Anh (chị) hãy thiết kế hai ví dụ khác nhau (kèm hướng dẫn giải), trong đó yêu cầu ít nhất một ví dụ có nội dung liên hệ thực tiễn để giúp học sinh vận dụng định lí trên trong quá trình h[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH
ĐỀ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5.0 điểm) ( Phần chung)
Câu 2.(5.0 điểm)
Cho định lí về tổng n số hạng đầu của cấp số nhân: '' Cho cấp số nhân ( )u n có
công bội q 1 Đặt S n u1 u2 u n. Khi đó 1
1 1
n n
q
S u
q
”
(Đại số và Giải tích lớp 11- Tr 102).
Anh (chị) hãy thiết kế hai ví dụ khác nhau (kèm hướng dẫn giải), trong đó yêu cầu ít nhất một ví dụ có nội dung liên hệ thực tiễn để giúp học sinh vận dụng định lí trên trong quá trình học
Câu 3 (5.0 điểm)
Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành, BC 2a và ACD
vuông cân tại C Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a
a) Tính thể tích khối chóp S ABCD. theo a
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD và I là trung điểm SC Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng AHI và ABCD
Câu 4.(5.0 điểm)
a) Cho phương trình:
23
9 4 6 10
4 3 x x x Anh (chị) hãy nêu 3 định hướng để giúp học sinh tìm được ba cách giải phương trình trên và hãy đặt các câu hỏi hướng dẫn học sinh giải chi tiết một trong các cách đó
b) Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:
.
a b b c c a a b b c c a
- Hết
-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Đề chính thức
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán
( gồm 05 trang)
1.
(5đ)
Phần chung
2.
(5đ)
Chiết điểm
Lấy mỗi một ví dụ chính xác, có kèm hướng dẫn giải chi tiết cho 2,5 điểm
Yêu cầu về lấy ví dụ :
+ Chính xác khoa học, có hướng dẫn giải chi tiết đi kèm
+ Nội dung cần phải áp dụng định lý để giải
+ Phải có ít nhất một ví dụ có tính liên hệ thực tiễn
Một số dạng ví dụ gợi ý:
- Cho u m và u k bất kì, tính tổng các số hạng của cấp số nhân
- Cho u1 (hoặc một u k bất kì) và q, tính tổng các số hạng của cấp số nhân
- Cho n, S n và q, tìm u1 hoặc u knào đó
- Cho n, S nvà u1 (hoặc u knào đó), tìm q
- Cho m, n và S m, S ntìm u kvà q
- Cho S nvà q, u1 Tìm n …
- Tính tổng các số hạng của một dãy số có qui luật …
- Các ví dụ thực tiễn liên quan đến tăng trưởng kinh tế, tỉ lệ tăng dân số,
tính tổng,…
Một số gợi ý:
1) Cho cấp số nhân ( )u n có u9 64, q 2 Tính tổng 2019 số hạng đầu tiên
của cấp số nhân đã cho
Lời giải:
8
1
4
u u q u u
2019
2019 2019
1 1 ( 2) 1
2) Cho cấp số nhân ( )u n có S10 341, q 2 Tìm u1
Lời giải:
Ta có:
10
1 ( 2)
1 2
u u u
Trang 33) Cho cấp số nhân ( )u n có u1 2, q 3,S n 2186. Tìm n.
Lời giải:
Ta có 1
n
q
q
4) Cho cấp số nhân ( )u n có S3 168, S6 189 Tìm công bội q của cấp số nhân đó
Lời giải:
3
3 1
1
1
q
S u
q
;
6
6 1
1
1
q
S u
q
3
3
q
5) Bạn Nam vừa tốt nghiệp đại học đi làm Năm đầu tiên bạn dành dụm được A triệu đồng Bạn dự định mỗi năm sẽ dành một số tiền tích lũy theo nguyên tắc số tiền tích lũy năm sau sẽ tăng hơn số tiền tích lũy năm kề trước là 20% Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm đi làm tổng số tiền bạn Nam dự định sẽ tích lũy được là bao nhiêu ?
Lời giải:
Số tiền năm thứ nhất bạn Nam tích lũy được là A triệu đồng
Số tiền năm thứ hai bạn Nam tích lũy được là:
A +20% A = 120% A =
6
5 A ( triệu đồng)
Số tiền năm thứ ba bạn Nam tích lũy được là:
6
.
5 A+20%
6
.
5 A =
2 6 ( )
5 A ( triệu đồng) …
Như vậy số tiền tích lũy hàng năm của Nam lập thành một cấp số nhân có công bội
6 5
q
Sau 5 năm thì số tiền Nam tích lũy được là:
5
5 1
1
.
1
q
S u
q
Thay u1 A và
6 5
q
ta được số tiền là: 7,4 A triệu đồng
Trang 4(2,5đ)
a)
a a
0,5
0,5 0,5 0,5 0.5
3.b
(2,5đ)
b) Ta có CDAC SA a AI SC (1)
Lại cóCDSA và CDAC CDAI (2)
Từ (1) và (2) AI (SCD) AI SD
SD AI
SD AHI
SD AH
Ta có:
SA ABCD
ABCD AHI SA SD ASD
SD AHI
tan ASD AD 2
SA
Ngoài ra có thể giải theo cách xác định góc, công thức hình chiếu hoặc tọa
độ hóa
0,5 0,5
0,5 0,5
4.a
(3,5đ)
Câu 4 a)
Định hướng 1: ( Tạo bình phương)
Hệ thống câu hỏi:
Câu 1: Nêu một số định hướng giải phương trình chứa căn?
Câu 2: Biến đổi phương trình đã cho và nêu điều kiện có nghiệm của
phương trình ?
Câu 3: Do trong biểu thức của phương trình xuất hiện tích của hai số hạng
(4 3 ) 4 x x, vậy ta định hướng phương pháp giải nào?
Câu 4: Để làm xuất hiện bình phương cần thêm bớt các số hạng như thế
nào?
Câu 5: Hãy giải chi tiết phương trình đã cho.
Giải chi tiết.
Điều kiện có nghiệm:
(*)
x
x x
Với đk (*)
pt x x x x x x x x
9x 24x 16 4(4 3 ) 4x x 4(4 x) x 4x 4
0,5
0,5
Trang 52 2 4 3 2 (1) (4 3 2 4 ) ( 2)
2
2
11 41
8
x
x
(2)
2
3 0
x
x
Định hướng 2: ( Đặt ẩn phụ không hoàn toàn)
Điều kiện có nghiệm:
(*)
x
x x
Với đk (*)
pt x x x x x x x x x
Đặt t 4 x t( 0) Ta có pt: t2 (4 3 ) x t2x2 5x 3 0 ; (x 2)2
Pt có hai nghiệm: t 3 2 ;x t 1 x suy ra
( Cũng có thể đưa về
2x (3 5)t x t 4t 3 0 ; ( 1)t 2
Pt có hai nghiệm:
3
1 ;
2
t
x t x
suy ra
Định hướng 3: ( Phương pháp liên hợp không dùng MTBT hỗ trợ)
2
4
x
Điều kiện có nghiệm:
(*)
x
x x
Ta biến đổi
2
3 4
x
Để xuất hiện nhân tử chung ta cần tìm a, b sao cho:
2x 6x 7 (ax b)(3x 4) k[4 x (ax b) ] (k R)
(3a 2)x (3b 4a 6)x 7 4b k a x[ (1 2 )x+ - 4] (ab b k R)
Đồng nhất hệ số ta được:
2
2
(1 2 ) 3 4 6 ( 4) 7 4
ka a
Thường thì k sẽ bằng 1 hoặc -1 Bài này với k = -1 khi đó chẳng hạn cặp
a = -1 và b = 1 thỏa mãn ( cũng có thể chọn k = -1 và cặp a = -2; b =3)
Từ đó ta có lời giải như sau:
Với đk (*)
2
x
2
x x
pt
Định hướng 4: ( Phương pháp liên hợp có dùng MTBT hỗ trợ)
Điều kiện có nghiệm:
(*)
x
x x
0,5
0,5 0,5
0,5
0,5
Trang 6Với đk (*) pt 2x2 6x 7 (4 3 ) 4 x x
Dùng máy tính bỏ túi ta tìm được 1 nghiệm của pt là: x 0 0.5746
Thay x 0 0.5746 vào 4 x ta được 4 x0 1,8508 2x0 3
nên ta biến đổi
phương trình như sau: pt (4 3 ) x 4 x (3 2x) 4x211x 5
2 2
Định hướng 5: ( Bình phương 2 vế đưa về tích)…
Điều kiện có nghiệm:
(*)
x
x x
Với đk (*)
2
2 6 7 (4 3 ) 4
pt x x x x
Bình phương hai vế với đk (*) ta được
pt x x x x x x x x
4x 15x 4x 28x 15 0
Dùng MTBT ta bấm được 4 nghiệm:
1 0.5746, 2 2,1754, 3 1,30278, 4 2,30278
Ta có:
2,75 , 1, 25
x x x x
Suy ra x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình : 4x2 11x 5 0
3 4 1, 3 4 3
x x x x
Suy ra x x3 , 4 là hai nghiệm của phương trình : x2 x 3 0
Đó là cơ sở để ta phân tích pt (x2 x 3)(4x211x5) 0
Giải xong đối chiếu đk có nghiệm…
4.b
(1,5đ)
b) Bđt cần chứng minh
Đặt
1 x a ;1 y b ;1 z c
Nhận xét:
(1 x)(1 y)(1 z) (1 x)(1 y)(1 z) ( vì cùng bằng
8
abc
a b b c c a ) 0
x y z xyz
Suy ra bđt cần chứng minh x2y2z22(1x)(1y)(1z) 2 0
0,25 0,25 0,5 0,25 0,25
Trang 72 2 2 2( ) 0
x y z x y z xyz xy yz xz
(x y z )2 0( luôn đúng) Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi x=y=z=0, hay a=b=c
Nếu bài làm theo cách khác đáp án mà đúng thì vẫn được điểm như đáp án qui định
-Hết -Tham khảo tài liệu cho Giáo viên: