- Nhận xét về tính đúng sai của hai mệnh đề đảo đó. Định lý thuận và đảo có thể viết gộp thành một định lý “”.. Tóm tắt lại các kiễn thức đã học trong bài. Nhắc nhở HS làm bài tập về nhà[r]
Trang 1Chương 1: MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
§1: MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN
I Mục tiêu
1 Về kiến thức
-Nắm được khái niệm mệnh đề, nhận biết được một câu có phải là mệnh đề (theo ý nghĩa toán học) hay không?
- Nắm được các khái niệm mệnh đề phủ định, kéo theo, tương đương
2 Về kỹ năng
- Biết lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề, lập mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương từ hai mệnh đề đã cho và xác định được tính đúng - sai của các mệnh đề này
∀∃ - Biết chuyển mệnh đề chứa biến thành mệnh đề bằng cách: hoặc an cho biến một giá trị cụ thể trên miền xác định của chúng, hoặc gán các kí hiệu và vào phía trước nó
∀∃ - Biết sử dụng các kí hiệu và trong các suy luận toán học
∀∃ - Biết cách lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề chứa kí hiệu và
3 Về thái độ
Nghiêm túc, nề nếp, tích cực tham gia xây dựng bài
II Chuẩn bị phương tiện dạy hoc
GV: phiếu học tập, giáo án, phấn
HS: SGK, vở ghi
Phương pháp: vấn đáp
III Nội dung bài học
Hoạt động 1: Mệnh đề là gì?
Hoạt động 2: Mệnh đề phủ định Hoạt động 3: Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo
Hoạt động 4: Mệnh đề tương đương
Hoạt động 5: Khái niệm mệnh đề chứa biến
∀∃ Hoạt động 6: Các kí hiệu và
∀∃ Hoạt động 7: Mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu,
Trang 2IV Tiến trình bài học
Tiết 1
Hoạt động 1: Mệnh đề là gì?
VD1: yêu cầu nhận xét
Những câu nào khẳng định là
đúng, câu nào khẳng định là sai
+ Gọi HS cho một vài ví dụ và
nhận xét
+ phát biểu thế nào là mệnh đề
logic?
xem VD1- SGK trang 4
Mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai
+ Đọc chú ý – SGK trang
4
ĐN: SGK trang 4
*) Chú ý
Câu cảm thán, câu hỏi không phải mệnh đề VD?
Hoạt động 2: Mệnh đề phủ định
1 VD2: Nhận xét 2 bạn
trong tranh làm gì?
+ Muốn phủ định đúng
thành câu khẳng định sai
thì làm thế nào?
2 Gọi 1 HS cho một
mệnh đề và 1 HS khác
phủ định mệnh đề đó
H1:
Áp dụng làm BT2a).
Xem VD2 (tranh vẽ SGK)
- Muốn phủ định một câu đúng (P) thành câu khẳng định sai có thể diễn đạt “không phải P”
HS hoạt động theo nhóm
Cho ví dụ tương tự vd2
H1:
a) “Pari không phải là thủ đô của
nước Anh” Đây là MĐPĐ đúng
b) “2002 không chia hết cho 4”.
MĐPĐ này đúng
x x BT2a:“Phương trình
vô nghiệm” MĐPĐ sai
Định nghĩa: SGK tr 5.
P Kí hiệu:
VD: P: Hà Nội là thủ
đô của nước Pháp
P : Hà Nội không phải
thủ đô của nước Pháp
P P Nếu P đúng thì
sai còn nếu P sai thì đúng
Trang 3Hoạt động 3: Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo
Gọi HS cho ví dụ về mệnh đề kéo
theo Nhận xét xem đúng hay sai
Dựa vào tính đúng sai của MĐ kéo
theo có thể cho HS bảng giá trị chân
lý Bảng giá trị chân lý: nếu quy ước
nếu P đúng thì P nhận giá trị là 1, còn
nếu P sai thì P nhận giá trị bằng 0
VD4: sgk 5
P Q Q P+) Cho vd mệnh đề
yêu cầu cả lớp lập mệnh đề
HS đọc VD3 và nêu định nghĩa
Dựa vào mệnh đề kéo theo đúng – sai từ đó rút
ra kết luận về tính đúng sai của mệnh đề kéo theo
HS rút ra kết luận,
P QVD4: a) Dựa vào
tình huống P đúng, Q
đúng khi đó là đúng.
P Qb) P đúng, Q sai
khi đó là sai.
VD: Nếu tứ giác có hai
đường chéo vuông góc thì tứ giác đó là một hình thoi
Định nghĩa: sgk trang 5.
Q P P QMện
h đề đảo: Mệnh đề
là mệnh đề đảo của
mệnh đề
Hoạt động 4: Mệnh đề tương đương.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung kiến thức
Xem vd6 và nhận xét:
P Q Q P ? ? Nếu viết “P nếu
và chỉ nếu Q” thì được gọi là một
MĐ tương đương
*) Thành lập mệnh đề tương đương
với mệnh đề sau:
P: “tam giác ABC là tam giác đều”
0
60 Q:” tam giác ABC có hai trung
Đọc VD6
HS thảo luận và rút ra nhận xét
PQ 0
60 : “ Tam giác ABC là tam giác đều nếu
và chỉ nếu tam giác ABC
có hai trung tuyến bằng
Định nghĩa: sgk 5
PQ Kí hiệu:
P QĐôi khi người
ta cũng phát biểu mệnh
đề là “P khi và chỉ khi
Q”.
P QMệnh đề đúng nếu cả hai mệnh đề P
Trang 4tuyến bằng nhau và có một góc
bằng
GV ghi kết luận lên bảng
H3: a) Giống ví dụ trên
P Qb)i) “Vì 364 và 363 nên
3612”.
Q P36 4 “Vì 3612 nên và
363”.
P Q “ 364 và 363 nếu và
chỉ nếu 3612”.
ii) P: mệnh đề đúng
Q: mệnh đề đúng
P Q mệnh đề đúng
nhau và có một góc bằng
”
P Q Q P là mệnh
đề đúng và là mệnh đề đúng
PQnên là MĐ đúng
HS ghi định nghĩa
HS nhận xét tính đúng sai của mệnh đề tương đương
và Q cùng đúng hoặc cùng sai Khi đó, ta nói rằng hai mệnh đề P và
Q tương đương với nhau
P Q Sai khi P sai
và Q đúng hoặc P đúng
và Q sai
Tiết 2
Hoạt động 5: Khái niệm mệnh đề chứa biến.
Giảng VD7
(1): “ n3” với n là số tự nhiên
(2): “y>x+3” với x, y là 2 số thực
(1), (2) là những câu chứa một hay nhiều
biến nhận giá trị trong một tập hợp X nào
đó
tính đúng sai của chúng tuỳ thuộc vào giá
trị cụ thể của các biến đó
*) MĐ chứa biến chính là những ptrình,
bpt
1
2H4: P(x): “ x > x2 với x là số thực”.
Hỏi mệnh đề P(2) và P()đúng hay sai
HS xem vd7 SGK 7
HS nhắc lại mệnh đề chứa biến
H4: P(x): “ x > x2 với x
là số thực”
P(2) : “2 > 4” là MĐ sai
1
4 1212P(): “ > ” là MĐ đúng
HS nêu ví dụ
(1): “ n3” với n là
số tự nhiên
(2): “y>x+3” với x,
y là 2 số thực Các kiểu câu như câu (1); (2) đgl những mệnh đề chứa biến
⇒VD: “n chia hết
cho 5: với n là số
tự nhiên; “x < 6x2
< 36 với x là số thực;
∀∃ Hoạt động 6: Các kí hiệu và.
Trang 5Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi
∀∀a) Kí hiệu:
“Với mọi xX, P(x) đúng”
(hay “P(x) đúng với mọi
xX”) Để xác định tính
đúng sai của mệnh đề
“xX, P(x)” ta phải kiểm
tra xem với tất cả các giá
trị của xX, P(x) có đúng
hay không
0
x x ∀+ Nếu phát0
hiện được một giá trị X
sao cho P() sai thì MĐ
“xX, P(x)” là sai
0
x ∀+ Nếu không phát
hiện một nào như vậy thì
MĐ “xX, P(x)” là đúng
VD8: sgk 7
H5: Hoạt động cả lớp.
∃b) ký hiệu
∃H6: n N: Q(n) “2 n là
mệnh đề đúng Vì n = 3 thì
2 3 – 1 = 7 là số nguyên
tố
3
, (3) 2 1 9
n N P
, ( )
x R P x
x R VD8: a)
P(x): “” với x là số thực khi
đó MĐ “” đúng vì với bất
kì , P(x) đều đúng
2n 1
n N P n, ( )
3
(3) 2 1 9
P b) P(n): “
là số nguyên tố” Với n là
số tự nhiên Khi đó MĐ: “”
sai vì “”không là số nguyên
tố nên MĐ này sai
H5: MĐ sai.
∀ ∀∃P(n): “n(n+1) là số lẻ”
với n là số nguyên Mệnh
đề “n Z, P(n)” là mệnh đề sai + Yêu cầu HS tìm kí hiệu và gán vào mệnh đề chứa biến để được mệnh đề đúng
∀∀a) Kí hiệu (lượng
từ mọi): Kí hiệu: “xX,
P(x)”
∀kí hiệu đọc là “mọi”
∃b) Kí hiệu
(lượng từ tồn tại)
∃KH: “ xX, P(x)” (1).
0
x X x (1) đúng nếu có0
để P() là mệnh đề đúng
0
x x (1) Sai nếu với bất0
kì thuộc X, P() là mệnh
đề sai
∃Kí hiệu đọc là “tồn tại”
VD9 – sgk 8
∀∃Hoạt động 7: Mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu,
Trang 6H7: Hoạt động nhóm.
Nêu ví dụ phủ định
mệnh đề
∀+ VD1: xR :
x2 > x + 1 là gì ?
x2 x 1∃+ VD2:
xZ: là một số lẻ
H7: HS hoạt động theo
nhóm
x2 x 1∃VD1: x R:
x2 x 1∀VD2: Phủ
định là: xZ: là một số chẵn
Nhắn nhở HS phủ định của tất cả
là có một từ đó HS tìm phủ định với mọi là tồn tại
Định nghĩa: Cho mệnh đề chứa
biến P(x) với xX.
( )P x ∀∃ Mệnh đề phủ định của mệnh đề “xX, P(x)” là “xX,
”.
( )P x ∃∀Mệnh đề phủ định của mệnh đề “xX, P(x)” là “xX,
”.
V- Củng cố:
Yêu cầu HS phải lập được các mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương, phủ định mệnh đề có chứa biến
Nhắc nhở HS làm bài tập về nhà BT2 đến BT5 – sgk 9
§2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC (2tiết).
Trang 7I Mục tiêu
1 Về kiến thức
- Hiểu rõ phương pháp suy luận toán học
- Nắm vững các phương pháp chứng minh trực tiếp và chứng minh bằng phản chứng
- Biết phân biệt giả thiết và kết luận của định lý
- Biết phát biểu mệnh đề đảo, định lý đảo, biết sử dụng các thuật ngữ “điều kiện cần”,
“điều kiện đủ”, “điều kiện cần và đủ” trong phát biểu toán học
2 Về kỹ năng
Chứng minh được một số mệnh đề bằng phương pháp phản chứng
3 Về tư duy
Góp phần bồi dưỡng tư duy logic và năng lực tìm tòi sáng tạo
4 Về thái độ
Nề nếp, nghiêm túc, tích cực xây dựng bài
II Chuẩn bi của giáo viên và của học sinh
Chuẩn bị của GV: bài soạn, phấn,
Chuẩn bị của HS: sgk, vở ghi, đồ dùng học tập và các kiến thức đã học có liên quan Phương pháp: Vấn đáp, gợi mở vấn đề
III Kế hoạch bài học
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ
Hoạt động 2: Định lý và chứng minh định lý
Hoạt động 3: Điều kiện cần và điều kiện đủ
Hoạt động 4: Định ý đảo, điều kiện cần và đủ
III Tiến trình bài học
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ
Yêu câu HS nhắc lại mệnh đề, mệnh đề phủ định, kéo theo, tương đương
Hoạt động 2: Định lý và chứng minh định lý.
-VD1 – sgk 10
r R
r 2 2 0 VD: “,
- VD1 – sgk 10 Yêu cầu HS phát biểu một vài định lý
- Có định lý không phát biểu
, ( ) ( )
x X P x Q x
lý : sgk 10 “” (1) trong đó
P(x) và Q(x) là những mệnh
Trang 8nếu r là số hữu tỷ thì ”
- Thử đưa ra nhận xét về
sự giống nhau giữa các
định lý đó
- Phát biểu lại các cách
chứng minh định lý
- Chứng minh định lý
trong VD1-sgk bằng
cách chứng minh trực
tiếp
- Chứng minh đlý trong
vd2-sgk bằng cách
chứng minh phản chứng
k N H1: Giả sử 3n +2
lẻ và n = 2k () Khi đó
3n + 2 = 6k + 2 = 2(3k +
1) chẵn (mâu thuẫn) suy
ra đpcm
ở dạng (1) ví dụ: “Có vô
số số nguyên tố”
2 VD: phát biểu định lý “là
số vô tỷ” dưới dạng (1)?
- Điều chỉnh và xác nhận các nhận xét của HS
*) CM định lý
x X P x( ) Q x( ) x X
-CM trực tiếp ta cần chứng tỏ
với , đúng Lấy tuỳ ý mà
P(x) đúng (vì P(x) sai thì dù Q(x) đúng hay sai thì P(x)
vẫn đúng)
-CM phản chứng:
k N MĐPĐ của dạng (1):
để đi đến mâu thuẫn: (2) sai
do đó (1) đúng
H1?
đề chứa biến, X là một tập hợp nào đó.
*) Chứng minh định lý:
có 2 cách: trực tiếp và gián tiếp bằng phản chứng
- Chứng minh trực tiếp
( ) ( )
P x Q x x X Khi đó việc chứng minh MĐ đúng tương đương với việc chứng minh mà P(x) đúng thì Q(x) đúng
- Chứng minh gián tiếp:
0
x X P x( )0 Q x + Giả sử( )0 tồn tại , đúng sai, tức là (1) sai
+ Dùng suy luận và kiến thức toán học đã học để đi đến mâu thuẫn suy ra đpcm
Hoạt động 3: Điều kiện cần và điều kiện đủ.
- Trả lời vai trò của
P(x), Q(x)
- Phát biểu một vài
định lý và phát biểu lại
bằng cách sử dụng
- Đặt câu hỏi trong đlý P(x), Q(x) có vai trò gì?
- HS phát biểu một đlý và phát biẻu lại bằng thuật ngữ
“điều kiện cần”, “điều kiện
, ( ) ( )
x X P x Q x
lý: “”
P(x) được gọi là giả thiết và Q(x) là kết luận của định lý.
Trang 9điều kiện cần và điều
kiện đủ
H2: P(n):“n chia hết
cho 24”
Q(n): “ n chia hết cho
8”
đủ”
- Điều chỉnh và xác nhận lai các phát biểu của HS
- Lưu ý một điều kiện nào là
dủ nhưng không là điều kiện cần hoặc ngược lại
H2?
VD: Điều kiện: “tứ giác có 2
đường chéo bằng nhau” là
điều kiện cần để tứ giác đó là
HCN
+ Điều kiện “tứ giác có 4 góc
bằng nhau” là điều kiện đủ
để tứ giác nội tiếp được
- P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)
- Q(x) là điều kiện cần để có P(x)
VD: HS điền từ thích hợp vào
dấu “ ” và giải thích?
+ Điều kiện để tứ giác là HCN là tứ giác có 2 đường chéo bằng nhau
+ Điều kiện để một tứ giác lồi nội tiếp là tứ giác có 4 góc bằng nhau
Hoạt động 4: Định ý đảo, điều kiện cần và đủ.
Hoạt động của HS Hoạt động của GV Nội dung ghi
- Phát biểu mệnh đề
đảo của đlí (1)
- Phát biểu mệnh đề
đảo của hai ví dụ
- Nhận xét về tính
đúng sai của hai mệnh
đề đảo đó
- Yêu cầu HS phát biểu mệnh đề đảo của đlý (1)
- Nhận xét về tính đúng sai của hai mệnh đề đảo đó
- Xét cụ thể hai VD ở phần trên
- Nhận xét về tính đúng sai của hai mệnh đề đảo đó
- Điều chỉnh và xác nhận các nhận xét của HS
, ( ) ( )
x X P x Q x
∀ x ∈ X ,Q(x )⇒ P (x)MĐ đảo của
định lý dạng (1):“” (2) MĐ (2) có thể đúng hoặc sai Nếu mệnh đề
(2) đúng thì nó được gọi là định
lý đảo của định lý dạng (1) Lúc
đó định lý dạng (1) sẽ được gọi là
định lý thuận Định lý thuận và
đảo có thể viết gộp thành một định lý “” Khi đó, ta nói: P(x) là
điều kiện cần và đủ để có Q(x).
IV Củng cố:
Tóm tắt lại các kiễn thức đã học trong bài
Trang 10Nhắc nhở HS làm bài tập về nhà SGK trang 12.
*) Hướng dẫn HS làm BT
Bài 8, 9 HS hiểu đk thế nào là đk cần nhưng chưa đủ hoặc ngược lại
Bài 8: “Điều kiện đủ để tổng a + b là số hữu tỷ là cả hai số a, b đều là số hữu tỷ”
Chú ý: Đk này là đk đủ nhưng không cần vì :
2 1
a b 2 1 Chẳng hạn với ; thì a + b = 2 là số hữu tỷ nhưng a, b đều là số vô tỷ.
Bài 9: Điều kiện cần “để một số chia hết cho 15 là nó chia hết cho 5”
Chú ý: Đk này không đủ vì chia hết cho 5 chưa chắc đã chia hết cho 15
VD” 10 chia hết cho 5 nhưng 10 không chia hết cho 15
2
n N n n Bài 11: CM: “nếu thì ” 5
Gợi ý: Chứng minh bằng phản chứng CM bằng phản chứng gồm những bước gì?
Chứng minh:
2
n N n n5k1;n5k2 Giả sử thì n không chia hết cho 5 suy ra
5 1
n k k N n2 25k210k 1 5 (5k k2) 1 + Nếu () ta có không chia hết cho 5 (1)
5 2
n k k N n2 25k220k 4 5 (5k k4) 4 + Nếu () ta có không chia hết cho 5 (2).
2
n N n Từ (1), (2) mâu thuẫn với do đó ta có đpcm
Bài 1.19 SBT 10 Cho các MĐ chứa biến
P(n): “n là số chẵn” và Q(n): “7n+4 là số chẵn”
" n N P n, ( ) Q n( )" n Na) MĐ : “, n là số chẵn thì 7n + 4 là số chẵn”
Chứng minh:
nếu n chẵn thì 7n cũng là số chẵn suy ra 7n + 4 là số chẵn vì tổng của hai số chẵn là số chẵn.
b) Định lý đảo: “Mọi số tự nhiên n, nếu 7n + 4 là số chẵn thì n chẵn”.
Chứng minh:
Nếu 7n + 4 chẵn, đặt 7n + 4 = 2k 7n = 2k – 4 chẵn Vì 7n chẵn nên n chẵn.
c) Gộp định lý thuận và định lý đảo: “ Với mọi số tự nhiên n, n chẵn khi và chỉ khi 7n + 4 là
số chẵn”
Bài 1.22+1.23 SBT 10 Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để phát biểu định
lý sau:
Trang 11a) Điều kiện đủ để hai tam giác đồng dạng là hai tam giác đó bằng nhau
b) Điều kiện đủ để một hình thang là hình thang cân là hai đường chéo của nó bằng nhau c) Tam giác ABC là cân tại A điều kiện đủ để đường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ABC cũng là đường cao.
d) Để một số nguyên dương lẻ biểu diễn thành tổng của hai số chính phương điều kiện
cần là số đó có dạng 4k + 1.
e) m2n2 Cho m, n là hai số nguyên dương Điều kiện cần để là số chính phương là tích
mn chia hết cho 12.
Bài 1.24 SBT 11
m n Định lý đảo: “Nếu m, n là hai số nguyen dương và chia hết cho 3 thì cả m và n đều
chia hết cho 3”
Chứng minh:
m n +) nếu một trong hai số m hoặc n không chia hết cho 3 thì tổng không chia hết cho 3
" n N P n, ( ) Q n( )" m2n2+) vai trò của m, n là như nhau nên ta giả sử m, n đều không
chia hết cho 3 khi đó ta đặt chia cho 3 đều dư 1 nên chia cho 3 dư 2
m n Vậy điều giả sử m, n đều không chia hết cho 3 là sai do đó chia hết cho 3 khi cả hai số
m, n đều chia hết cho 3.
m n Vậy: “Cho hai số m, n nguyên dương Điều kiện cần và đủ để chia hết cho 3 là cả hai
số m, n đều chia hết cho 3”