MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI

Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn các điều kiện của đề bài.. với mọi số thực dương [r]

PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP

SỐ THỰC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2019

MỞ ĐẦU 1

1.1 Ánh xạ 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Đơn ánh 3

1.1.3 Toàn ánh 3

1.1.4 Song ánh 3

1.1.5 Tích ánh xạ 3

1.1.6 Ánh xạ ngược 4

1.1.7 Ảnh của một tập hợp 4

1.2 Hàm số 4

1.2.1 Định nghĩa 4

1.2.2 Hàm số chẵn và hàm số lẻ 4

1.2.3 Hàm số cộng tính và hàm số nhân tính 5

1.2.4 Hàm số đơn điệu 5

1.2.5 Hàm số liên tục 6

1.2.6 Hàm số bị chặn 6

1.3 Phương trình sai phân tuyến tính 7

1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất với hệ số hằng 7

1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng 7

1.4 Cận trên, cận dưới, cận trên đúng, cận dưới đúng, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 8

1.4.3 Cận trên đúng, cận dưới đúng 91.5 Tập trù mật 10

2.1 Giải phương trình hàm bằng phép thế 112.2 Giải phương trình hàm bằng cách sử dụng tính đơn ánh,

toàn ánh, song ánh 142.3 Giải phương trình hàm bằng phương pháp phân li biến số 172.4 Giải phương trình hàm dựa vào giá trị của đối số và giá

trị của hàm số 202.5 Giải phương trình hàm bằng cách sử dụng đẳng thức kiểu

"truy hồi" 232.6 Giải phương trình hàm trong lớp các hàm đơn điệu 312.7 Giải phương trình hàm trong lớp các hàm liên tục 362.8 Giải phương trình hàm trong lớp các hàm bị chặn 412.9 Giải phương trình hàm bằng cách sử dụng dãy hàm số 442.10 Giải phương trình hàm bằng phương pháp thêm biến 51

MỞ ĐẦU

Trong những năm qua, các bài toán về Phương trình hàm là mộttrong những thử thách lớn đối với các em học sinh trong những kì thichọn học sinh giỏi cấp quốc gia, quốc tế Trải qua quá trình học tập,nghiên cứu và công tác, tôi nhận thấy rằng các học sinh chuyên Toángặp rất nhiều khó khăn trong việc tiếp cận những bài toán về Phươngtrình hàm Có lẻ vì chúng thuộc một dạng Toán khó và hoàn toàn mới lạđối với các em Bên cạnh đó, việc giải các bài toán Phương trình hàm đòihỏi các em phải vận dụng nhiều kĩ năng, tư duy và kiến thức trong Giảitích, Đại số, Số học, Cuối cùng, các tài liệu tham khảo về Phươngtrình hàm là khá hạn chế

Với các lí do nói trên và với mong muốn tìm hiểu kĩ hơn về Phươngtrình hàm cũng như có thêm một tài liệu tham khảo cho đối tượng họcsinh chuyên Toán, tôi đã viết

"PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ THỰC".

Tài liệu gồm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này sẽ trình bày các kiến thức cơ sở sẽ được sử dụng trongChương 2 và Chương 3

Chương 2: Các phương pháp giải phương trình hàm trên tập số thực

Chương này sẽ trình bày các phương pháp hay được sử dụng để giải cácbài toán về Phương trình hàm trên tập số thực

Chương 3: Các bài toán tổng hợp

Chương này sẽ trình bày một số bài toán sử dụng tổng hợp các phươngpháp trong Chương 2 để giải

Tôi xin tỏ lòng biết ơn đến những người thân, bạn bè và các đồngnghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình hoàn thiện

tài liệu.

Sai sót là điều không thể tránh khỏi trong tài liệu này Vì thế, tôi xintrân trọng đón nhận mọi sự góp ý và nhận xét của quý bạn đọc thôngqua email của tôi là phankhoa21393@gmail.com

Đà Nẵng, tháng 6 năm 2019Phan Nguyễn Anh Khoa

1.1.2 Đơn ánh

Ánh xạ f : X → Y được gọi là đơn ánh nếu với mọi x1, x2 thuộc X

mà x1 6= x2 kéo theo f (x1) 6= f (x2), hay f (x1) = f (x2) kéo theo x1 = x2,

hay với mọi y thuộc Y có nhiều nhất một x thuộc X sao cho y = f (x).

xạ f và ánh xạ g, kí hiệu h = g ◦ f

1.1.6 Ánh xạ ngược

Ánh xạ f : X → X được xác định bởi f (x) = x với mọi x thuộc X

là ánh xạ đồng nhất của X, kí hiệu f = 1 X

Giả sử f : X → Y và g : Y → X là hai ánh xạ sao cho g ◦ f = 1 X và

f ◦ g = 1 Y Thế thì g gọi là một ánh xạ ngược của f

Ánh xạ f : X → Y có một ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là một song ánh Ta thường kí hiệu ánh xạ ngược đó là f−1

Hàm số f được gọi là hàm số lẻ trên M nếu với mọi x thuộc M kéo theo −x cũng thuộc M và f (−x) = −f (x).

1.2.3 Hàm số cộng tính và hàm số nhân tính

Xét hàm số y = f (x) có tập xác định D và tập hợp con khác rỗng

M của D.

Hàm số f được gọi là hàm cộng tính trên M nếu với mọi x, y thuộc

M kéo theo x + y cũng thuộc M và f (x + y) = f (x) + f (y).

Hàm số f được gọi là hàm nhân tính trên M nếu với mọi x, y thuộc

M kéo theo xy cũng thuộc M và f (xy) = f (x)f (y).

1.2.4 Hàm số đơn điệu

a Định nghĩa

Xét hàm số y = f (x) có tập xác định D và tập hợp con khác rỗng

M của D.

Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) trên M nếu với hai số thực x1,

x2 bất kì thuộc M thỏa mãn x1 < x2 kéo theo f (x1) ≤ f (x2)

Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) trên M nếu với hai số thực

x1, x2 bất kì thuộc M thỏa mãn x1 < x2 kéo theo f (x1) ≥ f (x2)

Hàm số f gọi là tăng thực sự trên M nếu với hai số thực x1, x2 bất

kì thuộc M thỏa mãn x1 < x2 kéo theo f (x1) < f (x2)

Hàm số f gọi là giảm thực sự trên M nếu với hai số thực x1, x2 bất

kì thuộc M thỏa mãn x1 < x2 kéo theo f (x1) < f (x2)

b Tính chất

1) Mọi hàm đơn điệu thực sự trên một khoảng đều là đơn ánh trênkhoảng đó

2) Cho f : R → R là hàm cộng tính và thỏa mãn f (x) ≥ 0 với mọi

số thực không âm x thì f là hàm tăng trên R.

3) Nếu hàm số f : R → R đơn điệu và cộng tính thì f (x) = ax với mọi số thực x (a là hằng số thực).

4) Nếu hàm số f : R+ → R+ đơn điệu và nhân tính thì f (x) = x a với mọi số thực dương x (a là hằng số thực).

1) Nếu hàm số f là đơn ánh và liên tục trên một khoảng nào đó thì

nó đơn điệu trên khoảng đó

2) Nếu hàm số f : R → R liên tục và cộng tính thì f (x) = ax với mọi số thực x (a là hằng số thực).

3) Nếu hàm số f : R+ → R+ liên tục và nhân tính thì f (x) = x a với

f được gọi là bị chặn trên D nếu tồn tại số thực dương M để |f (x)| ≤ M

với mọi số thực x thuộc M

b Tính chất

Nếu hàm số f : R → R cộng tính và bị chặn trên đoạn [a; b] thì

f (x) = cx với mọi số thực x (c là hằng số thực).

1.3 Phương trình sai phân tuyến tính

1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất với hệ số hằng

Đó là phương trình có dạng

với mọi số nguyên dương n (a là hằng số thực khác 0) Nghiệm tổng

quát của phương trình (1.1) là

u n = C(−a) n

với mọi số nguyên dương n (C là hằng số thực).

1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng

Đó là phương trình có dạng

u n+2 + au n+1 + bu n = 0 (1.2)

với mọi số nguyên dương n (a, b là các hằng số thực và b 6= 0) Khi đó,

phương trình (1.2) sẽ có phương trình đặc trưng là

Nếu phương trình (1.3) có hai nghiệm phân biệt λ1, λ2 thì phươngtrình (1.2) có nghiệm tổng quát là

u n = C1λ n1 + C2λ n2

với mọi số nguyên dương n (C1, C2 là hai hằng số thực).

Nếu phương trình (1.3) có nghiệm kép λ0 thì phương trình (1.2) cónghiệm tổng quát

u n = (C1 + C2n)λ n0

với mọi số nguyên dương n (C1, C2 là hai hằng số thực)

Nếu phương trình (1.3) có hai nghiệm phức λ1 = α − βi = r(cos Φ −

i sin Φ) và λ2 = α + βi = r(cos Φ + i sin Φ) (với i là đơn vị phức, r =

1.4 Cận trên, cận dưới, cận trên đúng, cận dưới đúng, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

1.4.1 Cận trên, cận dưới

Cho A là một tập hợp con khác rỗng của R.

Số thực a được gọi là một cận trên (hoặc số chặn trên) của tập hợp

A nếu x ≤ a với mọi số thực x thuộc A.

Số thực a được gọi là một cận dưới (hoặc số chặn dưới) của tập hợp

A nếu x ≥ a với mọi số thực x thuộc A.

Tập hợp A gọi là bị chặn trên nếu nó có một cận trên Tập hợp A gọi là bị chặn dưới nếu nó có một cận dưới Tập hợp A gọi là bị chặn

nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới

1.4.2 Phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất

Cho A là một tập hợp con khác rỗng của R.

Nếu số thực a thuộc A và a là một cận trên của A thì a gọi là phần

tử lớn nhất của A, được ký hiệu là max A Phần tử lớn nhất (nếu có) của A là duy nhất.

Nếu số thực a thuộc A và a là một cận dưới của A thì a gọi là phần

tử nhỏ nhất của A, được ký hiệu là min A Phần tử nhỏ nhất (nếu có) của A là duy nhất.

1.4.3 Cận trên đúng, cận dưới đúng

Cho A là một tập hợp con khác rỗng của R.

Nếu tập A bị chặn trên thì phần tử nhỏ nhất của tập hợp các cận trên của A gọi là cận trên đúng Nếu tập A không bị chặn trên thì ta nói cận trên đúng của A là +∞ Cận trên đúng của A là duy nhất Cận trên đúng của A được kí hiệu là sup A.

Nếu tập A bị chặn dưới thì phần tử lớn nhất của tập hợp các cận dưới của A gọi là cận dưới đúng Nếu tập A không bị chặn dưới thì ta nói cận dưới đúng của A là −∞ Cận dưới đúng của A là duy nhất Cận dưới đúng của A được kí hiệu là inf A.

Xét hàm số f : D → R và tập hợp con khác rỗng A của D Khi đó, inf f (A) được gọi là cận dưới đúng của f trên A và sup f (A) được gọi

là cận trên đúng của f trên A Cận trên đúng và cận dưới đúng của f trên A, theo thứ tự, được kí hiệu là sup

Giả sử a là một số thực Khi đó, a = inf A nếu và chỉ nếu x ≥ a với mọi số thực x thuộc A và với mọi số thực dương , tồn tại số thực x0thuộc A sao cho x0 < a + .

1.5 Tập trù mật

Một tập con A khác rỗng của R gọi là trù mật trong R nếu và chỉ nếu với mọi số thực x, tồn tại dãy số (x n ) ⊂ A sao cho lim x n = x.

Do đó, nếu A là một tập trù mật trong R thì với mọi số thực x, y

mà x < y, tồn tại số thực a thuộc A sao cho x < a < y.

Vì mỗi số thực đều là giới hạn của một dãy số hữu tỉ nên Q là mộttập trù mật trong R

CHƯƠNG 2

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM

TRÊN TẬP SỐ THỰC

2.1 Giải phương trình hàm bằng phép thế

Bài toán 1 Tìm tất cả các hàm f : R → R thỏa mãn

xf (y) + yf (x) = (x + y)f (x)f (y) (2.1)

với mọi số thực x, y.

Lời giải Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn đề bài Ta cho x = y = 1

vào (2.1) được f (1) = 0 hoặc f (1) = 1.

Nếu f (1) = 0 thì ta lại cho y = 1 vào (2.1) được f (x) = 0 với mọi số thực x.

Nếu f (1) = 1 thì ta cho y = 1 vào (2.1) được

Thử lại, hai hàm số tìm được đều thỏa mãn (2.1)

Vậy bài toán có đúng hai nghiệm hàm là f (x) = x với mọi số thực x

Bài toán 2 Tìm tất cả các hàm f : R → R thỏa mãn

với mọi số thực y Ta cho y = 0 vào (2.4) được f (0) = f (0)2, suy ra

f (0) = 0 hoặc f (0) = 1 Ta thay y bởi x trong (2.2) được

f (0) = (f (x) − x)2 (2.5)

với mọi số thực x.

Nếu f (0) = 0 thì (2.5) cho f (x) = x với mọi số thực x.

Nếu f (0) = 1 thì (2.5) cho f (x) = x + 1 hoặc f (x) = x − 1 với mọi số thực x Giả sử tồn tại số thực a mà f (a) = a − 1 Từ (2.3) và (2.4), ta

Thử lại, hai hàm số tìm được đều thỏa mãn (2.2)

Vậy bài toán có đúng hai nghiệm hàm là f (x) = x với mọi số thực x

và f (x) = x + 1 với mọi số thực x.

Bài toán 3 Tìm tất cả các hàm f : R+ → R thỏa mãn f(1) = 1

với mọi số thực dương x, y.

Lời giải Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn đề bài Đầu tiên, ta cho

x = 1 và y = 3 vào (2.6) được f (3) = 1

2 Tiếp theo, ta cho x = 1 vào(2.6) thì được

f 3y

với mọi số thực dương x Do đó, f (x) = 1

2 với mọi số thực dương x.Thử lại, hàm số tìm được thỏa mãn các điều kiện của đề bài

Vậy bài toán có nghiệm hàm duy nhất f (x) ≡ 1

2.

Bài toán 4 Tìm tất cả các hàm f : R \

(23

3.Thử lại, hàm số tìm được thỏa mãn (2.9).

Vậy bài toán có nghiệm hàm duy nhất là f (x) = 1992x(x − 1)

3x − 2 vớimọi số thực x khác 2

3.

2.2 Giải phương trình hàm bằng cách sử dụng tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh

Bài toán 5 Tìm tất cả các hàm f : R+ → R+ thỏa mãn

x2(f (x) + f (y)) = (x + y)f (yf (x)) (2.11)

với mọi số thực dương x, y.

Lời giải Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn đề bài Trong (2.11), ta thay

Từ (2.12), ta suy ra

2x21f (x1) = (x1 + x2)x2f (x2).

Dẫn đến, 2x21 − x1x2 − x2

2 = 0 hay x1 = x2 Vậy f là một đơn ánh Do

đó, khi cho x = 1 vào (2.12), ta được f (1) = 1 Ta tiếp tục cho x = 1

vào (2.11) được

1 + f (y) = (1 + y)f (y)

với mọi số thực dương y Vì vậy, f (y) = 1

y với mọi số thực dương y.

Thử lại, hàm số tìm được thỏa mãn (2.11)

Vậy bài toán có nghiệm hàm duy nhất là f (x) = 1

với mọi số thực y Vì f là toàn ánh nên với mỗi số thực x, tồn tại số thực y0 sao cho

x + a = f (y0). (2.15)

Từ (2.14) và (2.15), ta suy ra

x + a = 2a + f (x)

với mọi số thực x Do đó, f (x) = x − a với mọi số thực x.

Thử lại, hàm số tìm được thỏa mãn (2.13)

Vậy các nghiệm hàm của bài toán là f (x) = x + C với mọi số thực x (C là hằng số thực).

Bài toán 7 Tìm tất cả các hàm f : R → R thỏa mãn

với mọi số thực y Suy ra, f là một song ánh Do đó, tồn tại duy nhất

số thực a sao cho f (a) = 0 Ta lại cho x = a và y = 0 vào (2.16) được

f a2 + f (0)= 0.

Dẫn đến,

f f a2 + f (0) = f (0).

Từ (2.17), ta thu được a2+ f (0) = f (0), tức là a = 0 hay f (0) = 0 Tiếp theo, ta cho y = 0 vào (2.16) được

Thử lại, hai hàm số tìm được đều thỏa mãn (2.16)

Vậy bài toán có đúng hai nghiệm hàm là f (x) = x với mọi số thực x

và f (x) = −x với mọi số thực x.

2.3 Giải phương trình hàm bằng phương pháp phân li biến số

Bài toán 8 Tìm tất cả các hàm f : R → R thỏa mãn

(x + y)(f (x) − f (y)) = (x − y)(f (x) + f (y)) (2.19)

với mọi số thực x, y.

Lời giải Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn đề bài Ta rút gọn (2.19)

với mọi số thực x, y khác 0 Do đó, f (x) = ax với mọi số thực x khác 0 (a là hằng số thực tùy ý) Ngoài ra, khi cho x = 1 và y = 0 vào (2.19), ta được f (0) = 0 Vì vậy, f (x) = ax với mọi số thực x (a là hằng số thực).

Thử lại, các hàm số tìm được đều thỏa mãn (2.19)

Vậy bài toán có các nghiệm hàm là f (x) = ax với mọi số thực x (a

là hằng số thực)

Bài toán 9 Tìm tất cả các hàm f : R → R thỏa mãn

f (2020x − f (y)) = f (2019x) − f (y) + x (2.20)

với mọi số thực x, y.

Lời giải Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn đề bài Ta cho x = y = 0

vào (2.20) được f (−f (0)) = 0 Ta lại cho y = −f (0) vào (2.20) được

với mọi số thực x, y Khi thay y bởi 2019x trong (2.20), ta được

f (2020x − f (2019x)) = x

với mọi số thực x Do đó, f là một toàn ánh Vì vậy, với hai số thực x,

u bất kì, tồn tại số thực y0 sao cho x − u = f (y0) Do đó, từ (2.23), tasuy ra

f (u) − u = f (x) − x

với mọi số thực x, u Như vậy, f (x) = x + b với mọi số thực x (b là hằng

số thực)

Thử lại, các hàm số tìm được đều thỏa mãn (2.20)

Vậy bài toán có các nghiệm hàm là f (x) = x + b với mọi số thực x (b là hằng số thực).

Bài toán 10 Tìm tất cả các hàm f : R → R thỏa mãn

xf (y) − yf (x) = f y

x

!

(2.24)

với mọi số thực x khác 0 và mọi số thực y.

Lời giải Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn đề bài Ta cho x = 2 và

y = 0 vào (2.24) được f (0) = 0 Ta lại cho x = y = 1 vào (2.24) được

f (1) = 0 Khi chỉ cho y = 1 vào (2.24), ta được

f 1x

f y x

Thử lại, các hàm số tìm được thỏa mãn (2.24)

Vậy bài toán có các nghiệm hàm là f (x) =

Bài toán 11 Tìm tất cả các hàm f : R → R thỏa mãn

f (x + f (y)) = x + f (y) + xf (y) (2.29)

với mọi số thực x, y.

Lời giải Ta nhận thấy f (x) ≡ −1 là một nghiệm hàm của bài toán.

Giả sử tồn tại hàm số f khác hàm hằng −1 thỏa mãn đề bài Suy

ra, tồn tại số thực a sao cho f (a) 6= −1 Ta cho y = a vào (2.29) được

f (x + f (a)) = (1 + f (a))x + f (a) (2.30)

với mọi số thực x Vì vế phải của (2.30) có tập giá trị là R nên với mọi

số thực t, tồn tại số thực u mà f (u) = t Ta cho x = 0 vào (2.29) được

f (f (y)) = f (y) (2.31)

với mọi số thực y Do đó, ta cho y = u vào (2.31) được f (t) = t với mọi

số thực t.

Thử lại, hàm số tìm được không thỏa mãn (2.29)

Vậy bài toán có nghiệm hàm duy nhất f (x) ≡ −1.

Bài toán 12 Tìm tất cả các hàm f : R → R thỏa mãn

với mọi số thực x Vì vế phải của (2.33) có tập giá trị là R nên với mọi

số thực t, tồn tại hai số thực u và v sao cho t = f (u) − 2f (v) Trong (2.32), ta thay x bởi f (x) − f (y) được

Bài toán 13 Tìm tất cả các hàm f : R → R thỏa mãn

f (x − f (y)) = f (f (y)) + xf (y) + f (x) − 1 (2.38)

với mọi số thực x, y.

Lời giải Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn đề bài Đặt f (0) = a Vì

hàm không không là nghiệm hàm của phương trình đã cho nên tồn tại

số thực y0 sao cho f (y0) 6= 0 Từ (2.38), ta có

f (x − f (y0)) − f (x) = f (f (y0)) + xf (y0) − 1 (2.39)

với mọi số thực x Vì vế phải của (2.39) có tập giá trị là R nên với mọi số thực t, tồn tại hai số thực u và v sao cho t = f (u) − f (v) Trong (2.38),

ta thay x bởi f (x) được

f (f (x) − f (y)) = f (f (y)) + f (x)f (y) + f (f (x)) − 1 (2.40)

với mọi số thực x, y Trong (2.38), ta lại thay x bởi f (y) được

2 + 1 với mọi số thực x thỏa mãn (2.38).

Vậy bài toán có nghiệm hàm duy nhất f (x) = − x

với mọi số thực x Trong (2.44), ta thay x bởi x + 1 được

với mọi số thực x khác 1 Ta lại cho y = 2 vào (2.49) được

với mọi số thực x khác 0, 1 và 2 Rõ ràng, (2.54) đúng với x = 1 và

x = 2 Trong (2.49), ta cho x = 1 và y = −1 được f (1) + f (−1) = 2f (0).

Ta lại cho x = 2 và y = −1 vào (2.49) thì được 2f (2) + f (−1) = 3f (1).

Từ đó, ta có f (0) + f (2) = 2f (1), nên (2.54) cũng đúng với x = 0 Do

đó, f (x) = ax + b với mọi số thực x (a và b là hai hằng số thực).

Thử lại, các hàm số tìm được đều thỏa mãn (2.49)

Vậy các nghiệm hàm của bài toán là f (x) = ax + b với mọi số thực

x (a và b là hai hằng số thực).

Bài toán 16 (Vietnam MO 2017) Tìm tất cả các hàm số f : R → R

thỏa mãn

f (xf (y) − f (x)) = 2f (x) + xy (2.55)

với mọi số thực x, y.

Lời giải Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn đề bài Ta cho x = 1 vào

(2.55) được

f (f (y) − f (1)) = 2f (1) + y (2.56)

với mọi số thực y Từ (2.56), ta suy ra f là một song ánh Do đó, tồn tại

số thực a sao cho f (a) = 0 Bây giờ, ta cho x = y = a vào (2.55) được

f (0) = a2 Còn khi cho x = a và y = 0 vào (2.55), ta được f (a3) = 0

Từ tính đơn ánh của f , ta rút ra được a = a3, tức là a ∈ {−1; 0; 1} Như thế, f (0) = 0 hoặc f (0) = 1.

Nếu f (0) = 0 thì ta cho y = 0 vào (2.55) và sử dụng tính toàn ánh của hàm số f được f (x) = −2x với mọi số thực x.

Nếu f (0) = 1 thì ta cho x = y = 0 vào (2.55) được f (−1) = 2 Ta tiếp tục cho x = y = 1 vào (2.55) thì được f (1) = 0 Khi đó, (2.56) trở thành

với mọi số thực y Ta cho x = −1 vào (2.59) rồi kết hợp với (2.57) được

Bài toán 17 (IMO 2015) Hãy tìm tất cả các hàm số f : R → R

thỏa mãn

f (x + f (x + y)) + f (xy) = x + f (x + y) + yf (x) (2.67)

với mọi số thực x, y.

Lời giải Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn đề bài Trong (2.67), ta cho

x = y = 0 được f (f (0)) = 0 Ta tiếp tục cho x = 0 và y = f (0) vào

với mọi số thực x Dẫn đến, f (x) = 2 − x với mọi số thực x.

Nếu f (0) = 0 thì ta cho x = −1 và y = 1 vào (2.67) được f (−1) = −1.

Ta tiếp tục cho x = 1 và y = −1 vào (2.67) được f (1) = 1 Ta lại thay

y bởi y − x trong (2.67) thì được

f (x + f (y)) + f (x(y − x)) = x + f (y) + (y − x)f (x) (2.69)

với mọi số thực x, y Ta cho y = 0 vào (2.69) được

f (x) + f −x2 = x − xf (x) (2.70)

với mọi số thực x Ta lại thay x bởi −x trong (2.70) thì được

f (−x) + f −x2 = −x + xf (−x) (2.71)

với mọi số thực x Từ (2.70) và (2.71), ta thu được

với mọi số thực x Bây giờ, ta thay x bởi x − 1 và y bởi −x trong (2.67)

với mọi số thực x Ta nhân hai vế của (2.80) với (x + 1)(x + 2)(x + 3)

rồi sử dụng (2.78), (2.82), (2.84), sau đó, ta khai triển và rút gọn thì thuđược

2(x3 + 6x2 + 9x + 3)(f (x) − x) = 0

với mọi số thực x Do đó, f (x) = x với mọi số thực dương x Mặt khác, từ (2.70), ta có f (−x2) = −x2 với mọi số thực dương x Dẫn đến, f (x) = x với mọi số thực âm x Tóm lại, f (x) = x với mọi số thực x.

Thử lại, hai hàm số tìm được đều thỏa mãn (2.67)

Vậy bài toán có đúng hai nghiệm hàm là f (x) = 2 − x với mọi số thực x và f (x) = x với mọi số thực x.

2.6 Giải phương trình hàm trong lớp các hàm đơn điệu

Bài toán 18 Tìm tất cả các hàm đơn điệu f : R → R thỏa mãn

Bài toán 19 Tìm tất cả các hàm tăng thực sự f : R → R thỏa mãn

f (xf (y)) = yf (2x) (2.88)

với mọi số thực x, y.

Lời giải Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn đề bài Ta cho x = y = 1

vào (2.88) được f (f (1)) = f (2) Vì f tăng thực sự nên f (1) = 2 Ta cho

f (f (x0)) < f (2x0) Ta cho y = x0 vào (2.89) được f (f (x0)) = x0f (2) Ta

lại cho y = x0 vào (2.91) được f (2x0) = 1

2f (x0)f (2) Do đó, 2x0 < f (x0)

(vì f (2) > f (1) > 0), điều này là mâu thuẫn Nếu f (x0) > 2x0 thì tương

tự trường hợp trên ta cũng đi đến điều mâu thuẫn

Thử lại, hàm số tìm được thỏa mãn (2.88)

Vậy bài toán có nghiệm hàm duy nhất f (x) = 2x với mọi số thực x.

Bài toán 20 Tìm tất cả các hàm số f : [0; +∞) → [0; +∞) thỏa

(f (x) − f (y))(x − y) ≥ 0 (2.93)

với mọi số thực không âm x, y.

Lời giải Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn đề bài Từ (2.93), ta suy ra

 ≥ 0 nên f (x0) ≥ x0 Điều này là mâu thuẫn

Bây giờ, ta sẽ đi tìm giá trị của f (0) Đặt f (0) = c Ta cho x = c và

với mọi số thực không âm x Từ (2.96), (2.97) và (2.98), ta suy ra

f (x) = x với mọi số thực không âm x.

Thử lại, hàm số tìm được thỏa mãn (2.92) và (2.93)

Vậy bài toán có nghiệm hàm duy nhất f (x) = x với mọi số thực không âm x.

Bài toán 21 Tìm tất cả các hàm f : R → R thỏa mãn

(f (x) + f (z))(f (y) + f (t)) = f (xy − zt) + f (xt + yz) (2.99)

với mọi số thực x, y.

Lời giải Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn đề bài Ta cho x = y = z =

t = 0 vào (2.99) được f (0) = 0 hoặc f (0) = 1

2 Nếu f (0) =

1

2 thì ta cho

x = y = z = 0 vào (2.99) được f (t) = 1

2 với mọi số thực t Nếu f (0) = 0

thì ta cho z = t = 0 vào (2.99) được

f (x)f (y) = f (xy) (2.100)

với mọi số thực x, y Ta cho x = y = 1 vào (2.100) được f (1) = 0 hoặc

f (1) = 1 Nếu f (1) = 0 thì ta cho y = 1 vào (2.100) được f (x) = 0 với

mọi số thực x Nếu f (1) = 1 thì ta cho x = 0 và y = t = 1 vào (2.99)

với mọi số thực x Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được

f (n) = n2 với mọi số nguyên dương n Từ (2.100), ta cũng khẳng định

f (r) = r2 với mọi số hữu tỷ dương r Ta sẽ chứng minh f (x) = x2 với mọi

số thực dương x Thật vậy, giả sử tồn tại số thực dương a mà f (a) 6= a2

Nếu f (a) < a2 thì tồn tại số hữu tỷ r sao cho qf (a) < r < a Vì f là

hàm tăng trên (0; +∞) và r < a nên f (r) < f (a), suy ra r2 < f (a) hay

r < qf (a) Điều này là mâu thuẫn Nếu f (a) > a2 thì tương tự trên ta

cũng suy ra điều mâu thuẫn Do đó, f (x) = x2 với mọi số thực x.

Thử lại, cả ba hàm số tìm được đều thỏa mãn (2.99)

Vậy bài toán có đúng ba nghiệm hàm là f (x) ≡ 0, f (x) ≡ 1

2 và

f (x) = x2 với mọi số thực x.

2.7 Giải phương trình hàm trong lớp các hàm liên tục

Bài toán 22 Tìm tất cả các hàm liên tục f : R → R và thỏa mãn

với mọi số thực x, với mọi số nguyên dương n Trong (2.102), ta cho

n → +∞ và sử dụng tính liên tục của hàm f được f (x) = f (0) với mọi

số thực x Suy ra f là hàm hằng.

Thử lại, các hàm hằng đều thỏa mãn (2.101)

Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi hàm hằng

Bài toán 23 Tìm tất cả các hàm liên tục f : R → R thỏa mãn