Mặt phẳng (P) đi qua I và cắt các cạnh bên của khối hộp chia khối hộp đó thành hai khối đa diện. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của AC và BE.. a) Tính thể[r]
Trang 1Giải SBT Toán 12: Đề kiểm tra - Chương 1 Khối đa diện
Đề 1 trang 23 Sách bài tập (SBT) Hình học 12
ĐỀ 1 (45 phút)
Câu 1 (4 điểm) trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ Chứng minh hai tứ diện ABCB’ và AA’D’B’ bằng nhau
Hướng dẫn làm bài
Ta có A′B AB′, A′B B′C′ => A′B (ADC′B′) Để ý rằng A’B cắt (ADC’B’)⊥AB′, A′B⊥B′C′ => A′B⊥(ADC′B′) Để ý rằng A’B cắt (ADC’B’) ⊥AB′, A′B⊥B′C′ => A′B⊥(ADC′B′) Để ý rằng A’B cắt (ADC’B’) ⊥AB′, A′B⊥B′C′ => A′B⊥(ADC′B′) Để ý rằng A’B cắt (ADC’B’) tại trung điểm M của nó, do đó A’ và B đối xứng với nhau qua mặt phẳng (ADC’B’)
Tương tự, D’ và C đối xứng với nhau qua mặt phẳng (ADC’B’) Phép đối xứng qua mặt phẳng (ADC’B’) biến tứ diện ABCB’ thành tứ diện AA’D’B’ nên hai
tứ diện đó bằng nhau
Câu 2 (6 điểm) trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy là điểm H sao cho: AH→=1/3AC→, SH=4/3a a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Gọi AI là đường cao của tam giác ASC Chứng minh rằng I là trung điểm của
SC và tính thể tích khối tứ diện ABSI
Hướng dẫn làm bài
Trang 2a) Thể tích hình chóp S.ABCD bằng: 1/3a2.4/3a=4a3/9
b) Ta có AS2=AH2+SH2=(a√2/3)2+16a2/9=2a2=AC2
Do đó tam giác ASC cân ở A Suy ra I là trung điểm của SC
VABSI=VS.ABI=1/2VS.ABC=1/4VS.ABCD=a3/9
Đề 2 trang 23 Sách bài tập (SBT) Hình học 12
ĐỀ 2 (45 phút)
Câu 1 (4 điểm) trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC
a) Chứng minh A’B’C’D’ cũng là một khối tứ diện đều
b) Tính VA’B’C’D’ theo a
Hướng dẫn làm bài
Trang 3a) Gọi E là trung điểm của CD Khi đó EB′/EA=EA′/EB
Suy ra B’A’ // AB và B′A′=1/3AB=1/3a
Tương tự các cạnh khác của tứ diện A’B’C’D’ cũng bằng 1/3a nên A’B’C’D’ là một khối tứ diện đều
b) Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD)
Vì AB = AC = AD nên HB = HC = HD Suy ra: H≡A′
Ta có:
VABCD=1/3.1/2a2√3/2.a√2/√3=a3√2/12
Vì tứ diện A’B’C’D’ đồng dạng với tứ diện ABCD với tỉ số đồng dạng là k=1/3, nên VA′B′C′D′=1/27VABCD=√2/324.a3
Câu 2 (6 điểm) trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân ở B, mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = 3a, AA’ = 5a, ˆA′BC=600 a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABB’A’)
Hướng dẫn làm bài
Trang 4a) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A’ đến (ABC).
Vì (A′BC) (ABC) nên H thuộc đường thẳng BC Vì AB BH nên AB BA′⊥AB′, A′B⊥B′C′ => A′B⊥(ADC′B′) Để ý rằng A’B cắt (ADC’B’) ⊥AB′, A′B⊥B′C′ => A′B⊥(ADC′B′) Để ý rằng A’B cắt (ADC’B’) ⊥AB′, A′B⊥B′C′ => A′B⊥(ADC′B′) Để ý rằng A’B cắt (ADC’B’)
Ta có:
A′H=A′Bsin600=4a√3/2=2√3a
VABC.A′B′C′=9a2/2.2a√3=9√3a3
b) Ta có: VA′.ABC=1/3VABC.A′B′C′=3√3a3
SABA′=1/2A′B.AB=1/24a.3a=6a2
Vì VA′.ABC=VC.ABA′=1/3SABA′.d(C,(ABA′))
⇒d(C,(ABA′))=3VA′.ABC/SABA′=9√3a3/6a2=3√3a/2
Chú ý: Có thể giải câu b) bằng cách khác như sau:
{(A′BC) (ABC);AB BC AB (A′BC)⊥AB′, A′B⊥B′C′ => A′B⊥(ADC′B′) Để ý rằng A’B cắt (ADC’B’) ⊥AB′, A′B⊥B′C′ => A′B⊥(ADC′B′) Để ý rằng A’B cắt (ADC’B’) ⇒ ⊥AB′, A′B⊥B′C′ => A′B⊥(ADC′B′) Để ý rằng A’B cắt (ADC’B’)
⇒(ABB′A′) (A′BC)⊥AB′, A′B⊥B′C′ => A′B⊥(ADC′B′) Để ý rằng A’B cắt (ADC’B’)
⇒d(C,(ABB′A′))=d(C,A′B)=BCsin600=3a√3/2
Đề 3 trang 24 Sách bài tập (SBT) Hình học 12
ĐỀ 3 (45 phút)
Trang 5Câu 1 (4 điểm) trang 24 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng V, I là giao điểm các đường chéo của nó Mặt phẳng (P) đi qua I và cắt các cạnh bên của khối hộp chia khối hộp đó thành hai khối đa diện Tính thể tích của mỗi khối đa diện đó theo V Hướng dẫn làm bài
Giả sử (P) cắt AA’, BB’, CC’, DD’ lần lượt tại A’’, B’’, C’’, D’’
Vì A’’, I, C’’ là điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (BDD’B’) nên chúng thẳng hàng Tương tự B’’, I, D’’ thẳng hàng
Vì (ABB’A’) // (DCC’D’) nên A’’B’’ // D’’C’’ Tương tự, B’’C’’ //A’’D’’ Suy ra A’’B’’C’’D’’ là hình bình hành
Mặt phẳng (P) chia khối hộp ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối đa diện Gọi (H)
là khối đa diện chứa đỉnh A, (H’) là khối đa diện còn lại Phép đối xứng qua tâm
I biến (H) thành (H’) nên hai khối đa diện (H) và (H’) bằng nhau
Từ đó suy ra: VH=VH′=V/2
Câu 2 (6 điểm) trang 24 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, SA vuông góc với đá, SA=AB=a, AD=a√2 Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của AC và BE
a) Tính thể tích tứ diện FBIC
b) Tính thể tích tứ diện SBIF
c) Tính thể tích hình chóp B.SAIF
Trang 6Hướng dẫn làm bài
a) Vì I là trọng tâm của tam giác ABD nên AI=1/3AC
Do đó: SBIC′=2/3SABC=2/3.1/2aa√2=a2√2/3
Vì F là trung điểm của SC nên: d(F,(IBC))=1/2d(S,(IBC))=a/2 Suy ra: VF.IBC=1/3.a2√2/3.a/2=√2/18.a3
b) Vì SF = CF nên d(S, (BIF)) = d(C, (BIF))
Do đó: VS.BIF=VC.BIF=VF.IBC=√2/18.a3
c) Ta có: VS.ABC=1/3.1/2a2√2.a=a3√2/6
Suy ra: VB.SAIF=VS.ABC−VF.IBC=a3√2/6−a3√2/18=√2/9.a3
Xem thêm các bài tiếp theo tại: