TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỪ MỘT SỐ CHUYÊN GIA VIỆT NAM

Cho tứ giác toàn phần ABCDEF có ABCD nội tiếp.. Bổ đề được chứng minh.. Chứng minh rằng I là trung điểm MN.. Cho tứ giác ABCD cố định có hai đường chéo AC, BD cắt nhau ở P. Trung[r]

PHẦN 1 THẦY NGUYỄN MINH HÀ Bài toán 1 Cho tam giác không cân ABC, O, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực

tâm A1, B1, C1 theo thứ tự là trung điểm của AH, BH, CH A2, B2, C2 theo thứ tự là điểm đối xứng của H qua trung điểm của OA1, OB1, OC1 Chứng minh rằng các đường tròn (OA1A2), (OB1B2), (OC1C2) cùng đi qua một điểm thuộc đường tròn Euler của tam giác ABC

Lời giải Gọi (N) là đường tròn Euler của tam giác ABC; S là giao điểm thứ hai của (OA1A2), (OB1B2) Dễ thấy OHA1A2, OHB1B2, OHC1C2 là các hình bình hành

Điều đó có nghĩa là S thuộc (N) (1) Vậy, chú ý rằng B1A / /1 AB và BACH, ta có

(SC , SO) (SC , SA ) (SA , SO) (B C , B A ) (A A , A O) (mod )

(BC, BA) (OH, AH) (AH, CH) (OH, AH) (OH, C H) (C C , C O) (mod ).

Bài toán 2 Cho tam giác ABC (K) là đường tròn đi qua B, C và không đi qua A E, F theo thứ

tự là giao điểm thứ hai của (K) và CA, AB H là giao điểm của BF và CE Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KEF thuộc OH

Lời giải

Gọi P là giao điểm của BC và EF; Q là giao điểm thứ hai của AP và (O); L là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KEF; M, N theo thứ tự là trung điểm của EC, FB; X, Y, Z theo thứ tự là giao điểm thứ hai của HQ, HB, HC và (O) Dễ thấy PA.PQPB.PCPE.PF.

Điều đó có nghĩa là A, Q, E, F cùng thuộc một đường tròn (1)

Do đó các tam giác QEC, QFB đồng dạng cùng hướng (kết quả quen thuộc)

S N

A

B

C

Từ đó, chú ý rằng M, N theo thứ tự là trung điểm của EC, FB, suy ra các tam giác QEM, QFN đồng dạng cùng hướng

Do đó (MA, MQ)(MF, MQ)(NE, NQ)  (NA, NQ) (mod )

Điều đó có ngghĩa là A, Q, M, N cùng thuộc một đường tròn

Từ (1) và (2), chú ý rằng KMAKNA 90 , suy ra A, K, Q, M, N cùng thuộc đường tròn đường kính AK Do đó XQAKQA 90  (3)

Áp dụng định lí Brocard cho tứ giác BCEF, ta có KH AP (4)

Từ (3) và (4) suy ra K, H, Q thẳng hàng và KHQAP Dễ thấy AOEF (5)

Dễ thấy (YZ, EF)(YZ,YB) (EB, EF) (CZ, CB) (CB, CF) (CZ, CF)  0(mod ).

Từ (8) và (9) suy ra hai tam giác XYZ, KEF đồng dạng cùng hướng Kết hợp với (6) suy ra các

tam giác XYZ, KEF có các cạnh tương ứng song song và HYEZF.

Nói cách khác các tam giác XYZ, KEF là ảnh của nhau qua một phép vị tự có tâm là H Từ đó, chú ý rằng O, L theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp các tam giác XYZ, KEF, suy ra H, O, L thẳng hàng Điều đó có nghĩa là L thuộc OH

Bài toán 3 Cho tam giác ABC và hai điểm đằng giác I, J M, N theo thứ tự là trung điểm của BC,

AJ D, E, F theo thứ tự là hình chiếu của I trên BC, CA, AB P, Q theo thứ tự là giao điểm của IE,

M N

P

Q

E

K O

A

B

C F

Gọi X, Y theo thứ tự là giao điểm của BJ, CJ và AC, AB; Z, T theo thứ tự là trung điểm của XY

và CY; H, K theo thứ tự là hình chiếu của J trên AB, AC Theo kết quả về đường thẳng Gauss,

M, N, Z thẳng hàng (1)

Chú ý rằng B, D, I, F cùng thuộc một đường tròn; I, J là hai điểm đẳng giác của tam giác ABC;

C, D, I, E cùng thuộc một đường tròn, ta có

(DP, DI ) (DP, DB) (DB, DI ) (DF, DB) (FB, FI ) (mod ) (IF, IB) (BA, IF) (BA, BI ) (BJ, BC) (BX , BC)(mod );

(IP, ID)(IE, ID)(CE, CD)(CX , CB) (mod ).

Do đó các tam giác DPI, BXC đồng dạng cùng hướng

Tương tự các tam giác DQI, CYB đồng dạng cùng hướng

Từ đó, chú ý rằng M, Z, T theo thứ tự là trung điểm của BC, XY, CY;

IP IP ID CX BC CX TZ

IQ ID IQ  CB BY  BY  TM

22

(IP, IQ) (IP, ID) (ID, IQ) (CX , CB) (BC, BY ) (mod ) (CX , CB) (CB,YB) (CX ,YB) (TZ, TM) (mod ).

Bài toán 4 Về phía ngoài tam giác ABC dựng các hình chữ nhật BCXY, CAZT, ABUV sao cho

ZV / / AB S là giao điểm của YZ và XV Chứng minh rằng ASBC.

Lời giải

Ta cần có một bổ đề

V K H

T

Z Y

X

M

N

Q P

D

E F

J A

I

Bổ đề Về phía ngoài tam giác ABC dựng các hình chữ nhật CAZT, ABUV sao cho ZV / / AB. K

là giao điểm của BZ và CV Khi đó AKBC.

Chứng minh

Gọi (M), (N) theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp các hình chữ nhật CAZT, ABUV; L là giao điểm thứ hai của (M) và (N); E, F theo thứ tự là giao điểm thứ hai của (M), (N) và CV, BZ; H là giao

điểm của ZE và VF

Vì M, N theo thứ tự là trung điểm của CZ, BV nên MN / / BC / /ZV (1)

Dễ thấy H là trực tâm của tam giác KZV

Trở lại bài toán,

Gọi K là giao điểm của BZ và CV; W là giao điểm của BU và CT; P là giao điểm của AZ và đường thẳng qua W song song với AC; Q là giao điểm của AV và đường thẳng qua W song song với AB; E, F theo thứ tự là giao điểm của BP, CQ và ZV

V

T

F E

M N

K H A

Z

Bài toán 5 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) E là giao điểm của AB và CD F là giao

điểm của AD và CB K là giao điểm của các đường phân giác trong của  AED, AFB. M, N, P, Q

theo thứ tự là hình chiếu của K trên AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng OK, MP, NQ đồng quy

Lời giải

Ta cần có hai bổ đề

Bổ đề 1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) E là giao điểm của AB và CD Gọi P, Q theo

thứ tự là giao điểm của BC, EF và phân giác trong trong của góc AED S là giao điểm của đường thẳng qua P vuông góc với AD và đường thẳng qua Q vuông góc với CB Khi đó O, E, S thẳng hàng

Chứng minh

Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của O trên AD, CB; H, K theo thứ tự là hình chiếu của E trên

AD, CB; P, Q theo thứ tự là hình chiếu của S trên AD, CB

Dễ thấy các tam giác EAD, ECB đồng dạng

Từ đó, chú ý rằng M, N theo thứ tự là trung điểm của AD, CB; H, K theo thứ tự là hình chiếu của

E trên AD, CB; P, Q theo thứ tự là chân đường phân giác kẻ từ E của các tam giác EAD, ECB và

OM / / KP / / AR; ON / / KQ / / OS, suy ra O, K, A thẳng hàng

K

F

Q E

P

W S

Bổ đề 2 Cho tam giác ABC và điểm O không thuộc BC, CA, AB Các điểm M, N theo thứ tự

thuộc AB, AC Các điểm P, Q theo thứ tự thuộc BN, CM sao cho OP, OQ theo thứ tự song song với AB, AC Các điểm R, S theo thứ tự thuộc AC, AB sao cho MR, NS theo thứ tự song song với

AP, AQ T là giao điểm của BR, CS Khi đó A, O, T thẳng hàng

Chứng minh

Gọi W, U, V theo thứ tự là giao điểm của AO, BO, CO và BC, CA, AB

Dễ thấy các điều kiện sau tương đương

K S P

Q E

O

B A

D C

W

T S R

Q P

B

A

C

O M

N

9   1 1 (vì AW, BU, CV đồng quy (tại O); OW, BV, CU đồng quy (tại A))

Trở lại giải bài toán 5

Gọi L là giao điểm của MP và NQ; X, Z theo thứ tự là giao điểm của FK và AB, CD; Y, T theo thứ tự là giao điểm của EK và AD, CB; U là giao điểm của đường thẳng qua X vuông góc với AB

và đường thẳng qua Z vuông góc với CD; V là giao điểm của đường thẳng qua Y vuông góc với

BC và đường thẳng qua T vuông góc với DA Theo bổ đề 1, các bộ ba điểm F, O, U và E, O, V

AFE AEF CFE CEF AFE AEF CFE CEF

FAE FCE BAD BCD

.

V

Y T

D

C B

Do đó XZ EK ;YT FK (1).

Vì KEMKEP; KMKP và KFNKFQ; KN KQ nên EM EP; FNFQ.

Do đó MPEK ; NQFK (2)

Từ (1) và (2) suy ra LM / / KF ; LQ / / KE (3)

Vì XUAB; MK AB và TVAD; QK AD nên XU / / MK ;TV / / QK (4)

Từ (3), (4), áp dụng bổ đề 2 cho tam giác KFE và điểm L, suy ra O, L, K thẳng hàng

Nói cách khác OK, MP, NQ đồng quy

Bài 6 Cho tam giác ABC A1, B1, C1 theo thứ tự là tiếp điểm của các đường tròn bàng tiếp (Ia), (Ib), (Ic) và BC, CA, AB K là giao điểm của AA1, BB1, CC1 Các điiểm A2, B2, C2 theo thứ tự thuộc BC, CA, AB sao cho KA2, KB2, KC2 vuông góc với AI, BI, CI Chứng minh rằng A2, B2,

C2 cùng thuộc một đường thẳng vuông góc với IK

Lời giải

Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) theo thứ tự tiếp xúc với AC, AB tại E, F K, L

theo thứ tự là điểm đối xứng với E, F qua I S là giao điểm của BK và CL Đường thẳng đi qua S

và vuông góc với AC theo thứ tự cắt BI, AC tại M, N Đường thẳng đi qua S và vuông góc với AB theo thứ tự cắt CI, AB tại P, Q Chứng minh rằng M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn

Y

T

Z X

Q P

M N

K

I A

Chứng minh Gọi X, Z theo thứ tự là giao điểm của EK, NS và AB; Y, T theo thứ tự là giao điểm

Trở lại bài toán,

Gọi A’ B’, C’ theo thứ tự là hình chiếu của A2, B2, C2 trên IK; A3 là giao điểm của AI và KA2;

A4 là điểm đối xứng của A0 qua I; A5, A6 theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng đi qua K và vuông góc với BC và AI, BC Tương tự có B5, B6; C5, C6

Điều đó có nghĩa là A2, B2, C2 cùng thuộc một đường thẳng vuông góc với IK

Bài 8 Về phía ngoài tam giác ABC, dựng các tam giác A1BC, B1CA, C1AB theo thứ tự vuông cân tại A1, B1, C1 A2, B2, C2 theo thứ tự là ảnh đối xứng của A, B, C qua B1C1, C1A1, A1B1 Chứng minh rằng đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, A2B2C2 đi qua trực tâm của tam giác A1B1C1

A

Lời giải

Ta cần có một bổ đề

Bổ đề Về phía ngoài tam giác ABC dựng các tam giác A1BC, B1CA, C1AB theo thứ tự vuông cân tại A1, B1, C1 Khi đó AA1, BB1, CC1 đồng quy tại trực tâm H1 của tam giác A1B1C1

Trở lại bài toán,

Gọi (O2) là đường tròn ngoại tiếp của tam giác A2B2C2; A3, B3, C3 theo thứ tự là giao điểm thứ hai của AA1, BB1, CC1 và (O2)

Theo bổ đề trên, AA1, BB1, CC1 đồng quy tại H1

V biến tam giác A3B3C3 thành tam giác ABC

PHẦN 2 THẦY TRẦN QUANG HÙNG Bài 1 Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp trong đường tròn ( )O với các đường cao

AD BE CF và trực tâm H Giả sử DEHC Q DF, HBR Tiếp tuyến của ( )O ở , B C

cắt nhau tại T. Chứng minh rằng HT chia đôi RQ

Lời giải

Gọi AP là đường kính của ( )O Giả sử PCABN PB, AC M thì P là trực tâm của tam

giác AMN. Do đó, dễ thấy rằng T là trung điểm MN Dựng hình bình hành BCNK và BCLM

Ta thấy BE CN , vì cùng vuông góc với AC nên K B E, , thẳng hàng Tương tự thì , ,L C F cũng

thẳng hàng Ta được MLNK là hình bình hành nên T cũng là trung điểm của KL

Gọi S là điểm đối xứng với O qua BC khi đó , S là tâm ngoại tiếp (BHC )

Mặt khác RH RB RD RF (tứ giác BDHF nội tiếp) nên R có cùng phương tích đến các đừơng

tròn(DEF),(BHC Tương tự với điểm ) Q Suy ra RQ là trục đẳng phương của 2 đường tròn này

Hơn nữa, AH OS AH OS,  nên AHSO là hình bình hành và AS đi qua trung điểm OH cũng ,

là tâm của (DEF Từ đó ta thấy ) RQ AS Ta lại có

OA OT  OT  CT  MT

Điều này cho thấy hai tam giác OAS và MTL đồng dạng, suy ra AS TL nên QR KL Mà HT

đi qua trung điểm KL nên theo bổ đề hình thang thì nó cũng đi qua trung điểm của QR

Bài 2 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn ( )I có M N P Q là tiếp điểm của ( ), , , I lên các

cạnh AB BC CD DA Gọi , , , K L, lần lượt là tâm ngoại tiếp của các tam giác AMN APQ Gọi R ,

là giao điểm của BD KL, và J là giao điểm của AI MQ Chứng minh rằng , RARJ

Lời giải

Gọi ,S T là trung điểm của AM AQ Khi đó, , KS là trung trực của AM và LT là trung trực của

AQ Suy ra AI SK TL đồng quy tại tâm ngoại tiếp , , G của tam giác AMQ

Chú ý rằng BI là trung trực của MN nên KBI; tương tự thì LDI

Xét hai tam giác IBD và GST có BS DT IG đồng quy tại , , A nên theo định lý Desargues thì các điểm , ,T S L thẳng hàng

Do đó, R thuộc trung trực của đoạn AJ nên RARJ

Bài 3 Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp ( )O và một đường tròn ( ) cố định qua ,A O

cắt AB AC ở , F E, Giả sử OE OF cắt ( ), O ở M N, Gọi P là điểm trên cung BC của ( ).O

Đường thẳng AP( ) L và OL cắt ( )O ở G H (điểm , G N cùng phía so với , AP)

Suy ra M là trung điểm cung CD của (O) Do đó BM là phân giác góc B của tam giác BCD

Do đó tứ giác DNTM điều hòa và T là điểm cố định Ta có đpcm

Bài 4 Cho tam giác ABC cân tại A có P nằm trong tam giác sao cho BPC180  A Các đường thẳng PB PC lần lượt cắt , CA AB tại , E F, Gọi I J, lần lượt là tâm bàng tiếp ứng với đỉnh ,B C của tam giác ABE và ACF Gọi K là tâm ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh rằng KI KJ

Lời giải

Trước hết, ta sẽ chứng minh bổ đề sau:

Cho tứ giác toàn phần ABCDEF có ABCD nội tiếp Gọi M N, lần lượt là trung điểm AC BD,

Khi đó, phân giác trong của góc E F, cùng đi qua một điểm thuộc MN.

M

F

E O A

P

Chứng minh Ta có: EACEBD g g( ) và M N, lần lượt là trung điểm của hai cạnh tương ứng nên ta cũng có EMCEND g g( ) Suy ra EM EN, đẳng giác trong góc E và phân giác

góc AEB,MEN trùng nhau

Giả sử I là giao điểm của phân giác trên và MN thì

Suy ra I I  hay các phân giác góc E F, và MN đồng quy Bổ đề được chứng minh

Trở lại bài toán,

Do BPC 180  A nên EPF EAF 180, tức là AEPF nội tiếp hay P( ).K

Gọi G là điểm đối xứng với A qua BC Vì

180

Mặt khác GBGC nên PG là phân giác của BPC và EPF

Dễ thấy IJ chính là phân giác ngoài của EAF nên nó đi qua trung điểm cung EF chứa A của ( )K , mà PG cũng đi qua trung điểm đó (vì nó là phân giác EPF) nên các đường thẳng PG IJ ,

cắt nhau tại R thuộc ( ).K

Gọi S là trung điểm AP và L là giao điểm của BI CJ Khi đó, theo bổ đề trên cho tứ giác toàn ,phần AEPFBC thì L nằm trên đường thẳng nối S và trung điểm EF

Đây cũng chính là đường thẳng Gauss của tứ giác toàn phần nói trên nên SL đi qua trung điểm

M của

I

N

M E

F

A

B

C D

Do IJ BC (cùng vuông góc với phân giác trong của BAC) và SL đi qua trung điểm của BC

nên nó cũng đi qua trung điểm N của IJ theo bổ đề hình thang

Hơn nữa, MS là đường trung bình của tam giác APG nên MS PG và cũng đi qua trung điểm

N của AR Vì AR là dây cung của ( )K nên KN  AR, mà N cũng là trung điểm IJ nên tam giác KIJ cân tại K Vậy ta có KI KJ, đpcm

Bài 5 Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp ( )I tiếp xúc AC AB lần lượt tại , E F, Gọi ,

G H theo thứ tự là các điểm đối xứng với E F, qua I Giả sử GH cắt BC tại P Các điểm

,

M N thuộc IP sao cho CM vuông góc với IB và BN vuông góc với IC Chứng minh rằng I

là trung điểm MN

Lời giải

Trước hết, ta có chứng minh bổ đề sau: Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp ( )I tiếp xúc

với BC tại D Kẻ đường kính DK của ( )I và gọi M là trung điểm BC Khi đó IM  AK

N

L S R

E M

K

D

I

C B

A

Trở lại bài toán,

Gọi D là tiếp điểm của ( )I lên BC và Q K lần lượt là các điểm đối xứng với , D P, qua tâm I

Dễ dàng thấy rằng K( )I và do PD tiếp xúc với ( )I nên ta có QK cũng tiếp xúc với ( ) I

Cũng do tính đối xứng Vì EF đối xứng với GH qua I và PGH nên QEF

Giả sử AK cắt lại ( )I tại L thì rõ ràng tứ giác KEFL điều hòa (vì AE AF là các tiếp tuyến của ,( )I ), suy ra EF và tiếp tuyến tại K L, đồng quy

Từ đó ta cũng có QL tiếp xúc với ( ) I và ALIP

Gọi R là trung điểm BC Áp dụng bổ đề trên, ta có

IR AK nên IRIP Tiếp theo, giả sử BN CM cắt EF tại ,, S T thì bằng biến đổi góc, dễ dàng có được:

90

     Suy ra ,T S thuộc đường tròn đường kính BC

Đường thẳng qua tâm R của vuông góc với IR cắt CT BS lần lượt tại , M N, nên theo định lý con bướm, ta có được IM IN

Bài toán được chứng minh

Bài 6 Cho tứ giác ABCD cố định có hai đường chéo AC, BD cắt nhau ở P Trung trực AC, BD

cắt nhau tại K Đường thẳng d thay đổi qua K cắt (PAB) ở Q, R Chứng minh rằng trực tâm tam giác PQR luôn thuộc một đường tròn cố định khi d thay đổi

R L

Q K

N

M S

Bài 7 Cho tam giác ABC không vuông tại A, điểm D cố định trên BC Gọi P là điểm di chuyển

nằm trong tam giác ABC Gọi B1, C1 là hình chiếu của P lên các cạnh AC, AB Giả sử DB1, DC1

cắt AB, AC ở C2, B2 và (AB1C1) cắt (AB2C2) ở Q Chứng minh rằng PQ luôn đi qua điểm cố định khi P thay đổi