a, Tính các góc B, C, cạnh AC và diện tích tam giác ABC. b, Chứng minh rằng FA vuông góc với BE và CG.[r]
Trang 1Giải SBT Toán 8 bài: Ôn tập chương 2
Câu 1: Cho tam giác
ABC với ba đường cao
AA’, BB’, CC’ Gọi H
là trực tâm của tam giác đó Chứng minh rằng
Lời giải
Câu 2:
Cho tam
giác ABC
a, Tính tỉ
số đường
cao BB’,
CC’ xuất
phát từ
đỉnh B, C
b, Tại sao
nếu AB <
AC thì BB'
< CC’
Lời giải:
Câu 3:
Qua tâm
O của
hình
vuông
ABCD
cạnh a, kẻ
đường
thắng l
cắt cạnh
AB và
CD lần
lượt tại M
và N Biết
MN = b
Hãy tính
tổng các
khoảng
cách từ
các đỉnh
của hình
vuông đến đường thẳng l theo a và b (a và b có cùng đơn vị đo) Lời giải:
Trang 2Gọi h1 và h2
là khoảng
cách từ đỉnh
B và đỉnh A
đến đường
thẳng l
Tổng khoảng
cách là S
Vì O là tâm
đối xứng của
hình vuông
nên OM =
ON (tính chất
đối xứng tâm)
Suy ra AM = CN
Mà: (AMP) = (DNS) (đồng vị)∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị) ∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị)
∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị)(DNS) = (CNR) (đôi đỉnh)∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị)
Suy ra: (AMP) = (CNR)∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị) ∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị)
Suy ra: ΔAPM = ΔCRN (cạnh huyền, góc nhọn)APM = ΔAPM = ΔCRN (cạnh huyền, góc nhọn)CRN (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ CR = AP = h2
AM = CD BM = DN⇒
∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị)(BMQ) = (DNS) (so le trong)∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị)
Suy ra: ΔAPM = ΔCRN (cạnh huyền, góc nhọn)BQM = ΔAPM = ΔCRN (cạnh huyền, góc nhọn)DSN (cạnh huyền, góc nhọn) DS = BQ = h1⇒
SBOA = 1/4 SAOB = 1/4 a2 (l)
SBOA = SBOM + SAOM = 1/2 b/2 h1 + 1/2 b/2 h2
Từ (1) va (2) suy ra h1 + h2 = a2b Vậy : S = 2(h1 + h2) = 2a2b
Câu 4: Tam giác ABC có hai trung tuyến AM, BN vuông góc với nhau Hãy
tính diện tích tam giác đó theo AM và BN
Lời giải:
Tứ giác ẠBMN
có hai đường
chéo vuông góc
Ta có: SABMN =
1/2 AM.BN
ΔAPM = ΔCRN (cạnh huyền, góc nhọn) ABM và ΔAPM = ΔCRN (cạnh huyền, góc nhọn)
AMC có chung
chiều cao kể từ
A, cạnh đáy BM
= MC nên: SABM
= SAMC = 1/2
SABC
ΔAPM = ΔCRN (cạnh huyền, góc nhọn)MNA và ΔAPM = ΔCRN (cạnh huyền, góc nhọn)MNC có chung chiều cao kê từ M, cạnh đáy AN = NC nên: SMAN =
SMNC = 1/2 SAMC = 1/4 SABC
SABMN = SABM + SMNA = 1/2 SABC + 1/4 SABC = 3/4 SABC
Vậy SABC = 4/3 SABMN = 4/3 1/2 AM.BN = 2/3 AM.BN
Trang 3Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A và có BC = 2AB, AB = a Ở phía ngoài
tam giác, ta vẽ hình vuông BCDE, tam giác đều ABF và tam giác đều AGC
a, Tính các góc B, C, cạnh AC và diện tích tam giác ABC
b, Chứng minh rằng FA vuông góc với BE và CG Tính diện tích các tam giác FAG và FBE
c, Tính diện tích tứ giác DEFCL
Lời giải:
a, Gọi M là
trung điểm
của BG, ta
có:
AM = MB
= 1/2 BC =
a (tính chất
tam giác
vuông)
Suy ra MA
= MB =
AB = a
Suy ra
ΔAPM = ΔCRN (cạnh huyền, góc nhọn)AMB đều (ABC) = 60⇒ ∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị) o
Mặt khác: (ABC) = (ACB) (tính chất tam giác vuông)∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị) ∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị)
Suy ra: (ACB) = 90∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị) o - (ABC) = 90∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị) o – 60o= 30o
Trong tam giác vuông ABC, theo Pi-ta-go, ta có: BC2 = AB2+ AC2
⇒ AC2 = BC2 - AB2 = 4a2 - a2 = 3a2 AC = a√3⇒
Vậy SABC =
1/2 AB.AC =
b, Ta có: (FAB)∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị)
= (ABC) = 60∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị) o
FA // BC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
BC BE (vì BCDE là hình vuông)⊥ BE (vì BCDE là hình vuông)
Suy ra: FA BE⊥ BE (vì BCDE là hình vuông)
BC CD (vì BCDE là hình vuông)⊥ BE (vì BCDE là hình vuông)
Suy ra: FA CD⊥ BE (vì BCDE là hình vuông)
Gọi giao điểm BE và FA là H, FA và CG là K
⇒ BH FA và FH = HA = a2 (tính chất tam giác đều)⊥ BE (vì BCDE là hình vuông)
∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị)(ACG) + (ACB) + (BCD) = 60∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị) ∠(AMP) = ∠(DNS) (đồng vị) o + 30o + 90o = 180o
⇒ G, C, D thẳng hàng
⇒ AK CG và GK = KC = 1/2 GC = 1/2 AC = (a√3)/2⊥ BE (vì BCDE là hình vuông)