(Luận văn thạc sĩ) thiết lập điều kiện xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ α không giãn suy rộng trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NCKH CỦA SINH VIÊN NĂM 2018-2019 THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN XẤP XỈ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ a - KHÔNG GIÃN SUY RỘNG TRONG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NCKH CỦA SINH VIÊN NĂM 2018-2019

THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN XẤP XỈ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ a - KHÔNG GIÃN SUY RỘNG

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Mã số: SPD2018.02.58

Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Kim Ngoan

Lớp: ĐHSTOAN15B Giảng viên hướng dẫn: ThS Nguyễn Trung Hiếu

Đồng Tháp, 6/2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN XẤP XỈ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ a- KHÔNG GIÃN SUY RỘNG

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Mã số: SPD2018.02.58

Giảng viên hướng dẫn Chủ nhiệm đề tài

ThS Nguyễn Trung Hiếu Nguyễn Kim Ngoan

Xác nhận của Chủ tịch hội đồng

TS Lê Hoàng Mai

Đồng Tháp, 6/2019

MỤC LỤC

Thông tin kết quả nghiên cứu iv

Summary vi

Mở đầu 1 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài ở trong và ngoài nước

2 Tính cấp thiết của đề tài

3 Mục tiêu nghiên cứu

4 Cách tiếp cận

5 Phương pháp nghiên cứu

6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

7 Nội dung nghiên cứu

1 Ánh xạ a-không giãn suy rộng trong không gian Banach 1.1 Không gian Banach lồi đều

1.2 Ánh xạ a-không giãn suy rộng trong không gian Banach

2 Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ a-không giãn suy rộng trong không gian

Ba-nach lồi đều

ii

iii

2.1 Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ a-không giãn suy rộng trong khônggian Banach lồi đều bởi dãy S-lặp

2.2 Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ a-không giãn suy rộng trong khônggian Banach lồi đều bởi dãy P-lặp

Kết luận và kiến nghị

1 Kết luận 40

2 Kiến nghị 41

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

CỦA SINH VIÊN

1. Thông tin chung:

- Tên đề tài: Thiết lập điều kiện xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn suy rộng trong không gian Banach

a Mã số: SPD2018.02.58

- Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Kim Ngoan

- Thời gian thực hiện: 7/2018 đến 6/2019

- Những dãy lặp được đề xuất trong đề tài là mới

- Điều kiện đủ cho sự hội tụ yếu và hội tụ của dãy lặp đến điểm bấtđộng, điểm bất động chung của ánh xạ a-không giãn suy rộng trongkhông gian Banach lồi đều

4 Kết quả nghiên cứu:

- Xây dựng được hai dãy lặp để xấp xỉ điểm bất động của hai và ba ánh xạ a-không giãn suy rộng trong không gian Banach

- Thiết lập và chứng minh được một số kết quả về sự tồn tại và xấp xỉđiểm bất động của hai và ba ánh xạ a-không giãn suy rộng trong khônggian Banach lồi đều

- Thiết lập và chứng minh được một số kết quả về xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ a-không giãn suy rộng trong không gian Banach lồi đều

- Xây dựng được ba ví dụ minh họa cho việc xấp xỉ điểm bất động của hai và ba ánh xạ a-không giãn suy rộng

- Kết quả của đề tài góp phần làm phong phú thêm những kết quả vềxấp xỉ điểm bất động và điểm bất động chung của ánh xạ a-không giãnsuy rộng trong không gian Banach.

- Việc nghiên cứu đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập và nghiên cứu khoa học của sinh viên; từ đó, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo của Trường Đại học Đồng Tháp nói chung và của Khoa Sư phạm Toán học nói riêng.

Coordinator: Nguyễn Kim Ngoan

Duration: from July, 2018 to June, 2019

2 Objectives:

- To establish some conditions for approximating for fixed points of the gener-alized a-nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces.

- To give some examples to demonstrate the approximating fixed points of the generalized a-nonexpansive mappings in the uniformly convex Banach spaces.

3 Creativeness and innovativeness:

- The proposed iterations process is new

- The sufficient condition for weak and strong convergence to fixedpoints and common fixed points of generalized a-nonexpansivemappings in uniformly convex Banach spaces

viispaces were established and proved.

- Some results for the approximating of fixed points of generalized a-nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces were established and proved.

- Three examples were given to illustrate the approximating of common fixed points of two and three generalized a-nonexpansive mappings

6. Transfer alternatives, application institutions, impacts and

benefits of research results:

- The scientific report of the project is a reference for lecturers andstudents of Faculty of Mathematics Teacher Education, Dong ThapUniversity in studying, lecturing and researching

- The results of the project contribute to enriching some approximatefixed point and common fixed point results for generalized a-nonexpansive mappings in Banach spaces

- The researching of the project partially contributes to improving thequality of students learning and scientific research; since then, it partiallycontributes to improving the training quality of Dong Thap University ingeneral and Faculty of Mathematics Teacher Education in particular

gọi là điểm bất động của ánh xạ F Do đó, việc nghiên cứu những công cụ hữu hiệu

để khảo sát sự tồn tại và tìm điểm bất động của ánh xạ được nhiều tác giả quan tâm Trong hướng nghiên cứu này, Nguyên lí ánh xạ co Banach [4] là một trong những kết quả cơ bản trong lí thuyết điểm bất động Lưu ý rằng nguyên lí này cũng chỉ ra rằng điểm bất động của ánh xạ co là giới hạn của dãy lặp Picard.

Cùng với sự phát triển của toán học, Nguyên lí ánh xạ co Banach đã được mở rộng cho những lớp ánh xạ và những lớp không gian tổng quát hơn Năm 1965, Browder [6] đã giới thiệu một lớp ánh xạ tổng quát của lớp ánh xạ co và được gọi là

ánh xạ không giãn, đồng thời thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại điểm bất động của

lớp ánh xạ này trong không gian Banach lồi đều Tuy nhiên, kết quả của Browder chỉ khẳng định sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn mà không đưa ra kĩ thuật tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn Do đó, việc xây dựng những kĩ thuật để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [7] Kĩ thuật cơ bản để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn là xây dựng dãy lặp và nghiên cứu sự hội tụ của dãy lặp này đến điểm bất động và điểm bất động chung của những ánh xạ không giãn Trong hướng

nghiên cứu này, nhiều dạng dãy lặp đã được giới thiệu như dãy Mann [15],dãy Ishikawa [14], dãy lặp Noor [17], dãy S-lặp [2], dãy SP-lặp [19], dãy lặpAbbas [1], dãy P-lặp[21], dãy lặp Thakur [28, 29] và nhiều kết quả về xấp xỉđiểm bất động của những ánh xạ không giãn đã được thiết lập Trongnhững dãy lặp đó, dãy S-lặp là dãy lặp hai bước, được Agarwal và cộng sự[2] giới thiệu năm 2007, đồng thời, các tác giả cũng chứng minh rằng dãyS-lặp có tốc độ hội tụ đến điểm bất động của ánh xạ co tương đương vớidãy lặp Picard nhưng nhanh hơn dãy lặp Mann; dãy P-lặp là dãy lặp babước, được Sainuan [21] giới thiệu năm 2015 từ ý tưởng của dãy S-lặp vàdãy SP-lặp [19], đồng thời, tác giả cũng chứng tỏ rằng dãy P-lặp hội tụ đếnđiểm bất động của lớp ánh xạ liên tục, không giảm là nhanh hơn dãy S-lặp.Trong những năm gần đây, một số tác giả quan tâm nghiên cứu mở rộng khái niệm ánh xạ không giãn bằng nhiều cách tiếp cận khác nhau Nhiều khái niệm suy rộng của ánh xạ không giãn đã được giới thiệu như ánh xạ thỏa mãn điều kiện (C) [26], ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E) và ánh xạ thỏa mãn điều kiện (C l ) [10], ánh xạ a-không giãn [3] và một số kết quả về xấp xỉ điểm bất động của những ánh xạ không giãn suy rộng đã được thiết lập Năm 2017, Pant và Shukla [18] đã giới thiệu

một mở rộng của ánh xạ a-không giãn và được gọi là ánh xạ a-không giãn suy rộng Sau đó, khái niệm này được Shukla và cộng sự [27] nghiên cứu trên không gian

Banach sắp thứ tự và được Mebawondu và cộng sự [16] nghiên cứu trong không gian Hyperbolic Năm 2018, Piri và các cộng sự [20] đã giới thiệu một dãy lặp ba bước mới và nghiên cứu sự hội tụ của dãy lặp này đến điểm bất động của ánh xạ a- không giãn suy rộng trong không gian Banach lồi đều Như vậy, một số kết quả bước đầu về sự tồn tại và xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ a-không giãn suy rộng

đã được thiết lập Tuy nhiên, cho đến nay, chưa có những kết quả về xấp xỉ điểm bất động chung của những ánh xạ a-không giãn suy rộng

được công bố Hơn nữa, nhiều kĩ thuật xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn cũng như những mở rộng của ánh xạ không giãn chưa được nghiên cứu cho ánh xạ a-không giãn suy rộng, trong đó có dãy S-lặp và dãy P-lặp.

Ở trong nước, việc nghiên cứu xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn và những mở rộng của nó được một số tác giả quan tâm nghiên cứu Tác giả Phạm Kỳ Anh ở Đại học quốc gia Hà Nội, tác giả Lê Dũng Mưu ở Viện Toán học, tác giả Đặng Văn Hiếu ở Trường Sĩ quan không quân Nha Trang, Dương Việt Thông

ở Trường Đại học Kinh tế quốc dân Hà Nội quan tâm đến những kĩ thuậtgiải bài toán cân bằng, kĩ thuật tìm điểm chung của bài toán cân bằng vàbài toán điểm bất động của ánh xạ phi tuyến [11, 30] Ở Trường Đại họcĐồng Tháp, một số tác giả quan tâm nghiên cứu xấp xỉ điểm bất động củaánh xạ không giãn và những mở rộng của nó [12, 13] Tuy nhiên, vấn đềnghiên cứu xấp xỉ điểm bất động và điểm bất động chung của những ánh

xạ a-không giãn suy rộng chưa được các tác giả trong nước nghiên cứu

2 Tính cấp thiết của đề tài

Từ tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước được đề cập như trên, chúngtôi nhận thấy rằng vấn đề mở rộng những kết quả hội tụ từ ánh xạ không giãnsang ánh xạ không giãn suy rộng, trong đó có ánh xạ a-không giãn suy rộng,

là phù hợp với xu hướng nghiên cứu trong lĩnh vực lí thuyết điểm bất động.Hơn nữa, cho đến nay, nhiều kết quả về hội tụ của dãy lặp đến điểm bất độngcủa ánh xạ không giãn chưa được mở rộng cho lớp ánh xạ a-không giãn suyrộng, trong đó có sự hội tụ của dãy S-lặp và dãy P-lặp Do đó, việc nghiêncứu xấp xỉ điểm bất động và điểm bất động chung của những ánh xạ a-khônggiãn suy rộng có ý nghĩa thời sự và có tính khoa học

Việc thiết lập những điều kiện xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ a-không giãn

suy rộng bởi dãy S-lặp và dãy P-lặp là sự kế thừa và phát triển những kĩthuật xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn Từ đó, góp phần bổsung thêm những kết quả về xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ a-khônggiãn suy rộng trong không gian Banach

Việc nghiên cứu đề tài góp phần nâng cao năng lực vận dụng kiến thức

và phương pháp nghiên cứu khoa học của sinh viên vào thực tiễn cụ thể,góp phần nâng cao chất lượng học tập, nghiên cứu khoa học của sinhviên Đồng thời, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo của Trường Đạihọc Đồng Tháp nói chung và của Khoa Sư phạm Toán học nói riêng

Chính vì vậy, chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu xấp xỉ điểm bất động của ánh

xạ a-không giãn suy rộng trong không gian Banach bởi dãy S-lặp và dãy P-lặp.

3 Mục tiêu nghiên cứu

- Thiết lập một số điều kiện về xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn suy rộng trong không gian Banach

a Xây dựng ví dụ minh họa cho việc xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ a-không giãn suy rộng trong không gian Banach

4 Cách tiếp cận

Sử dụng những kĩ thuật xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãntrong không gian Banach sắp thứ tự để nghiên cứu xấp xỉ điểm bất độngcủa ánh xạ a-không giãn suy rộng trong không gian Banach lồi đều

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu một số bài báo liên quan đến đề tài, bằng cách tương tự hóa, khái quát hóa những kết quả về xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn, đề xuất kết quả mới về xấp xỉ điểm bất động của ánh xạa-không giãn suy rộng

- Phương pháp trao đổi nhóm: trao đổi cụ thể với giáo viên hướng dẫn và thành viên trong nhóm nghiên cứu về kết quả đề xuất

- Phương pháp chuyên gia: viết bài tham gia hội nghị, hội thảo và gửi bài xét đăng trên tạp chí khoa học để kiểm tra kết quả nghiên cứu

6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu dãy S-lặp, dãy P-lặp và ánh xạ a-không giãn suy rộngtrong không gian Banach lồi đều thuộc lĩnh vực xấp xỉ điểm bất động

7 Nội dung nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ a-không giãn suy rộng bởi dãy S-lặp và dãy P-lặp trong không gian Banach lồi đều

Ngoài Mục lục, Mở đầu, Tài liệu tham khảo, Phụ lục, nội dung chính của đề tài được trình bày trong hai chương

Chương 1 Ánh xạ a-không giãn suy rộng trong không gian Banach.Chương 2 Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ a-không giãn suy rộng trong không gian Banach lồi đều

CHƯƠNG 1

ÁNH XẠ a-KHÔNG GIÃN SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả trong

không gian Banach lồi đều

Định nghĩa 1.1.1 ([5], p.189) Cho E Không gian Banach Khi đó,

(1) Không gian E được gọi là lồi chặt nếu với mọi u; v 2 E mà u 6= v và kuk

Nhận xét 1.1.2 ([5], Proposition 6) Nếu E là không gian Banach lồi đều

thì E là không gian Banach lồi chặt và phản xạ.

Bổ đề 1.1.3 ([22], Lemma 1.3) Cho E là không gian Banach lồi đều, fln g là

dãy số thỏa mãn 0 < a ln b < 1 với mọi n 2 N ; fxng và fyng là hai dãy sao

(1) ([23], p.378) T được gọi là thỏa mãn điều kiện (I) nếu tồn tại hàm không

giảm f : [0; ¥)! [0; ¥) với f (0) = 0 và f (r) > 0 với mọi r > 0 sao cho với mọi

x 2 K, ta có

kx T xk f (d(x; F(T )))với d(x; F(T )) = inffkx yk; y 2 F(T )g và F(T ) là tập điểm bất động củaánh xạ T

(2) ([25], p.534) T và S được gọi là thỏa mãn điều kiện (B) nếu tồn tại hàm không

giảm f : [0; ¥)! [0; ¥) với f (0) = 0 và f (r) > 0 với mọi r > 0 sao cho với mọi x 2 K ta có

maxfkx T xk; kx Sxkg f (d(x; F))với F = F(T ) \F(S), d(x; F) = inffkx yk; y 2 Fg và F(T ), F(S) lần lượt làtập điểm bất động của ánh xạ T và S

(3) ([24], p.13) T , S và U được gọi là thỏa mãn điều kiện (C) nếu tồn tại hàm

không giảm f : [0; ¥)! [0; ¥) với f (0) = 0 và f (r) > 0 với mọi r > 0 sao cho với mọi x 2 K ta có

maxfkx T xk; kx Sxk; kx Uxkg f (d(x; F))với F = F(T )\F(S)\F(U), d(x; F) = inffkx yk; y 2 Fg và F(T ), F(S), F(U) lần lượt là tập điểm bất động của ánh xạ T , S và U

Định nghĩa 1.1.5 ([8], Definition 1.1) Cho E là không gian Banach.

Không gian E được gọi là thỏa mãn tính chất Opial nếu với mỗi x 2 E và

với mỗi dãy fxng hội tụ yếu đến x, ta có

!

Định nghĩa 1.1.6 ([25], p.534) Cho E là không gian định chuẩn và K là tập khác

rỗng của E và T : K ! K là ánh xạ Khi đó, T được gọi là nửa compact nếu với dãy

fx n g là dãy bị chặn trong K sao cho lim kx n T x n k = 0 thì tồn tại dãy con

n!¥

fxn(i)g của fxng sao cho dãy fxn(i)g hội tụ trong K

Định nghĩa 1.1.7 ([9], p.89) Cho E là không gian Banach, K là tập khác rỗng của E, dãy fxng bị chặn trong E và x 2 E Khi đó,

8(1) Bán kính tiệm cận của dãy fxng tại x được kí hiệu và xác định bởi:

(1) Nếu K compact yếu và lồi thì A(K; fxng) khác rỗng và lồi

(2) Nếu E là không gian Banach lồi đều thì A(K; fxng) có duy nhất một điểm

Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa, ví dụ minh họa choánh xạ a-không giãn suy rộng và một số kết quả liên quan đến ánh xạ a-không giãn suy rộng

Định nghĩa 1.2.1 Cho E là không gian định chuẩn, K là tập khác rỗng của E và T : K ! K là ánh xạ Khi đó,

(1) ([6], p.1041) T được gọi là ánh xạ không giãn nếu với mọi x; y 2 K ta có

(3) ([3], Definition 2.2) T được gọi là ánh xạ a-không giãn nếu tồn tại a 2

[0; 1) sao cho với x; y 2 K ta có

kT x Tyk2 akT x yk2 + akTy xk2 + (1 2a)kx yk2:

(4) ([18], Definition 3.1) T được gọi là ánh xạ a-không giãn suy rộng nếu tồn tại

a 2 [0; 1) sao cho với x; y 2 K mà

kT x Tyk akT x yk+ akTy xk+ (1 2a)kx yk:

Nhận xét 1.2.2 ([18], Proposition 3.2) Lưu ý rằng mỗi ánh xạ thỏa mãn điều kiện

(C) là một ánh xạ a-không giãn suy rộng với a = 0 Đồng thời, trong [18], các tác giả cũng đưa ra ví dụ chứng tỏ rằng tồn tại ánh xạ là a-không giãn suy rộng nhưng không là ánh xạ a-không giãn, không là ánh xạ thỏa mãn điều kiện (C) và

do đó không là ánh xạ không giãn ([18], Example 3.3, Example 3.4).

Tiếp theo, chúng tôi đưa ra ví dụ khác để chứng tỏ rằng tồn tại ánh xạa-không giãn suy rộng nhưng không là ánh xạ thỏa mãn điều kiện (C) vàcũng không là ánh xạ không giãn Những ví dụ này được sử dụng trongminh họa cho các kết quả chính trong Chương 2

Ví dụ 1.2.3 Xét E = R là không gian Banach với chuẩn giá trị tuyệt đối, K

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh T là ánh xạ a-không giãn suy

rộng với a = 0; 5 Đặt V P = akT x yk+ akTy xk+ (1 2a)kx yk: Ta xét các

trường hợp sau:

Trường hợp 1 Với x; y 2 [ 1; 0], ta có

V P = 0; 5j(x=3) yj+ 0; 5j(y=3) xj0; 5j(x=3) y + (y=3) xj

= (2=3)jx + yj(1=3)jx + yj(1=3)jx yj

Trường hợp 2 Với x 2 [ 1; 0] và y = 1=3, ta có

V P = 0; 5j(x=3) (1=3)j+ 0; 5j0 xj

= 0; 5[(1=3) (x=3)] 0; 5x

= (2=3)x + (1=6)(1=3)x

V P = 0; 5j(x=3) yj+ 0; 5j y xj

0; 5[y (x=3)] + 0; 5(x + y) = (x=3) + y

và

V P = 0; 5j(x=3) yj+ 0; 5j y xj0; 5[y (x=3)] + 0; 5( x y)

= (2x=3)(x=3) y:

Do đó, V P j(x=3) +yj = kT x Tyk Như vậy, từ các trường hợp trên, ta kếtluận rằng T là ánh xạ a-không giãn suy rộng với a = 0; 5

Tiếp theo, ta chứng minh T không thỏa mãn điều kiện (C) và T không

là ánh xạ không giãn Thật vậy, chọn x = 1=3 và y = 1, ta có

0; 5kx T xk = 1=6 2=3 = kx ykvà

kT x Tyk = 1 > 2=3 = kx yk:

Điều này dẫn đến ánh xạ T không thỏa mãn điều kiện (C) Do đó, ánh xạ

T không là ánh xạ không giãn

Ví dụ 1.2.4 Xét E = R là không gian Banach với chuẩn giá trị tuyệt đối, K

= [ 1; 1] và ánh xạ S : K ! K được xác định bởi:

Sx =

Khi đó, S là ánh xạ a-không giãn suy rộng với a = 0; 5 nhưng S không thỏa mãn điều kiện (C) nên cũng không là ánh xạ không giãn.

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh S là ánh xạ a-không giãn suy rộng với

a = 0; 5 Đặt V P = akSx yk+ akSy xk+ (1 2a)kx yk Ta xét các trườnghợp sau:

Trường hợp 1 Với x; y 2 [ 1; 0], ta có

= 0; 5j(x=2) yj+ 0; 5jx (y=2)j0; 5j(x=2) y + x (y=2)j(3=4)jx yj

(1=2)jx yj

= kSx Syk:

= 0; 5[(1=2) (x=2)] 0; 5x

= (3=4)x + (1=4)(1=2)x

= kSx Syk:

= 0; 5[x + (1=2)] + 0; 5x

= x + (1=4)x

= kSx Syk:

= jx + yj

jx yj

= kSx Syk:

(x=2) + y

= kSx Sykvà

V P = 0; 5j(x=2) yj+ 0; 5j y xj0; 5[y (x=2)] + 0; 5( x y)

= (3x=4)(x=2) y

= kSx Syk:

Như vậy, từ các trường hợp trên, ta kết luận rằng S là ánh xạ a-không giãnsuy rộng với a = 0; 5 Tiếp theo, ta chứng tỏ rằng S không thỏa mãn điều kiện(C) và S không là ánh xạ không giãn Thật vậy, chọn x = 0; 5 và y = 5=6, ta có

0; 5kx Sxj = 0; 25 1=3 = kx ykvà

kSx Syk = 5=12 > 1=3 = kx ykĐiều này dẫn đến ánh xạ S không thỏa mãn điều kiện (C) Do đó, Skhông là ánh xạ không giãn

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh H là ánh xạ a-không giãn suy rộng với

a = 0; 5 Đặt V P = akHx yk+akHy xk+ (1 2a)kx yk: Ta xét các trườnghợp sau:

Trường hợp 1 Với x; y 2 [ 1; 0]; ta có

V P = 0; 5j(3x=10) yj+ 0; 5j(3y=10) xj0; 5j(3x=10) y + (3y=10) xj

= (7=20)jx + yj(7=20)jx yj(3=10)jx yj

= kHx Hyk:

= 0; 5[(3=10) (3x=10)] 0; 5x

= (4=10)x + (3=20)(3=10)x

= kHx Hyk:

(3x=10) + yvà

V P = 0; 5j(3x=10) yj+ 0; 5j y xj0; 5[y (3x=10)] + 0; 5( x y)

= (13x=20)(3x=10) y:

Do đó, V P j(3x=10) + y = kHx Hyk Như vậy, từ các trường hợp trên, ta kết luận rằng H là ánh xạ a-không giãn suy rộng với a = 0; 5

Tiếp theo, ta chứng minh H không thỏa mãn điều kiện (C) và H không

là ánh xạ không giãn Thật vậy, chọn x = 3=10 và y = 1, ta có

0; 5kx Hxk = 3=20 7=10 = kx ykvà

a-Mệnh đề 1.2.6 ([18], Proposition 3.5) Cho E là không gian định chuẩn,

K là tập đóng khác rỗng của E và T : K ! K là ánh xạ a-không giãn suy

rộng sao cho F(T ) 6= 0/ Khi đó, T là ánh xạ tựa không giãn, tức là

kT x pk kx pk với x 2 K và p 2 F(T ):

Bổ đề 1.2.7 ([18], Lemma 5.2) Cho E là không gian định chuẩn, K là tập

con khác rỗng của E và T : K ! K là ánh xạ a-không giãn suy rộng Khi

đó, với mỗi x; y 2 K ta có

kx Tyk

Bổ đề 1.2.8 ([18], Lemma 3.6) Cho E là không gian Banach lồi chặt, K

là tập lồi đóng khác rỗng của E và T : K ! K là ánh xạ a-không giãn suy

CHƯƠNG 2

XẤP XỈ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ a-KHÔNG GIÃN SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU

2.1 Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ a-không giãn suy

rộng trong không gian Banach lồi đều bởi dãy S-lặp

Năm 2017, Pant và Shukla [18] đã sử dụng dãy S-lặp để xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ a-không giãn suy rộng Dãy S-lặp có dạng như sau: x 1 2 K và

Bằng cách mở rộng dãy lặp (2.1) cho hai ánh xạ a-không giãn suy rộng, chúng tôi giới thiệu dãy lặp sau: x1 2 K và

với mọi n

2 Nrỗng trong không gian Banach E và T; S : K ! K là hai ánh xạ a-khônggiãn suy rộng

Trong mục này, chúng tôi thiết lập, chứng minh sự tồn tại và xấp xỉ điểmbất động chung của hai ánh xạ a-không giãn suy rộng bởi dãy lặp (2.2) Từ

đó, chúng tôi nhận được một số kết quả về xấp xỉ điểm bất động của ánh

xạ a-không giãn suy rộng bởi dãy S-lặp Những kết quả này cũng là nhữngkết quả chính trong bài báo [18] Trước hết, ta kí hiệu F = F(T ) \ F(S) Tiếptheo, chúng tôi thiết lập một số tính chất của dãy lặp (2.2)

Mệnh đề 2.1.1 Cho E là không gian Banach, K là tập lồi đóng khác rỗng của E,

T; S : K ! K là hai ánh xạ a-không giãn suy rộng sao cho F 6= 0/ và dãy fxng xác

định bởi (2.2) Khi đó, fxng là dãy bị chặn và lim kxn pk tồn tại với p 2 F.

Mệnh đề 2.1.2 Cho E là không gian Banach lồi đều, K là tập lồi đóng khác rỗng

của E, T; S : K ! K là các ánh xạ a-không giãn suy rộng và dãy fxng xác định

bởi (2.2) Khi đó, F 6= 0/ khi và chỉ khi fxng bị chặn và

Chứng minh.

Do E là không gian Banach lồi đều nên theo Nhận xét 1.1.8 tồn tại

duy nhất p 2 A(K; fxng) Khi đó, sử dụng Bổ đề 1.2.7, ta có

= lim sup kx n

T xnk+ lim sup kxn pk

n!¥

(2.5)Lập luận tương tự, ta chứng minh được

r(Sp; fxng) r(p; fxng):

Khi đó, từ (2.5), (2.6) và định nghĩa bán kính tiệm cận của dãy fxng đối

với K, ta suy ra

r(T p; fxng) r(K; fxng) và r(Sp; fxng) r(K; fxng):

Suy ra T p 2 A(K; fxng) và Sp 2 A(K; fxng) Sử dụng tính duy nhất của tâm

tiệm cận của dãy fxng đối với K ta có T p = Sp = p hay p 2 F Do đó, F 6= 0/

x Ngược lại, giả sử F 6= 0/ Khi đó, tồn tại p 2 F Theo Mệnh đề 2.1.1, ta có

f ng là dãy bị chặn và n

Khi đó, từ (2.3) và (2.7) ta được

Do T và S là các ánh xạ a-không giãn suy rộng nên theo Mệnh đề 1.2.6, ta có

kT xn pk kxn pk và kSyn pk kyn pk:

20Khi đó, kết hợp (2.9) với (2.7) và (2.8), ta được

Từ (2.12), (2.15) và (2.16), ta được

Khi đó, kết hợp bất đẳng thức

kxnvới (2.12), (2.15) và (2.17), ta được

Mặt khác, từ Bổ đề 1.2.7, ta có

kxn

!

Tiếp theo, chúng tôi thiết lập sự hội tụ yếu của dãy lặp (2.2) đến điểm

bất động chung của hai ánh xạ a-không giãn suy rộng

Mệnh đề 2.1.3 Cho E là không gian Banach lồi đều và có tính chất

Opial, K là tập lồi đóng khác rỗng của E, T; S : K ! K là hai ánh xạ

a-không giãn suy rộng sao cho F 6= 0/, dãy fxng xác định bởi (2.2) Khi đó,

dãy fxng hội tụ yếu đến p 2 F.

!

Vì E là không gian Banach lồi đều nên E là không gian Banach phản xạ Khi đó,

tồn tại dãy con fx n(i) g của fx n g sao cho fx n(i) g hội tụ yếu đến p 2 K Do đó,

lim