- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.[r]
Trang 1Giải bài tập trang 80, 81 SGK Hình học 10: Phương trình đường thẳng
I Lý thuyết phương trình đường thẳng
1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa: vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu ≠ và giá của song song hoặc trùng với ∆
Nhận xét
- Nếu là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì k (k ≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của ∆, do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết môt điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó
2 Phương trình tham số của đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0) và nhận vectơ = (u1; u2) làm vectơ chỉ phương là:
∆ :
Khi hệ số u1 ≠ 0 thì tỉ số k= được gọi là
hệ số góc của đường thẳng
Từ đây, ta có phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0) và có hệ số góc k là:
y – y0 = k(x – x0)
Chú ý: Ta đã biết hệ số góc k = tanα với góc α là góc của đường thẳng ∆ hợp với chiều dương
của trục Ox
3 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa: Vectơ được gọi là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu ≠ và vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆
Nhận xét:
- Nếu là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì k (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆, do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến
Trang 2- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.
4 Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trinh tổng quát của đường thẳng
Trường hợp đặc biết:
+ Nếu a = 0 => y = ; ∆ // Ox
+ Nếu b = 0 => x = ; ∆ // Oy
+ Nếu c = 0 => ax + by = 0 => ∆ đi qua gốc tọa độ
+ Nếu ∆ cắt Ox tại (a; 0) và Oy tại B (0; b) thì ta có phương trình đường thẳng ∆ theo đoạn chắn: + = 1
5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có phương trình tổng quát lần lượt là:
a1x + b1y + c1 = 0 và a2 + b2y + c2 = 0
Điểm M0(x0; y0) là điểm chung của ∆1 và ∆2 khi và chỉ khi (x0; y0) là nghiệm của hệ hai phương trình:
(1)
Ta có các trường hợp sau:
a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆1 cắt ∆2
b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆1 // ∆2
c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆1 = ∆2
6.Góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 900 Trường hợp ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 00 Như vậy gương giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 900
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là
Cho hai đường thẳng ∆1 = a1x + b1y + c1 = 0
∆2 = a2 + b2y + c2 = 00
Chú ý:
Trang 3+ ∆1 ∆⊥ 2 <=> n1 ⊥n2 <=> a1a2 + b1b2 = 0
+ Nếu ∆1 và ∆2 có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì
∆1 ∆⊥ 2 <=> k1.k2 = -1
7 Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng
∆ có phương trình ax + by + c = 0 và
điểm M0(x0; y0) Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng ∆ kí hiệu là (M0; ∆), được tính bởi công thức d(M0; ∆) =
II Giải bài tập trang 80, 81 SGK Hình học 10
Bài 1 trang 80 sgk hình học 10
Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a) đi qua điểm M(2; 1) và có vectơ chỉ phương = (3; 4)
b) d đi qua điểm M(-2; 3) và có vec tơ pháp tuyến = (5; 1)
Hướng dẫn giải:
Phương trình tham số: d:
b) vì = (5; 1) nên ta chọn vectơ ⊥ là
vec tơ = (1; -5)
Từ đây ta có phương trình tham số của
d:
Bài 2 trang 80 sgk hình học 10
Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) ∆ đi qua điểm M (-5; -8) và có hệ số góc k = -3
b) ∆ đi qua hai điểm A(2; 1) và B(-4; 5)
Hướng dẫn giải:
a) Phương trình của ∆ là : y + 8 = -3(x + 5) <=> 3x + y + 23 = 0
b) Đường thẳng ∆ đi qua A(2; 1) và B(-4; 5) nhận vectơ = (-6; 4) là một vectơ chỉ phương Phương trình tham số của ∆:
∆ :
Khử t giữa hai phương trình ta được
phương trình tổng quát:
∆ : 2x + 3y - 7 = 0
Trang 4Bài 3 trang 80 sgk hình học 10
Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6; 2)
a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC, và CA
b) Lập phương trinh tham số của đường thẳng AH và phương trình tổng quát của trung tuyến AM
Hướng dẫn giải:
a) Ta có = (2; -5) Gọi M(x; y) là 1 điểm nằm trên đường thẳng AB thì AM = (x - 1; y - 4)
Ba điểm A, B, M thẳng hàng nên hai vec tơ và cùng phương, cho ta:
= <=> 5x + 2y -13 = 0
Đó chính là phương trình đường thẳng AB
Tương tự ta có phương trình đường thẳng BC: x - y -4 = 0
phương trình đường thẳng CA: 2x + 5y -22 = 0
b) Đường cao AH là đường thẳng đi qua A(1; 4) và vuông góc với BC
= (3; 3) => ⊥ nên nhận vectơ = (3; 3) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát:
AH : 3(x - 1) + 3(y - 4) = 0
3x + 3y - 15 = 0
=> x + y - 5 = 0
Gọi M là trung điểm BC ta có M (; )
Trung tuyến AM là đường thẳng đi qua hai điểm A, M Theo các viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm trong câu a) ta viết được:
AM : x + y - 5 = 0
Bài 4 trang 80 sgk hình học 10
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(4; 0) và N(0; -1)
Hướng dẫn giải:
Phương trình đường thẳng MN: + = 1 => x - 4y - 4 = 0
Bài 5 trang 80 sgk hình học 10
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:
a) d 1: 4x - 10y + 1 = 0 d 2 : x + y + 2 = 0
b)d 1 : 12x - 6y + 10 = 0 d 2 :
c) d 1: 8x + 10y - 12 = 0 d 2 :
Trang 5Hướng dẫn giải:
a) Xét hệ
D = 4.1 = 10.1 = -6 ≠ 0
Vậy d1 và d2 cắt nhau
b) Tương tự, ta có: d1: 12x - 6y + 10 = 0
d2 = 2x - y - 7 = 0
D = 12 (-1) -(-6).2 = -12 + 12 = 0
Dx = (-6) (-7) - (-1) 10 = 42 + 10 = 52 ≠ 0
Vậy d1 // d2
c) Tương tự, ta có d1: 8x + 10y - 12 = 0
d2: 4x + 5y - 6 = 0
D = 8 5 - 4 10 = 0
Dx = 10 (-6) - (-12) 5 = 0
Dy = (-12) 4 - (-6) 8 = 0
Vậy d1 trùng d2
Chú ý:
1 Ta có thể thấy 8x + 10y - 12 = 0 ; <=> 4x + 5y -6 = 0
d1 và d2 cùng có phương trình là 4x + 5y -6 = 0 Vậy chúng trùng nhau
2 Ta cũng có thể giải bằng cách xét vectơ chỉ phương:
d1 có vectơ chỉ phương = (10; 4)
d2 vectơ chỉ
phương =
(2; -2)
Vì ≠
=> và
không cùng
phương
=> Vậy
d1 và d2 cắt
nhau
Bài 6 trang
Trang 680 sgk hình học 10
Cho đường thẳng d có phương trình tham số
Khi t = 1 thay vào ta
được M(4; 4)
Vậy có 2 điểm M thuộc d cách điểm A(0; 1) một khoảng bằng 5
Bài 7 trang 81 sgk hình học 10
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt có phương trình:
d 1 : 4x - 2y + 6 = 0 và d 2 : x - 3y + 1 = 0
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức cos =
ta có cos =
=> cos = = = => = 450
Bài 8 trang 81 sgk hình học 10
Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau: a) A(3; 5) ∆ : 4x + 3y + 1 = 0;
b) B(1; -2) d: 3x - 4y - 26 = 0;
c) C(1; 2) m: 3x + 4y - 11 = 0;
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức:
d(M0 ;∆) =
a) d(M0 ;∆) = =
b) d(B ;d) = = = = 3
c) Dễ thấy điểm C nằm trên đường
thẳng m: C ε m
Bài 9 trang 81 sgk hình học 10
Tìm bán kính của đường tròn tâm C(-2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng
∆ : 5x + 12y - 10 = 0
Hướng dẫn giải:
Bán kính R của đường tròn tâm C(-2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng
Trang 7∆ : 5x + 12y - 10 = 0 thì bằng khoảng cách từ C đến ∆