Chứng minh rằng các đường thẳng qua A1 , B1, C1 lần lượt vuông góc với BC, CA, AB đồng quy.. Gọi d là đường thẳng qua A song song với BC.. Đường thẳng JD cắt d BC, lần lượt tại L H,.. Ch
Trang 1(Đề thi gồm 02 trang)
NĂM HỌC 2020-2021 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 17/07/2020 (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (1,0 điểm) Cho 3 số dương a b c, , thỏa a b c 2020
b c a c a b
b c c a a b
Câu 2 (2,5 điểm)
a) Giải phương trình 2x2 x 9 2x2 x 1 x 4
b) Giải hệ phương trình
Câu 3 (1,5 điểm) Cho tam giác ABC AB BC CA nội tiếp đường tròn O Từ A kẻ đường thẳng
song song với BC cắt O tại A1 Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt O tại B1 Từ
C kẻ đường thẳng song song với AB cắt O tại C1 Chứng minh rằng các đường thẳng qua A1
, B1, C1 lần lượt vuông góc với BC, CA, AB đồng quy
Câu 4 (2,0 điểm)
2 2
a b
b) Cho hai số dương a b, thỏa mãn điều kiện a b 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q b a 20 7
Câu 5 (2,0 điểm) Đường tròn I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB BC CA, , lần lượt
tại D E F, , Kẻ đường kính EJ của đường tròn I Gọi d là đường thẳng qua A song song với BC Đường thẳng JD cắt d BC, lần lượt tại L H,
a) Chứng minh E F L, , thẳng hàng
b) JA JF, cắt BC lần lượt tại M K, Chứng minh MH MK
Câu 6 (1,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyen dương ,x y thỏa mãn phương trình 3xy31
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2LỜI GIẢI CHI TIẾT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM
(Đề thi gồm 02 trang)
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2020-2021
MÔN THI: TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 17/07/2020 (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề) Trần Hùng Quân – Lê Hợp – Việt Dũng – Phạm Tuấn Hùng – Trần Thế Anh – Phạm Thụ – The Scape – Nguyễn Vui – Lê Hường – Nguyễn Trí Chính - Tạ Thị Huyền Trang –Ngô Vĩnh Phú – Hoàng Dương - Bùi Sỹ Khanh - Deffer Song – Trương Vũ Đạt – Thúy Lê – Võ Trang – Ngonguyen Quocman
Câu 1 (1,0 điểm) Cho 3 số dương a b c, , thỏa a b c 2020
b c a c a b
b c c a a b
Lời giải
Ta có
:
b c c a a b
1
1
1 2020 1 2019
b c a c a b
Câu 2 (2,5 điểm)
a) Giải phương trình 2x2 x 9 2x2 x 1 x 4
b) Giải hệ phương trình
Lời giải
a) Giải phương trình 2x2 x 9 2x2 x 1 x 4 1
Phương trình 1 2 2x2 x 9 2x2 x 1 2x 8 2x2 x 9 2x2 x 1
2x2 x 9 2x2 x 1 2x2 x 9 2x2 x 1 2 0
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 32 2 2
2
4 2x x 1 4 2x
2
2
0
2
2
2
4
x
2
2 x
2
0 ( t/m) 7 ( t/m) 8
x x
x
Vậy tập nghiệm của phương trình là 0; 7
8
S
Lấy 2 1 ta được
3
2xy x 5x
2
0
x
+) Với x thì hệ phương trình có nghiệm 0 y 1
+) Với 2y x2 thì phương trình 5 1 trở thành
4 4 3 22 2 4 21 0
x2 1 x 3x 7 0
1
7
x
x
1 1 3 7
x x x x
+) Với x 1 y 3
+) Với x 1 y 3
+) Với x 7 y 27
+) Với x 3 y 7
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x y; 1;3 , 1;3 , 7; 27 , 3;7
Trang 4Câu 3 (1,5 điểm) Cho tam giác ABC AB BC CA nội tiếp đường tròn O Từ A kẻ đường thẳng
song song với BC cắt O tại A1 Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt O tại B1 Từ
C kẻ đường thẳng song song với AB cắt O tại C1 Chứng minh rằng các đường thẳng qua A1
, B1, C1 lần lượt vuông góc với BC, CA, AB đồng quy
Lời giải
Cách 1 Gọi A2, B2, C2 lần lượt là giao điểm của các đường thẳng qua A1, B1, C1 lần lượt vuông góc với BC, CA, AB với đường tròn O
Theo giả thiết ta có AA1 BC, BB1 AC và CC1 AB
AA1A A1 2, BB1B B1 2, CC1C C1 2
AA2, BB2, CC2 là các đường kính của đường tròn O
BC B C2 2 , AC A C2 2 , BAB A2 2 là các hình bình hành (2 đường kính của đường tròn cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
B C2 2 BC, B A2 2 AB, A C2 2 AC
B C2 2 A A1 2 B A2 2C C1 2, A C2 2B B1 2
Ba đường thẳng A A1 2, B B1 2, C C1 2 là các đường cao của tam giác A B C2 2 2
Cách 2
A2
O
B2
A1
B1
C2
C1 C A
B
Trang 5Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và OH cắt đường thẳng qua A1, vuông góc với BC ở điểm K Gọi M là trung điểm AA1 thì OM AA1 Suy ra OM BC
Mặt khác, tứ giác AHKA1 là hình thang vì AH A K// 1 nên ta có OM là đường trung bình, kéo theo O là trung điểm HK hay nói cách khác, đường thẳng qua A1, vuông góc với BC sẽ đi qua điểm đối xứng với trực tâm H của tam giác ABC qua O
Rõ ràng điểm này bình đẳng với B C, nên hai đường qua B C1, 1 lần lượt vuông góc với CA AB,
cũng đi qua K Vì thế nên ta có các đường thẳng của đề bài đồng quy ở K
Câu 4 (2,0 điểm)
2 2
a b
ab
b) Cho hai số dương a b, thỏa mãn điều kiện a b 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q b a 20 7
Lời giải
2 2
a b
ab
2 2
2
2 2
a b
2 2 2
2 2
a b
Vậy ta có điều phải chứng minh
b) Ta có b 1 2 b.1 2
M
K O
H
A1
C B
A
Trang 6Vậy min Q16 xảy ra khi
1
1 4
2 3
b b
b a
a a
a b
Câu 5 (2,0 điểm) Đường tròn I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB BC CA, , lần lượt
tại D E F, , Kẻ đường kính EJ của đường tròn I Gọi d là đường thẳng qua A song song với BC Đường thẳng JD cắt d BC, lần lượt tại L H,
a) Chứng minh E F L, , thẳng hàng
b) JA JF, cắt BC lần lượt tại M K, Chứng minh MH MK
Lời giải
a) Ta có ALD DHC d BC ||
DEJ DHC (cùng phụ với DJE)
ADL DEJ (cùng chắn JD)
Suy ra ALD ADL ADL cân tại A
Suy ra AD AL, mà ADAF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) suy ra ALAF
2
LAF
2
C
Suy ra CFE AFL
; ;
E F L
Do d BC// A1C1
b) KF cắt d tại P
Ta có AL HB// suy ra AL HB
Tam giác HDE vuông tại D suy ra HB BD AL AD
Chứng minh tương tự câu a ta có APAF
Trang 7Suy ra AP AL Áp dụng định lí Thales ta có
Câu 6 (1,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyen dương ,x y thỏa mãn phương trình 3xy31
Lời giải
Ta có 3x y3 1 y1 y2 y 1
Do đó, tồn tại các số tự nhiên u , v sao cho 2 1 3
1 3
u
v
y
Vì y 1 1 nên 3u 1 hay u1 Rút y3u1, thay vào phương trình dưới, ta có:
3u1 3u 1 1 3v
2
3u 3.3u 3 3v
3u 3u 1 3v
Vì vế phải nguyên nên ta phải có v 1 0 hay v1
Tuy nhiên, nếu v 1 0 thì 3v 1 chia hết cho 3, trong khi vế trái không chia hết cho 3, vô lý
Do đó v1 hayy2 y 1 3 y2 y 2
Giải ra được, y2
Thay vào đề bài, ta được 3x y3 1 9 nên x2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x y; 2; 2