguyênnhân sâu xa của vấn đề này nằm ở việc kết hợp nhiều kiến thức hình học phẳngvào bài toán, vận dụng một cách khéo léo các phương pháp công cụ để giải toán

1.2 Giải pháp cũ thường làm

Trong chương trình hình học lớp 10, nội dung về phương pháp tọa độtrong mặt phẳng đã giải quyết cơ bản những vấn đề về đường thẳng, đường tròn,elip,… nhưng để đáp ứng được các bài toán trên thực tế, trên các đề thi, diễnđàn,… thì các kiến thức này mới chỉ là mở đầu, đòi hỏi người học phải tìm hiểusâu hơn nữa, nắm bắt nhiều kiến thức, kỹ năng, phương pháp và công cụ thì mới

có thể hoàn thành bài toán một cách thuần thục được

Một số bài toán khó đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng, khả năng vận dụngcao như: phán đoán tính chất, chứng minh tính chất và giải toán Điều này đòihỏi học sinh phải có kỹ năng vẽ hình, cảm nhận hình và phán đoán chính xác, cókiến thức sâu về học học để chứng minh và giải quyết vấn đề Ở khâu giải quyếtvấn đề (chứng minh tính chất) nhiều học sinh chỉ nhất nhất sử dụng hình họcthuần túy đề chứng minh, điều này cũng đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vữngchắc, kỹ năng phân tích hình học phải tốt, dẫn đến rất nhiều khó khăn

Ví dụ như trong bài toán sau: (khối A - 2012) Cho hình vuông ABCD,

Phương pháp giải trong đáp án như sau:

+ Gọi H = AN BD Chưng minh AH

vuông góc với HM

+ Tìm AAN, tìm AM = 3 10

2 , từ đó suy ra điểm A

N

M

B A

Vấn đề đặt ra là học sinh có phát hiện ra mối quan hệ giữa 3 điểm A, H và

M một cách đơn giản hay không? Nếu phát hiện ra rồi thì giải quyết vấn đề này

như thế nào?

Hiện nay có rất nhiều phương pháp để giải quyết vấn đề giữa 3 điểm A, H

và M như: sử dụng tính chất vectơ, tọa độ hóa, thuần túy hình học phẳng, đại sốhóa bằng công cụ như hệ thức lượng trong tam giác và đường tròn,… Nhưng cáikhó vẫn là ở chỗ phát hiện ra điểm H

1.3 Hạn chế của phương pháp cũ

Với các bài toán về hình vuông hiện nay xuất hiện rất nhiều trong các bàitập, đề thi vì đơn giản nó có tính đối xứng cao nên sẽ xuất hiện được nhiều tínhchất ẩn trong nó Người ra đề có thể xuất phát từ tính chất đó dễ dàng ra một bàitoán khó cho học sinh Mà điều này như đã nói ở trên việc phát hiện và chứngminh tính chất không hề dễ dàng

Khi thực hiện phương pháp cũ, học sinh bắt buộc phải thực hiện các bướcsau:

Bước 1: vẽ hình (chính xác)

Bước 2:

+ Phân tích đề bài - dữ kiện, định hướng lời giải;

+ Phán đoán tính chất: có sẵn (nhìn thấy) hoặc phải dựng thêm hình (như

ví dụ trên);

Bước 3: chứng minh tính chất (bước này là khó nhất) Ở bước này học sinh phải

thuần thục các phương pháp, công cụ đã nêu ở trên;

Bước 4: tiến hình giải toán theo tính chất đã chứng minh;

Bước 5: loại nghiệm, kết luận.

Qua đó, trên thực tế dạy học chúng tôi thấy, trong hình vuông đôi khi việclàm theo các bước thuần túy như trên tạo ra rất nhiều khó khăn cho các em, nhất

là ở bước 2, bước có tính chất quyết định cho bài toán Đôi lúc các em nản vàbài toán không được giải quyết

2 Những giải pháp mới và yêu điểm của giải pháp mới

2.1 Những nội dung cơ bản của giải pháp mới

Thay vì gắn hệ trục vào hình của đề bài, ta sẽ dựng một hình vuông đồngdạng với hình đã cho Hình mới này sẽ được tọa độ hóa cụ thể, ta gọi nó là hình

cơ sở

Do đó ta giả sử hình vuông ABCD  A’B’C’D’ Khi đó ta có tỉ số đồng

Ví dụ 1: (khối A - 2012) Cho hình vuông ABCD, M 11 1;

A ' B ' d M ', A ' N ' , từ đó suy ra

độ dài cạnh hình vuông

Dựa vào giả thiết ban đầu ta tìm được điểm A một cách nhanh chóng

Lời giải:

Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1 Gắn vào hệ trục tọa độ

và tọa độ các điểm như hình vẽ

x y

N' 1

3;0

 

M' 1;12

 

B'(1;1) A'(0;1)

Phương trình A’N’: 3x + y - 1 = 0 Suy rad M ', A ' N '  5

Do hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng nên ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng

với nhau theo tỉ số k =  

d M, AN AB

2.2 Những ưu điểm của giải pháp mới

Giải pháp mới giúp học sinh giảm bớt gánh nặng phải phán đoán, tìm tòitính chất và chứng minh nó Điều này như đã nói ở trên là rất khó khăn, khôngphải học sinh nào cũng thực hiện được

Nếu phải chứng minh tính chất ở bước 2 ta hoàn toàn có thể áp dụng

phương pháp mới để chúng minh một cách nhanh chóng

Khi tiếp cận phương pháp mới học sinh dễ dàng tự chủ động tìm tòi lờigiải độc lập và không máy móc dựa vào việc chứng minh các tính chất một cáchkhó khăn;

Ở ví dụ nêu trên: để giảm tải bớt những khó khăn trong việc tìm ra điểm

H, phán đoán tính chất vuông góc, ta chuyển bài toán này về việc tìm ra độ dàicạnh của hình vuông để tìm ra điểm A theo yêu cầu bài toán Cụ thể, khi đã biết

độ dài hình vuông, ta suy ra AM và suy ra điểm A một cách nhanh chóng vàkhông mất thời gian tìm hiểu tính chất

IV HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI DỰ KIẾN ĐẠT ĐƯỢC

1 Hiệu quả kinh tế

Học sinh không phải sử dụng nhiều tài liệu, kết hợp nhiều phươp pháp,không mất quá nhiều thời gian để giải quyết một bài toán về hình vuông Từ đó

áp lực về kinh tế không còn là vấn đề quan trọng

Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tiếp cận một cách nhanh chóng,không mất nhiều thời gian, công sức Giúp học giảm được thời gian đầu tư choviệc học thêm tràn lan như hiện nay

2 Hiệu quả xã hội

Sáng kiến mang tính thực tiễn cao, kiến thức phù hợp cho học sinh Trungbình khá, khá và giỏi Phù hợp cho giáo viên tham khảo và áp dụng vào thực tếgiảng dạy

Giúp giải quyết nhanh chóng các bài toán về hình vuông trong các bài thiTHPT quốc gia nhưng năm gần đây;

Đề tài đã được trải qua thực tế giảng dạy của nhóm tác giả, của đồng môntrường THPT Nho Quan B trong việc ôn thi THPT Quốc gia và ôn thi học sinhgiỏi bước đầu đạt hiệu quả cao;

V ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Đề tài mà nhóm tác giả trình bày dễ dàng áp dụng trong thực tế, phù hợpvới giáo viên và học sinh THPT

Kiến thức của đề tài nằm hoàn toàn trong chương trình hình học lớp 10,đầu năm lớp 11 nên dễ dàng cho học sinh tiếp cận, giải quyết vến đề Phù hợpvới nhiều đối tượng.

VI NỘI DUNG CỦA GIẢI PHÁP

Phần A: Kiến thức liên quan trong đề tài

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, SGK hình học lớp 10 hiện hành;Phép dời hình và phép đồng dạng, chương I SGK hình học 11 hiện hành

Phần B: Một số nguyên tắc cơ bản trong quá trình tìm lời giải các bài toán

1 Hướng nhận định ban đầu:

Dựa vào giả thiết bài toán trong hình vuông, phân tích tìm mối liên hệgiữa các yếu tố đã biết

Xác định các điểm cố định (hay không cố định) ở vị trí đặc biệt (haykhông đặc biệt), tìm yếu tố khoảng cách, góc có sẵn (hoặc tính toán đơn giản)

2 Nguyên tắc thực hiện

Vẽ mô tả hình học giả thiết

Xét hình vuông cơ sở (có tọa độ cố định), hình vuông này luôn đồng dạngvới hình vuông trong đề bài Tìm các mối quan hệ về góc, khoảng cách và xâydựng cách giải cụ thể

Bài toán vectơ: tích vô hướng, góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ

Phần D: Mô tả quá trình thực hiện nội dung xây dựng hoạt động học tập của học sinh trong các bài toán hình giải tích gắn với các nội dung hình học.

Bước 1: vẽ hình

Bước 2: phân tích hình vẽ, tìm yếu tố: khoảng cách từ điểm đến đường thẳng,

khoảng cách giữa hai điểm, góc giữa hai đường thẳng,…

Bước 3: Xây dựng hình vuông cơ sở (có tọa độ cụ thể) đồng dạng với hình

vuông đã cho Các điểm biến thành điểm tương ứng trên hình vuông cơ sở

Bước 4: Tìm tỉ số đồng dạng hoặc xác định góc giữa hai đường thẳng (quy về

góc giữa hai vectơ)

Bước 5: Chuyển về bài toán ban đầu, giải toán.

Phần E: MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

1 Hình vuông có các điểm trên hình xác định rõ tỉ lệ

Ta tạm gọi các hình vuông có các điểm nằm trên các cạnh có vị trí cụ thể

và có tỉ lệ cho trước.

Ví dụ 2 Cho hình vuông ABCD có A(1;1), điểm M thuộc CD sao cho DM =

2CM Biết phương trình cạnh BM: x + 3y - 19 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C của hìnhvuông biết C thuộc d: x - y = 0

Phân tích:

Bài toán cho điểm A và điểm M có tỉ lệ nằm trên CD và phương trình

BM Dó đó ta hoàn toàn có thể tính khoảng cách từ A đến BM, khi đó bằng cáchxét hình vuông cơ sở A’B’C’D’ đồng dạng với hình vuông đã cho ta sẽ tìm đượccạnh của hình vuông

Bài giải:

Ta có: d A, BM  15

10

Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1 Gắn vào hệ trục tọa độ và tọa

độ các điểm như hình vẽ

x y

M

B A

Phương trình B’M’: 3x - y - 2 = 0 Suy ra: d A ', B'M '  3

5 AB 5A 'B' 5 AC 5 2

A 'B'd A ', B'M '      Khi đó gọi C(c,c) d : x y 0   Mà AC = 5 2 c 4

Bình luận: đây là bài toán mà điểm M thuộc CD có tỉ lệ cho trước, biết điểm và

đường thẳng cố định cho trước

Ví dụ 3 (Nho Quan B - 2016) Trong hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi

M đối xứng với B qua C Từ D, C kẻ các đường vuông góc với AM lần lượt cắt

AM tại P và Q Biết Q(-1; 0), đường thẳng đi qua P và tâm I của hình vuông cóphương trình d: x - y - 3 = 0 và điểm P có hoành độ dương Tìm tọa độ các đỉnhcủa hình vuông

Phân tích:

Hướng 1: giả thiết cho đường thẳng PI với P có vị trí cố định, I đặc biệt

và điểm Q cố định cho trước Do đó có thể tính được khoảng cách từ Q đến PI.Nhưng nếu xét hình vuông cơ sở liệu rằng có tìm được P’ và Q’ không? Câu trảlời là có, vì có thể lập được phương trình A’M’, tìm được hình chiếu của C’ vàD’ lần lượt là Q’ và P’ trên A’M’ Do đó tính được khoảng cách từ Q’ đến P’I’.Cuối cùng là tìm được tỉ số đồng dạng và tìm được độ dài PQ dựa vào tỉ số đồngdạng

Hướng 2: quan sát thấy PI chính là trung trực của DQ Khi đó ta hoàn

toàn có thể chứng minh điều này từ hình vuông cơ sở

Bài giải 1: (theo hướng 1)

Ta có d Q,PI  4

2

Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1 Gắn vào hệ trục tọa độ và tọa

độ các điểm như hình vẽ

x

y

Q P

M C

D

B A

Q' P'

I' 1

2;

1 2

 

M'(2;0) D'(0;0) C'(1;0)

B'(1;1) A'(0;1)

Phương trình A’M’: x + 2y - 2 = 0 Đường thẳng qua D’ và vuông góc với

A’M’: 2x - y = 0 Khi đó P’ là giao điểm của A’M’ và đường thẳng trên, có tọa

độ là nghiệm của hệ:

2 x

Đường thẳng qua C’ và vuông góc với A’M’ cắt A’M’ tại Q’ có phương trình: 2x - y - 2 = 0 Suy ra Q’ 6 2;

2 5 AB 2 5A'B' 2 5

Dễ dàng tính được PQ = 3 2  P(3;0) Từ đó ta tìm được M(-5;0)

Tiếp tục ta tìm được A(5;0), B(1;2), C(-1;-2), D(3;-4)

Bài giải 2: (theo hướng 2)

Bài toán xoay quanh 3 điểm P, I và Q Như vậy hoàn toàn cho ta một gợiý: phải đi tìm mối liên hệ giữa 3 điểm này, có thể là quan hệ vuông góc, có thể

là quan hệ tạo góc,…

Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1 Gắn vào hệ trục tọa độ

và tọa độ các điểm như hình vẽ

Phương trình A’M’: x + 2y - 2 = 0 Đường thẳng qua D’ và vuông góc với

A’M’: 2x - y = 0 Khi đó P’ là giao điểm của A’M’ và đường thẳng trên, có tọa

độ là nghiệm của hệ:

2 x

P ' ;

y 5

  nên P’I’ là đường trung trực của D’Q’

Do hai hình vuông bất kỳ luôn đồng dạng nên ta suy ra PI là đường trung trực của DP

Từ đó dễ dàng viết được phương trình DQ, tìm ra giao điểm J = DQ PI Suy rađiểm D(3;-4)

Mặt khác PD.PQ 0     P(3;0)

, suy ra điểm M(-5; 0), từ đó suy ra C(-1;-2) Tiếp tục ta tìm được các điểm còn lại một cách dễ dàng

Bình luận: Như vậy qua ví dụ 2 này ta có thể thấy việc sử dụn tính chất của

phép đồng dạng với nhận xét hai hình vuông bất kỳ luôn đồng dạng giúp ta giảiquyết bài toán một cách nhanh chóng Ngoài ra ta có thể dùng hình vuông cơ sở

để chứng minh tính vuông góc, xác định góc của hai đường

Ví dụ 4: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, đỉnh A(-1;2) Gọi N

là trung điểm của AD, điểm H 19; 8

Phân tích: ta suy luận bài toán theo hai hướng như sau

Hướng 1: Rõ ràng bài toán cho biết điểm cố định A và H là hình chiếu của

B lên CN, N cho trước vị trí trung điểm AD Như vậy nếu lầm bì toán theo cáchhình vuông cơ sở A’B’C’D’ đồng dạng với ABCD thì ta hoàn toàn có thể tìmđược H’ Do đó tính được A’H’ và tìm được tỉ số đồng dạng Suy ra độ dài cạnh

và tính được AM, tìm ra điểm M

Hướng 2: ta thấy bài toán xoay quanh 3 điểm A, H, M và bằng trực quan

thấy AH vuông góc với HM Ta đi chứng minh điều này bằng hình vuông cơ sởA’B’C’D’ đồng dạng với hình vuông đã cho ABCD

 

B A

M' 1;12

 

D'(0;0) C'(1;0)

B'(1;1) A'(0;1)

Lúc này ta có 2 hướng giải bài toán:

Hướng 1: tính độ dài AH = 6, A’H’ = 1

Do hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng nên ABCD và A’B’C’D’ đồng dạngvới nhau nên suy ra tỉ số đồng dạng k = AB AH 6 AB 6

A 'B' A 'H '  Suy ra: AM  AB 2  BM 2  3 5

Hướng 2: Để ý thấy bài toán xoay quanh 3 điểm H, A, M nên ta xét:

Ví dụ 5 Trong hệ trục Oxy cho hình vuông ABCD, có điểm N(1; 2) là trung

điểm BC, trung tuyến kẻ từ A của tam giác AND có phương trình d: 5x - y + 1 =

0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông

Phân tích:

Giả thiết cho điểm N cố định có vị trí cho trước, đường trung tuyến kẻ từ

A của tam giác AND cho trước Vậy ta có thể tính khoảng cách từ N đến đườngtrung tuyến này Trong hình vuông cơ sở ta cũng viết được đường trung tuyếncủa tam giác A’N’D’ một cách dễ dàng, do đó cũng tính được khoảng cách từN’ đến đường trung tuyến này

độ các điểm như hình vẽ

x y

d

N' 1;12

 

M

B A

D'(0;0) C'(1;0)

B'(1;1) A'(0;1)

2 Vì A thuộc d nên A(a, 5a + 1), từ đó có phương trình AN =10

2 Tìm được A

Từ đó tìm được tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông

Ví dụ 6 Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi F là điểm trên

cạnh AB thỏa mãn: 7BF = 5FA, đường thẳng đi qua trung điểm E của cạnh AD

và trọng tâm G của tam giác ABC có phương trình là 11x - 7y + 6 = 0, F

E

D C

A B

I'

J'

L' F'(5;0)

E'(12;6) G'(4;4)

D'(12;12) C'(0;12)

B'(0;0) A'(12;0)I

Ngoài ra với phương pháp xét hình vuông cơ sở này ta có thể tìm được góc, chứng minh được vuông góc, chỉ ra đường trung trực, phân giác một cách

dễ dàng.

2 Hình vuông có các điểm trên hình không xác định rõ tỉ lệ

Với hình vuông dạng này, việc tính toán có phức tạp hơn vì một số điểmkhông cố định ta phải xác định tọa độ các điểm này bằng một số thực chưa xácđịnh Từ đó ta tiếp tục khai thác dữ kiện để tìm ra khoảng cách, góc hay mốitương quan cần thiết khác Ta xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 7 Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, có C(1; -1), N 1;7

2

nằm trên AD, M thuộc AB sao cho AN + AM + MN = 2AB Điểm H1  5;1

là hình chiếu của B lên MN Tìm tọa độ điểm B

M'

M

B A

A'(0;0) B'(1;0)

C'(1;1) D'(0;1)

M ' C ' N ' 45

Ví dụ 8: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, có điểm C thuộc

đường x + 2y - 6 = 0 Điểm M ( 1; 1 ) thuộc canh BD Hình chiếu của M lên AB,

AD đều nằm trên đường thẳng x + y - 1 = 0 Tìm tọa độ điểm C

Phân tích:

Gọi F, G lần lượt là hình chiếu của M lên AB, AD

Bài toán xoay quanh các điểm C, M, G và F Xây dựng hình vuông cơ sở

ta dê dàng suy ra CM vuông góc với GF

Bài giải:

Gọi F, G lần lượt là hình chiếu của M lên AB, AD

Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1 Gắn vào hệ trục tọa độ

và tọa độ các điểm như hình vẽ.M’(a ; a), F’ (a; 1) , G’ ( 0; a)

Ta có: C'M '               a 1; a ;G 'F'                  a;1 a                               C'M ' G 'F' 

hay suy ra CM  GF

C thuộc đường thẳng x + 2y - 6 = 0 nên gọi C(6-2t; t) Vì CM  GF

d

                                                            

Bình luận: đối với bài toán này việc xác định độ dài cạnh là rất khó khăn vì

vướng tham số của các điểm không cố định

Ví dụ 9: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, hai điểm E, F tương

ứng thuộc hai cạnh AD và AB sao cho AE = AF Gọi H là chân đường cao hạ từ

A xuống BE CH cắt AD tại M Tính tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết

Bài toán xoay quanh 3 điểm F, M và C Bằng cách dựng hình vuông cơ sở

ta suy ra được MF vuông góc với FC

Bài giải: