luận văn thạc sĩ bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học chủ đề tổ hợp – xác suất đại số và giải tích 11 – THPT

Luận văn hệ thống hóa được cơ sở lý luận của năng lực giải quyết vấn đề, xây dựng được một số biện pháp dạy học chủ đề “Phương trình lượng giác”theo định hướng phát triển năng lực giải q

HUỲNH DIỄM NGỌC

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 –

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

Mã số: 8.14.01.11

ĐỒNG THÁP - NĂM 2019

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất gửi đến PGS.

TS Nguyễn Dương Hoàng, người Thầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn.

Tôi xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô trong Khoa Toán và Phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Đồng Tháp đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn của mình.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và quý Thầy Cô trường THPT

An Thạnh 3 đã tạo điều kiện, giúp đỡ cho tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, các anh chị học cùng lớp

đã luôn ủng hộ, hỗ trợ tôi hoàn thành luận văn này.

Dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa để hoàn thiện hơn Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp từ quý Thầy Cô và các bạn đọc.

Đồng Tháp, ngày 08 tháng 09 năm 2019

Tác giả luận văn

Huỳnh Diễm Ngọc

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng công bố trong các công trình khác Các trích dẫn trong quá trình nghiên cứu điều được nêu rõ nguồn gốc trích dẫn.

Tác giả luận văn

Huỳnh Diễm Ngọc

MỤC LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN i

LỜI CAM ĐOAN ii

MỤC LỤC iii

CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT v

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU vii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

1.1 Năng lực toán học và năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học Toán 7

1.1.1 Năng lực toán học 7

1.1.2 Năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học toán 14

1.2 Năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất 19

1.2.1 Nội dung chủ đề Tổ hợp – Xác suất 19

1.2.2 Các thành tố của năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất 20

1.3 Thực trạng rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề ở trường Trung học phổ thông 27

1.3.1 Mục đích khảo sát 27

1.3.2 Đối tượng và phạm vi khảo sát 27

1.3.3 Nội dung khảo sát 27

1.3.4 Kết quả khảo sát 27

1.4 Kết luận chương 1 30

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 - TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 32

2.1 Nguyên tắc xây dựng biện pháp 32

2.1.1 Nguyên tắc 1: Các biện pháp phải góp phần thực hiện các mục tiêu

của việc dạy và học Toán trong trường Trung học phổ thông 32

2.1.2 Nguyên tắc 2: Các biện pháp được xây dựng trên cơ sở đảm bảo chuẩn kiến thức kĩ năng của chương trình hiện hành đồng thời tiếp cận chương trình Toán mới sau 2019 32

2.1.3 Nguyên tắc 3: Các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng phát triển năng lực giải quyết vấn đề theo quan điểm dạy học tiếp cận năng lực 33

2.1.4 Nguyên tắc 4: Các biện pháp phải có tính khả thi và có thể áp dụng trong dạy học chủ đề 33

2.2 Các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất 34

2.2.1 Biện pháp 1: Giúp cho học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về Tổ hợp – Xác suất thông qua thực hành luyện tập thường xuyên 34

2.2.2 Biện pháp 2: Giáo viên tạo ra tình huống gợi vấn đề dựa vào mâu thuẫn trong nhận thức cũng như trong hoạt động thực tiễn giúp học sinh phát hiện vấn đề cần giải quyết 47

2.2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện học sinh khả năng liên tưởng, huy động các kiến thức liên quan đến chủ đề qua khai thác mối liên hệ nhân quả, nội dung và hình thức để giải quyết các vấn đề, các bài toán được phát hiện hay đề xuất 51

2.2.4 Biện pháp 4: Hướng dẫn học sinh phát hiện sai lầm và sửa chữa sai lầm thường mắc phải trong nội dung chủ đề; đề xuất cách khắc phục 56

2.2.5 Biện pháp 5: Giúp học sinh phát hiện ra nhiều cách thức giải quyết cùng một vần đề, mội bài toán; lựa chọn phương án tối ưu 64

2.2.6 Biện pháp 6: Rèn luyện cho học sinh vận dụng các kiến thức của Tổ hợp – Xác suất vào thực tiễn cuộc sống thông qua các hoạt động ngoại khóa; thực hiện chuyên đề dạy học hay hoạt động trải nghiệm 67

2.3 Kết luận chương 2 79

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 80

3.1 Mục đích thực nghiệm 80

3.2 Nội dung thực nghiệm 80

3.3 Tiến trình thực nghiệm 80

3.3.1 Chuẩn bị thực nghiệm 80

3.3.2 Tiến trình thực nghiệm 81

3.4 Kết quả thực nghiệm 81

3.4.1 Đánh giá định tính 81

3.4.2 Đánh giá định lượng 82

3.5 Kết luận chương 3 85

KẾT LUẬN CHUNG 86

TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN 90

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU

Trang

Bảng 1.1 Kết quả phép lai cặp tính trạng 21

Bảng 1.2 Thống kê kết quả khảo sát giáo viên 28

Bảng 1.3 Thống kê kết quả khảo sát học sinh 30

Bảng 2.1 Kết quả xuất hiện khi gieo hai con súc sắc 60

Bảng 2.2 Cơ cấu giải thưởng vé số miền Nam 73

Bảng 2.3 Cơ cấu giải thưởng vé số Vietlott Mega 6/45 75

Bảng 3.1 Bảng thống kê số điểm của bài kiểm tra 82

Bảng 3.2 Bảng thống kê tỉ lệ của bài kiểm tra 82

Bảng 3.3 Bảng tổng hợp các tham số 83

Biểu đồ 3.1 Thống kê số điểm bài kiểm tra 83

Biểu đồ 3.2 Tỉ lệ phần trăm điểm bài kiểm tra 84

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Xuất phát từ nhu cầu phát triển đất nước, nhu cầu phát triển nguồn nhân lựcviệc đổi mới phương pháp dạy học trong thời đại tri thức là một tất yếu Nghịquyết số 29-NQ/TW, ngày 4 tháng 11 năm 2013 của hội nghị Trung ương 8 Khóa

XI đã khẳng định “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức,

kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực” Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu theo nghĩa là phát huy mặt tích cực của các

phương pháp dạy học truyền thống, vận dụng các phương pháp mới theo hướngphát huy tính tích cực, độc lập, tăng cường các hoạt động tìm tòi, phát hiện củahọc sinh Theo Nguyễn Minh Thuyết - Tổng chủ biên Chương trình giáo dục phổthông mới thì Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể đã thể hiện quan điểmtrong các Nghị quyết của Đảng, Quốc hội và Chính phủ về xây dựng nền giáo dụcthực học, thực nghiệp và dân chủ Chú trọng hơn về việc "dạy cách học" thay vìquan tâm học sinh cần "học cái gì" chuyển sang quan tâm hơn về cách "học nhưthế nào", tạo những tình huống có vấn đề nhằm khuyến khích học sinh tích cựctham gia, khơi gợi cho học sinh tự khẳng định nhu cầu và năng lực của bản thân,đồng thời rèn khả năng tự học, tích cực phát huy tiềm năng của học sinh Chươngtrình giáo dục phổ thông mới đã công bố mục tiêu đổi mới phương pháp dạy học

là hình thành và phát triển cho học sinh 5 phẩm chất và 10 năng lực Theo đó, cácphẩm chất chủ yếu bao gồm: Yêu nước, Nhân ái, Chăm chỉ, Trung thực, Tráchnhiệm và các năng lực cũng được xác định bao gồm các năng lực cốt lõi (gồmnăng lực chung: Tự chủ và tự học, Giao tiếp và hợp tác, Giải quyết vấn đề và sángtạo), các năng lực chuyên

môn: Năng lực ngôn ngữ, Năng lực tính toán, Năng lực tìm hiểu tự nhiên và xãhội, Năng lực công nghệ, Năng lực tin học, Năng lực thẩm mỹ, Năng lực thểchất) và các năng lực đặc biệt (năng khiếu) Trong đó, năng lực giải quyết vấn

đề là một trong những năng lực quan trọng mà nhiều nền giáo dục tiên tiếntrong và ngoài nước đang hướng tới Theo Raja Roy Singh nhà giáo dục nổitiếng ở Ấn Độ, chuyên gia giáo dục nhiều năm ở UNESCO khu vực Châu Á –

Thái Bình Dương đã khẳng định: “Để đáp ứng được những đòi hỏi mới được đặt ra do sự bùng nổ kiến thức và sáng tạo ra kiến thức mới, cần thiết phải phát triển năng lực tư duy, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo… Các năng lực này có thể quy gọn là: “Năng lực giải quyết vấn đề”

” Dạy học năng lực giải quyết vấn đề giúp học sinh nắm được tri thức mới

cũng như phương pháp lĩnh hội tri thức đó, phát triển tư duy tích cực, sáng tạo,phát hiện kịp thời và giải quyết hợp lý các vấn đề nảy sinh Do đó, việc bồidưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh là thật sự cần thiết trong quátrình dạy học toán ở trường phổ thông

Trong chương trình Toán ở trường phổ thông Tổ hợp – Xác suất là chủ đềquan trọng gắn liền với thực tiễn, góp phần hoàn thiện tri thức, phát triển tưduy cho học sinh Đây cũng là chủ đề khó nên khi dạy, không ít giáo viênthường đưa ra các khái niệm, định lí, công thức rồi áp đặt cách giải, chưa tạocho học sinh phát huy tính tích cực hoạt động học tập, hoạt động phát hiện vàgiải quyết vấn đề, học sinh tiếp thu kiến thức một cách máy móc và thụ động.Chính vì thế, việc hiểu và vận dụng các kiến thức về “Tổ hợp – Xác suất” vàohọc toán cũng như vào thực tiễn cuộc sống còn nhiều hạn chế Việc phát hiện

và giải quyết vấn đề sẽ giúp học sinh nắm vững tri thức, khắc phục khó khăn,sai lầm khi giải bài tập, vận dụng vào thực tế, góp phần nâng cao chất lượnghọc tập, phát huy tính năng động, tư duy độc lập và sáng tạo của người học

Trong những năm gần đây, bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề được

nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu điển hình là: “Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học Hình học”- Luận án Tiến sĩ của Từ Đức Thảo (2012), Trường Đại học Vinh Luận án đã phân tích, so sánh đưa ra 8 năng lực thành tố của năng lực phát

hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học Hình học, đồng thời xây dựng 9 biệnpháp sư phạm nhằm bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học

sinh trong dạy học Hình học Luận văn Thạc sĩ: “Rèn luyện năng lực phát hiện

và giải quyết vấn đề cho học sinh THPT thông qua giải toán hình học không gian lớp 11”, Lê Thúy Hằng (2014), Trường Đại học Cần Thơ Luận văn làm

rõ nội dung của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong giải bài tập hình

học không gian, đề xuất một số biện pháp góp phần rèn luyện năng lực pháthiện và giải quyết vấn đề trong dạy học giải toán hình học không gian lớp 11

Luận văn Thạc sĩ “Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề phương trình lượng giác ở lớp 11 trung học phổ thông” (2016), Lưu Công Hoàn, Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội Luận văn hệ thống hóa được cơ sở lý luận của năng lực giải quyết vấn đề,

xây dựng được một số biện pháp dạy học chủ đề “Phương trình lượng giác”theo định hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.Tuy nhiên,đến nay chưa có một nghiên cứu nào nghiên cứu sâu sắc về năng lực giải quyết

vấn đề trong chủ đề Tổ hợp – Xác suất Do đó, chúng tôi chọn đề tài: “Bồi

dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất Đại số và giải tích 11 – THPT” làm đề tài nghiên cứu của mình.

2 Mục đích nghiên cứu

Làm rõ nội dung năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học toán phổ thôngnói chung và dạy học toán lớp 11 nói riêng và từ đó đề xuất một số biện phápbồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất

nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức, góp phần nâng cao chất lượng học tập, phát triển tư duy tích cực, sáng tạo

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn thực hiện những nhiệm vụ sau:

- Nghiên cứu cơ sở lý luận phân tích làm sáng tỏ bản chất năng lực giảiquyết vấn đề trong dạy học Toán

- Xác định các thành tố của năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học chủ

đề Tổ hợp – Xác suất Đại số & Giải tích 11

- Nghiên cứu thực trạng dạy học năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trong dạy học Tổ hợp – Xác suất Đại số & Giải tích 11

- Đề xuất các biện pháp vận dụng có hiệu quả năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học Tổ hợp – Xác suất

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của một số cách thức sư phạm đã đề xuất

4 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu đề xuất các biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề

và vận dụng hợp lý trong dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất Đại số & Giải tích

sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán Tổ hợp – Xác suất Đại số &Giải tích 11 nói riêng và dạy học toán ở trường THPT nói chung

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

5.1 Đối tượng nghiên cứu

- Năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trong dạy học Toán

- Năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trong chủ đề Tổ hợp – Xác suất

của chương trình môn toán ở THPT nói chung và Đại số & Giải tích 11 nói riêng

5.2 Phạm vi nghiên cứu

- Các biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trong dạy học Tổ hợp – Xác suất.

- Đối tượng khảo sát là giáo viên và học sinh trong dạy học chủ đề Tổ hợp

– Xác suất Đại số & Giải tích 11 tại một số cơ sở bồi dưỡng trên địa bàn Thànhphố Cao Lãnh

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các văn kiện của Đảng và Nhà nước trong công cuộc đổi mới,cải cách giáo dục (Nghị quyết số 29-NQ/TW; Nghị quyết Đại hội đại biểu toànquốc lần thứ XII ); Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về triết học,tâm lí học, giáo dục học, lí luận dạy học, sách giáo khoa, sách bài tập, các tạpchí, sách, báo có liên quan đề tài

6.2 Điều tra quan sát

Dự giờ, trao đổi, tham khảo ý kiến các đồng nghiệp, tìm hiểu thực tế tìnhhình dạy và học chủ đề Tổ hợp – Xác suất, từ đó rút ra nhận xét về việc bồidưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học Tổ hợp – Xácsuất

6.3 Thực nghiệm sư phạm

Thực hiện các biện pháp đề ra qua một số giờ dạy thực nghiệm trên lớp.Trên cơ sở đó kểm tra, đánh giá, sửa đổi, bổ sung để tăng thêm tính khả thi củabiện pháp

6.4 Thống kê toán học

Xử lý định lượng các kết quả thực nghiệm, làm cơ sở để minh chứng tínhhiệu quả và khả thi của đề tài

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu; kết luận Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễnChương 2: Một số biện pháp góp phần bồi dưỡng năng lực Giải quyết vấn

đề cho học sinh trong dạy học Chủ đề Tổ hợp – Xác suất Đại số và Giải tích 11– Trung học phổ thông

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực toán học và năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học Toán

- Năng lực (Capacity/Ability): Hiểu theo nghĩa chung nhất là khả năng

(hoặc tiềm năng) mà cá nhân thể hiện khi tham gia một hoạt động nào đó ở một thời điểmnhất định

- Năng lực (Compentence): Thường gọi là năng lực hành động, là khả năng

thực hiện hiệu quả một nhiệm vụ/ một hành động cụ thể, liên quan đến một lĩnh vực nhấtđịnh dựa trên cơ sở hiểu biết, kĩ năng, kĩ xảo và sự sẵn sàng hành động

- Tổ chức Hợp tác và Phát triển kinh tế thế giới (OECD) quan niệm năng

lực: Khả năng đáp ứng một cách hiệu quả những yêu cầu phức hợp trong một bối cảnh cụ thể [4], [24].

- Theo F.E Weinert [25]: Năng lực là tổng hợp các khả năng và kĩ năng sẵn có hoặc học được cũng như sự sẵn sàng của học sinh nhằm giải quyết những vấn đề nảy sinh và hành động một cách có trách nhiệm, có sự phê phán để đi đến giải pháp.

Giáo dục Việt Nam đang thực hiện công cuộc đổi mới căn bản và toàndiện chuyển từ giáo dục kiến thức sang giáo dục năng lực Vì vậy khái niệmnăng lực cũng thu hút sự quan tâm nghiên cứu:

- Theo từ điển Bách khoa Việt Nam [22]: Năng lực là đặc điểm của cá nhân thể hiện mức độ thông thạo, tức là có thể thực hiện một cách thành thục và chắc chắn một hay một số dạng hoạt động nào đó.

- Theo từ điển Tiếng Việt [18]: Năng lực là phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao.

- Theo Nguyễn Công Khanh [13]: Năng lực của học sinh phổ thông không chỉ là khả năng tái hiện tri thức, thông hiểu tri thức, kĩ năng học được…, mà quan trọng

là khả năng hành động, ứng dụng, vận dụng tri thức, kĩ năng này để giải quyết vấn đề của chính cuộc sống đang đặt ra với các em.

- Theo chương trình giáo dục phổ thông mới [5]: Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động, tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định,

đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể

Khái quát lại năng lực có thể hiểu là sự kết hợp của kiến thức, kĩ năng,phẩm chất, thái độ và hành vi của một cá nhân để thực hiện một công việc cóhiệu quả Năng lực bao gồm cả khả năng chuyển tải kiến thức, kĩ năng, kinhnghiệm và thói quen làm việc vào các tình huống cụ toán thể Đồng thời, nănglực còn liên quan đến khả năng phán đoán, nhận thức, hứng thú, niềm tin, ý chí

và tình cảm Năng lực tồn tại và phát triển thông qua hoạt động Quá trình hìnhthành năng lực phải gắn với luyện tập, thực hành và trải nghiệm các công việcthuộc ngành nghề nào đó và bảo đảm thực hiện có hiệu quả

b) Cấu trúc của năng lực

- Năng lực chia làm ba mức độ:

+ Mức độ thứ nhất là năng lực cơ bản Đó là khả năng của một cá nhân ởmột thời điểm nào đó có thể hoàn thành một nhiệm vụ nào đó mà nhiều người khác cócùng điều kiện hoàn cảnh cũng có thể thực hiện được.

Ví dụ như một học sinh lớp 11 phát hiện ra sự khác nhau giữa quy tắccộng và quy tắc nhân, đồng thời trong lớp cũng có nhiều học sinh khác pháthiện ra điều này thì ta có thể xem học sinh đó có năng lực cơ bản

+ Mức độ thứ hai là tài năng Đó là khả năng của cá nhân có thể hoànthành một nhiệm vụ nào đó một cách sáng tạo nhưng vẫn nằm trong khuôn khổ hoặckhông vượt quá xa những thành tựu của xã hội tại thời điểm đó

Ví dụ một học sinh lớp 10 có thể viết chương trình mới có ứng dụng vào Toán học có thể coi là một tài năng Toán học

+ Mức độ cao nhất của năng lực là thiên tài Đó là một năng lực đặc biệt

mà kết quả của sự hoạt động vượt xa thành tựu của xã hội và mang ý nghĩa lịch sử đốivới loài người

Ví dụ như Pythagoras, nhà toán học, triết học, khoa học người Hy Lạp nổidanh trong thời cổ đại Ông là thiên tài toán học xuất chúng trong lịch sử Vớiđịnh lý nổi tiếng mang tên ông "Trong tam giác vuông, bình phương cạnhhuyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông" được coi là tiền đề cơ bảntrong hình học và giúp ông nổi danh khắp thế giới

- Theo quan điểm các nhà sư phạm nghề Đức, cấu trúc chung của năng lực hành động được mô tả là sự kết hợp của bốn năng lực thành phần:

+ Năng lực cá thể (Individual competency): Khả năng xác định, suy nghĩ và

đánh giá được những cơ hội phát triển cũng như những giới hạn của mình, phát triểnđược năng khiếu cá nhân cũng như xây dựng kế hoạch cho cuộc sống riêng và hiện thựchoá kế hoạch đó, những quan điểm, chuẩn giá trị đạo đức và động cơ chi phối các hành viứng xử

+ Năng lực chuyên môn (Professional competency): Khả năng thực hiện

các nhiệm vụ chuyên môn cũng như đánh giá kết quả một cách độc lập, có phương pháp

và chính xác về mặt chuyên môn (bao gồm cả khả năng tư duy lôgic, phân tích, tổng hợp

và trừu tượng, khả năng nhận biết các mối quan hệ hệ thống và quá trình)

+ Năng lực phương pháp (Methodical competency): Khả năng hành động

có kế hoạch, định hướng mục đích trong việc giải quyết các nhiệm vụ và vấn đề Trungtâm của năng lực phương pháp là những phương thức nhận thức, xử lý, đánh giá, truyềnthụ và giới thiệu trình bày tri thức Nó được tiếp nhận qua việc học phương pháp luận -giải quyết vấn đề

+ Năng lực xã hội (Socical competency): Khả năng đạt được mục đích

trong những tình huống xã hội cũng như trong những nhiệm vụ khác nhau với sự phốihợp chặt chẽ với những thành viên khác Trọng tâm là:

 Ý thức được trách nhiệm của bản thân cũng như của những người khác,

và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo

+ Những năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông quamột số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: Năng lực ngôn ngữ, năng lựctính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lựcthẩm mĩ, năng lực thể chất

1.1.1.2 Năng lực toán học

a) Khái niệm năng lực toán học

Năng lực toán học là một loại hình năng lực chuyên môn, gắn liền với môn học Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học:

- Theo Niss [23]: Năng lực toán học như khả năng của cá nhân để sử dụng các khái niệm toán học trong một loạt các tình huống có liên quan đến toán học, kể cả các lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học Niss cũng xác định tám thành tố của

năng lực toán học và chia thành hai cụm Cụm thứ nhất bao gồm: năng lực tư duy toánhọc; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực suyluận toán học Cụm thứ hai bao gồm: năng lực biểu diễn; năng lực sử dụng ngôn ngữ và

kí hiệu hình thức; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiệntoán học Tám năng lực đó tập trung vào những gì cần thiết để cá nhân có thể học tập vàứng dụng toán học Các năng lực này không hoàn toàn độc lập mà liên quan chặt chẽ và

có phần giao thoa với nhau

- Theo tác giả Nguyễn Hữu Châu [6]: Năng lực Toán học là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức Toán trong cuộc sống; khả năng vận dụng tư duy Toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; khả năng phân tích, suy luận, lập luận khái quát hóa, trao đổi thông tin một cách hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề Toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau

- Theo [1]: Năng lực toán học là khả năng thực hiện thành công hoạt động trong một bối cảnh nhất định nhờ sự huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng về môn Toán và các thuộc tính cá nhân khác nhau như hứng thú, niềm tin, ý chí Năng lực toán

học bao gồm các năng lực thành phần:

+ Năng lực thu thập và xử lí thông tin toán học: thu thập được các kiếnthức, thông tin có liên quan đến toán học, xử lí được thông tin và nhớ các khái niệm,công thức, định lí, quy tắc… trong môn Toán

+ Năng lực tính toán, giải toán (thực hiện các phép toán bằng số và cả biến đổi các biến đổi các biểu thức đại số)

+ Năng lực tư duy toán học (khả năng phân tích, tổng hợp, lập luận logic, phản biện và sáng tạo)

+ Năng lực giao tiếp toán: Năng lực thể hiện quan điểm của học sinh trongquá trình học toán, bao gồm năng lực giao tiếp về toán (đề cập đến quá trình học sinh suynghĩ, giải quyết vấn đề và học sinh nêu được lí do tại sao chọn phương án đó để giảiquyết bài toán); năng lực giao tiếp trong toán (đề cập đến việc học sinh sử dụng ngônngữ, các kí hiệu và các biểu diễn toán học nào là hợp lí với vấn đề đặt ra); năng lực giaotiếp với toán (đề cập việc học sinh sử dụng kiến thức toán để giải quyết vấn đề theo cáchhiểu của học sinh)

+ Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn (vận dụng toán vào đời sống,giải quyết các bài toán, vấn đề thực tiễn hay có nhiều tài liệu gọi tên là năng lực mô hìnhhóa toán học hay năng lực mô hình hóa)

+ Năng lực sáng tạo toán học (năng lực này thường có ở học sinh giỏi toán,các nhà toán học là khả năng phát hiện, hiểu và kiến tạo được các cấu trúc, quy luật toánhọc mới)

b) Các thành tố của năng lực toán học

Theo [20] năng lực toán học bao gồm các thành tố:

- Năng lực tư duy và lập luận toán học

+ So sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khoái quát hóa, tương tự, quy nạp, diễn dịch

+ Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận

+ Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học.

- Năng lực mô hình hóa toán học

+ Sử dụng các mô hình hóa toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,…) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế

+ Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

+ Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

- Năng lực giải quyết vấn đề toán học

+ Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học

+ Đề xuất, lựa chọn được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề

+ Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra

+ Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tương tự

- Năng lực giao tiếp toán học

+ Nghe hiểu, đọc hiểu, ghi chép các thông tin toán học cần thiết được trình bày dưới dạng văn bản toán học hay do người khác nói hoặc viết ra

+ Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, giải pháptoán học trong sự tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ, chínhxác)

+ Sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ,

đồ thị, các liên kết lôgic, ) kết hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể khitrình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranhluận) với người khác

- Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

+ Biết gọi tên, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quả các đồ dùng,phương tiện trực quan thông thường, phương tiện khoa học công nghệ (đặc biệt

là phương tiện sử dụng công nghệ thông tin) phục vụ cho việc học toán.+ Sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và phương tiện học toán,đặc biệt là phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đềtoán học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi)

+ Chỉ ra được các ưu điểm, hạn chế của những công cụ, phương tiện hỗ trợ

để có cách sử dụng hợp lí

1.1.2 Năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học toán

- Năng lực giải quyết vấn đề là một bộ phận của năng lực toán học, là một

tổ hợp các đặc điểm tâm lí thể hiện ở việc sử dụng tri thức, kĩ năng, kinh nghiệm, tư duy

và các hoạt động khác nhằm giải quyết mâu thuẫn nhận thức

- Năng lực giải quyết vấn đề cũng có thể hiểu là khả năng vận dụng kiếnthức, kĩ năng, kinh nghiệm để giải quyết một vấn đề trong học tập cũng như trong thựctiễn Vì giải quyết vấn đề là một quá trình từ phát hiện, khám phá, đề ra chiến lược giải,giải và kiểm tra, đánh giá, nhìn lại, mở rộng bài toán

- Theo tác giả Phan Anh Tài [19]: Năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trong dạy học toán trung học phổ thông được cấu thành bởi các thành tố sau:

+ Năng lực hiểu vấn đề: Khả năng phân tích đúng quan hệ giữa dữ kiện,nắm được các thông tin và yêu cầu của bài toán, phân tích được tình huống,phát hiện ra vấn đề, đặt vấn đề, phát biểu vấn đề Năng lực hiểu vấn đề baogồm: Năng lực nhận diện vấn đề, năng lực hiểu ngôn ngữ diễn đạt của vấn đề,toán học hóa vấn đề

+ Năng lực phát hiện và triển khai giải pháp giải quyết vấn đề: Khả năng suydiễn, huy động đúng và đầy đủ các kiến thức và kĩ năng cần thiết phục vụ giải

quyết bài toán; đề xuất giải pháp đi đến kết quả đúng Năng lực phát hiện vàtriển khai giải pháp giải quyết vấn đề bao gồm: Năng lực dự đoán và suy diễn,năng lực phân tích mối liên hệ giữa các yếu tố của vấn đề, năng lực kết nốikiến thức, kĩ năng đã có và tri thức cần tìm.

+ Năng lực trình bày giải pháp giải quyết vấn đề Khả năng trình bày giảipháp giải quyết vấn đề cần lập luận chặt chẽ, “vứt bỏ” những suy luận tạm thời thay bằngsuy luận có căn cứ; không dễ dàng nhận thấy mà phải có minh chứng, tìm cách diễn đạtngắn gọn, mạch lạc, tính toán chính xác Nếu một vấn đề phức tạp, học sinh diễn đạt theocác bước “lớn” mỗi bước lớn gồm các bước “nhỏ” Trong khi diễn đạt giải pháp giảiquyết vấn đề, học sinh tiến hành kiểm tra chặt chẽ và sự đúng đắn của mỗi bước, của từngphép biến đổi, từng phép tính, từng chi tiết

+ Năng lực phát hiện giải pháp khác để giải quyết vấn đề, năng lực pháthiện vấn đề mới Mỗi khi đã giải được một bài toán thì ta không nên quên đi tìm một bàitoán mới Trong dạy toán, xuất phát từ một bài toán đã giải học sinh có thể thử thay đổi,thêm, bớt,…yếu tố nào đó hay điều kiện của bài toán để phát hiện bài toán mới tương tựhoặc đưa ra cách giải quyết theo một hướng đi khác hiệu quả hơn

- Theo chương trình toán phổ thông mới [20] năng lực giải quyết vấn đề được thể hiện như sau:

+ Xác định được tình huống có vấn đề, thu thập, sắp xếp, giải thích và đánh

giá được độ tin cậy của thông tin, chia sẽ sự am hiểu vấn đề với người khác.

Ví dụ 1.1: Cho 30 điểm phân biệt trong không gian sao cho 4 điểm bất kì trong

số đó không đồng phẳng Có bao nhiêu mặt phẳng được tạo thành từ 30 điểm đó.Bài toán trên là một tình huống có vấn đề đối với học sinh vì:

+ Thể hiện mối liên hệ giữa kiến thức Tổ hợp – Xác suất với kiến thức thựctiễn, để giải được bài toán cần sử dụng công thức tổ hợp

+ Từ tình huống học sinh thu thập thông tin: Có 30 điểm cho trước có thểlập được bao nhiêu mặt phẳng, học sinh sắp xếp, giải thích thông tin đó để lựa chọn vàthiết lập cách giải

+ Học sinh nêu được giả thiết, kết luận của bài toán:

Giả thiết: Cho 30 điểm phân biệt trong không gian sao cho 4 điểm bất kìtrong số đó không đồng phẳng

Kết luận: Số mặt phẳng được tạo thành từ 30 điểm đã cho

+ Lựa chọn và thiết lập được cách thức quy trình giải quyết vấn đề.

Ví dụ 1.2: Một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ Giáo viên

chủ nhiệm chọn ra một bạn nam và một bạn nữ dự trại hè Hỏi có bao nhiêucách chọn?

Để giải quyết vấn đề học sinh lựa chọn và thiết lập cách thức quy trình giảibài toán bao gồm 3 bước:

Bước 1: Chia hành động để giải bài toán.

Bước 2: Đếm số cách chọn của mỗi hành động.

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân để giải bài toán.

Cụ thể:

Bước 1: Với bài toán trên ta thấy công việc là chọn 1 học sinh nam và 1

học sinh nữ Do vậy ta thực hiện 2 hành động

Bước 2: Đếm số cách chọn trong các hành động.

Hành động 1: Chọn 1 bạn nam: 25 cách

Hành động 2: Chọn 1 bạn nữ: 20 cách

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân Vậy ta có: 25.20=500 cách chọn.

+ Thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề.

Ví dụ 1.3: Từ tập hợp A  a;b;c Có bao nhiêu cách chọn ra 1 tập hợp

con của tập hợp A

Sau khi lựa chọn và thiết lập được cách thức quy trình giải quyết vấn đề,học sinh thực hiện và trình bày giải pháp giải quyết vấn đề.

Để chọn ra 1 tập hợp con của tập hợp A  a ; b; cchia làm 4 trườnghợp: Chọn tập hợp không chứa phần tử nào cả, chọn tập hợp có chứa 1 phần tử,chọn tập hợp có chứa 2 phần tử, cuối cùng chọn tập hợp chứa 3 phần tử Cụthể:

+ Trường hợp 1: Chọn tập hợp không chứa phần tử nào cả có 1 cách là tập

Ví dụ 1.4: Trong trận bóng đá giữa hai đội Real madrid và Barcelona, trọng

tài cho đội Barcelona được hưởng một quả Penalty Cầu thủ sút phạt ngẫu nhiênvào một trong bốn vị trí 1; 2; 3; 4 và thủ môn bay người cản phá ngẫu nhiên đến 1trong 4 vị trí 1; 2; 3; 4 với xác suất như nhau Biết nếu cầu thủ sút và thủ môn baycùng vào vị trí 1 (hoặc 2) thì thủ môn cản phá được cú sút đó,

nếu cùng vào vị trí 3 ( hoặc 4) thì xác suất cản phá thành công là 50% Tính

xác suất của biến cố “cú sút đó không vào lưới”?

Học sinh xác định đây là một tình huống có vấn đề, lựa chọn và thiết lập quy trình giải, sau đó trình bày lời giải như sau:

Lời giải

Số phần tử không gian mẫu: n( )  4.4 16.

Gọi A: “Cú sút đó không vào lưới”.

Khi đó, biến cố A : “Cú sút đó vào lưới”.

+ Trường hợp 5: Cầu thủ sút vào vị trí 3 thủ môn bay vào vị trí 3 Cầu thủ

có 1 cách sút, thủ môn có 1 cách bay Do đó, có 1 khả năng xảy ra

+ Trường hợp 6: Cầu thủ sút vào vị trí 4 thủ môn bay vào vị trí 4 Cầu thủ

có 1 cách sút, thủ môn có 1 cách bay Do đó, có 1 khả năng xảy ra

Khi đó, n(A)4.3 2.114

Xác suất xảy ra biến cố A là: P ( A)  4.3

Sau khi thực hiện trình bày được cách giải bài toán học sinh đánh giá giảipháp thực hiện xem tối ưu chưa Từ đó tìm cách giải khác để giải quyết vấn đề,

có thể khái quát hóa cho vấn đề tương tự

Học sinh có thể tìm giải pháp khác cho bài toán trên:

Gọi A i : “Cầu thủ sút vào vị trí i”.

Bi : “ Thủ môn bay người cản phá vào vị trí thứ i”.

C: “ Cú sút phạt không vào lưới”.

1.2 Năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất

1.2.1 Nội dung chủ đề Tổ hợp – Xác suất

1.2.1.1 Về nội dung

Chương Tổ hợp – Xác suất sách Đại số và giải tích lớp 11 ban cơ bản có 5bài, được chia thành hai phần: Phần Tổ hợp và phần Xác suất

Đầu tiên sách giáo khoa giới thiệu quy tắc cộng và quy tắc nhân để làm cơ

sở đếm số phần tử của các tập hợp hữu hạn và thành lập các công thức cơ bản

trong Đại số tổ hợp như: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và các công thức tính sốhoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp; công thức nhị thức Niu-tơn.

Bài 1: Quy tắc đếm

Bài 2: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp.

Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Sách giáo khoa đưa ra khái niệm về phép thử từ đó xây dựng các khái niệmkhông gian mẫu, biến cố liên quan đến phép thử và các phép toán đơn giản trên biến

cố Trong phần này sách giáo khoa cũng giới thiệu định nghĩa cổ điển của xác suất.Bài 4: Phép thử và biến cố

Bài 5: Xác suất của biến cố

1.2.1.2 Về yêu cầu

- Học sinh nắm chắc hai quy tắc đếm và áp dụng chúng vào giải toán

- Học sinh hiểu và phân biệt khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Nắm chắc các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và vận dụng chúng

- Học sinh biết và vận dụng được công thức nhị thức Niu-tơn

- Học sinh biết mô tả không gian mẫu của các phép thử đơn giản, tính được xác suất của một biến cố bằng cách áp dụng công thức cổ điển của xác suất

1.2.2 Các thành tố của năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề Tổ hợp

– Xác suất

1.2.2.1 Phát hiện vấn đề cần giải quyết trong mối liên hệ giữa các kiến

thức Tổ hợp – Xác suất với các tình huống thực tiễn

- Khi thực hiện mối liên hệ với thực tiễn là hướng tới mục đích dạy học,nguyên lí giáo dục truyền thụ tri thức và rèn luyện kĩ năng ứng dụng Vì vậy, cần tổ chứchoạt động nhận thức và thực hành cho học sinh sao cho liên hệ được giữa cái trừu tượng vớihiện thực, làm cho học sinh thấy được bản chất của cái hiện thực và nội dung của cái trừutượng hay nói cách khác không những thực hiện mối liên hệ với thực tiễn mà còn vận dụngcác kiến thức đã học vào thực tiễn Từ đó, học sinh nắm chắc và vận dụng tốt các kiến thức

đã học

- Phát hiện mâu thuẫn trong tình huống có vấn đề thấy được vấn đề cần giải

quyết là nhận ra được mâu thuẫn giữa thực tế với trình độ nhận thức, học sinh nhận biết

được khó khăn trong tư duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa thể vượt qua

- Học sinh hòa nhập vào tình huống có vấn đề khi nhận thấy vốn tri thức

của bản thân chưa giải quyết được vấn đề trong tình huống mới Khi nhu cầu cần tìm hiểu

xem có gì mới chứa đựng bên trong tình huống, học sinh sẽ phát hiện vấn đề cần giải

quyết và liên hệ với các kiến thức đã học về Tổ hợp – Xác suất vào các tình huống thực

tiễn, khi đó định hướng được hướng giải quyết

- Các bài toán hay tình huống thực tế trong xã hội có tác dụng giúp học

sinh thấy rõ hơn các ứng dụng của Toán học vào cuộc sống, tạo động lực cho các em tích

cực tìm cách giải quyết các bài toán hay tình huống mà giáo viên đặt ra Sinh học là một

lĩnh vực rất quan trọng trong đời sống, để tính thế hệ lai của các cặp tính trạng có thể dựa

vào kiến thức Tổ hợp – Xác suất:

Ví dụ 1.5: Xét phép lai một cặp tính trạng hai loài hoa hồng thuần chủng, hoa đỏ ( kiểu gen trội AA ) và hoa trắng ( kiểu gen lặn aa ) Khi tiến hành thử

nghiệm trên 600 cây hoa hồng ( chia làm 3 nhóm ) và bằng phương pháp thống

kê các kết quả thu được như sau:

Bảng 1.1 Kết quả thế hệ lai cặp tính trạng

54 cây hoa trắng 40 cây hoa trắng 45 cây hoa trắng

Dựa trên những số liệu thống kê Mendel đưa ra kết luận rằng ở thế hệ laithứ nhất (F1) tất cả đều cho hoa đỏ, ở thế hệ lai thứ hai (F2) thì tỉ lệ hoa đỏ:

hoa trắng là 3:1 Ông giải thích quy luật đó như sau:

Ở phép lai lần thứ nhất, cây hoa đỏ cho ta 2 gen A (AA), cây hoa trắng cho

ta 2 gen a (aa)

Theo quy tắc nhân thì sẽ có 2 x 2 = 4 cặp gen được kết hợp, tuy nhiên tất

cả các cặp gen được kết hợp đều là Aa kiểu gen biểu hiện tính trạng hoa đỏ Dovậy ở thế hệ F1 đều thu được cây cho hoa màu đỏ

Sau đó lấy hai con lai F1 lai với nhau, mỗi con lai cho 2 gen là A và a Theoquy tắc nhân sẽ có 2 x 2 = 4 cặp gen được kết hợp, trong đó có 1 AA, 2 Aa, 1 aa

Như vậy con lai F2 sẽ có tỉ lệ 3 trội 1 lặn, hay xác suất được cây hoa màu đỏ là

1

và xác suất được cây hoa màu trắng là

34

Thông qua ví dụ trên học sinh thấy được ý nghĩa của “ Tổ hợp – Xác suất

” trong lĩnh vực sinh học, thấy được mối liên hệ giữa các kiến thức Tổ hợp –Xác suất với tình huống thực tiễn

1.2.2.2 Năng lực diễn đạt bài toán Tổ hợp – Xác suất theo nhiều cách khác nhau,

từ ngôn ngữ tự nhiên đến ngôn ngữ toán học, phát biểu vấn đề cần giải quyết

- Ngôn ngữ được xét theo hai khía cạnh là ngữ nghĩa và cú pháp Ngữnghĩa là cấu trúc nội dung của đối tượng, quan hệ, quy luật,… và cú pháp là các biểu thứchình thức và các qui tắc thiết kế của dạng hình thức đó mô tả các đối tượng, các quan hệ,các quy luật,…

- Ngôn ngữ toán học là hệ thống các thuật ngữ, các kí hiệu toán học (thường

ở dạng ngôn ngữ viết), các hình vẽ, mô hình, biểu đồ, đồ thị,…có tính chất quy ước nhằm diễn đạt nội dung toán học một cách chính xác, lôgic và ngắn gọn

- Để hiểu vấn đề người giải quyết vấn đề phải hiểu ngôn ngữ diễn đạt vấn

đề qua đó hiểu nội dung vấn đề Trước hết là hiểu ngôn ngữ, ngôn ngữ toán học của vấn

đề, đặc biệt là sự đan xen của ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán trong một vấn đề nảysinh từ thực tiễn

- Khi giải bài toán ngoài các yêu cầu như: Kết quả đúng, lập luận chặt chẽ, lờigiải đầy đủ, ngôn ngữ chính xác, trình bày rõ ràng, nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mởrộng hay lật ngược vấn đề thì khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cũng là một vấn đềcần được chú trọng trong quá trình dạy học bài tập toán

- Với từng bài toán, chúng ta tìm ra được lời giải đã là một niềm vui nhưng sẽcảm thấy thú vị hơn nếu tìm ra được nhiều lời giải hơn cho một bài toán đó Hãy tiếp cận mộtbài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau để có thể tìm được nhiều hướng giải mới Vìvậy, cần tạo điều kiện và hướng dẫn học sinh tìm ra các cách giải khác nhau của bài toán Tổhợp – Xác suất là góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, tạo ra những giá trị mới

về vật chất hoặc tinh thần Giúp học sinh có cách giải quyết mới không gò bó, phụ thuộc vàocái đã có trước đó

- Để giúp học sinh tìm ra được cách giải khác nhau của bài toán Tổ hợp – Xác suất có thể thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Cho học sinh trình bày một lời giải nào đó của bài toán.

Bước 2: Giáo viên yêu cầu học sinh khai thác bài toán theo các hướng khác nhau để tìm ra các lời giải mới.

Ví dụ 1.6: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số khác nhau.

Bài toán Tổ hợp – Xác suất có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau Đểlập số tự nhiên chẵn có bốn chữ số khác nhau từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 họcsinh dùng kí hiệu để diễn đạt lại nội dung:

Gọi số tự nhiên chẵn có bốn chữ số cần tìm là abcd Khi học sinh hiểu được

mối quan hệ giữa cú pháp và ngữ nghĩa, các em sẽ giải thích được bộ bốn số

nhân để giải quyết vấn đề.

Ngoài cách diễn đạt trên học sinh có thể khai thác bài toán theo mộthướng khác: Cho 6 số cần lập số có 4 số khác nhau học sinh có thể sử dụngcông thức chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử để giải bài toán.

1.2.2.3 Năng lực liên tưởng huy động kiến thức để giải quyết vấn đề

- Liên tưởng là nhân sự việc hiện tượng nào đó mà nghĩ đến sự vật hiệntượng khác có liên quan Liên tưởng có thể chia thành 4 loại: Liên tưởng gần nhau vềkhông gian và thời gian, liên tưởng giống nhau về hình thù và nội dung, liên tưởng tráingược nhau, liên tưởng nhân quả

- Mỗi loại liên tưởng có vai trò khác nhau trong quá trình tư duy, nhưng nhìn chung chúng có cùng một công dụng là huy động được kiến thức

- Năng lực huy động kiến thức là một tổ hợp tâm lí của học sinh, đáp ứngviệc nhớ lại có chọn lọc những kiến thức mà các em đã có thích ứng với một vấn đề đặt

ra trong vốn tri thức của bản thân

- Trong dạy học giải bài tập Toán để học sinh phát hiện và giải quyết vấn

đề, giáo viên cần dẫn dắt học sinh huy động tái hiện lại kiến thức cũ (những định lí, mệnh

đề, những ví dụ mẫu, những bài toán có thuật giải,…) nhằm quy lạ về quen Để xuất hiệncác liên tưởng có khi phải biến đổi bài toán, sự biến đổi này phụ thuộc vào mức độ khó

dễ của bài toán Tóm lại, để rèn luyện cho học sinh sự liên tưởng, huy động kiến thứcgiáo viên cần đảm bảo các kiến thức toán học cơ bản cần thiết để làm nền tảng

- Năng lực liên tưởng huy động kiến thức là khả năng tái hiện lại nhữngkiến thức liên quan đến vấn đề, tốc độ và mức độ tái hiện phụ thuộc vào khả năng nhạybén và kiến thức nền của từng học sinh

- Khi huy động kiến thức cần thiết liên quan đến vấn đề học sinh sẽ giới hạn phạm vi của kiến thức

Ví dụ 1.7: Một đôi văn nghệ có 15 người gồm 10 học sinh nam và 5 học

sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập tốp ca gồm 8 người biết rằng trong nhóm đóphải có ít nhất 3 học sinh nữ

Học sinh phân tích bài toán, liên tưởng, huy động kiến thức đã học: Quytắc cộng, quy tắc nhân, chỉnh hợp, tổ hợp,… để giải bài toán

1.2.2.4 Năng lực thực hiện các hoạt động trí tuệ: So sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa

- Để phát hiện và giải quyết vấn đề không chỉ dừng lại ở mức độ nhận biếtnhững thuộc tính bên ngoài của nó bởi đó chỉ là giai đoạn nhận thức cảm tính, cầnchuyển qua một giai đoạn nhận thức lí tính tức là cần phải tìm hiểu bản chất của vấn đề.Bản chất vấn đề sẽ được bộc lộ thông qua các hoạt động trí tuệ: so sánh, tương tự, kháiquát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa

- Các hoạt động so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượnghóa, cụ thể hóa, chúng vừa giống nhau, vừa tương phản nhau, tác động lẫn nhau trongsuốt quá trình dạy học giúp học sinh dự đoán vấn đề, phát hiện và giải quyết được vấn đề

Ví dụ 1.8: Dạy học công thức nhị thức Niu-tơn.

Giáo viên yêu cầu học sinh: Khai triển các hằng đẳng thức: (ab)2; (ab)3.

Xác định các hệ số trong các khai triển này

Tổng quát ta chứng minh được:

(a  b) n  C0 a n  C1 a n1b  C2 a n2 b2   C n b n

Cụ thể, giáo viên yêu cầu học sinh khai triển biểu thức (x  y)6

Với a  x, b  y, n  6, học sinh áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn để

giải quyết bài toán

1.2.2.5 Năng lực đánh giá các phương án giải quyết vấn đề trong nội

dung Tổ hợp – Xác suất, lựa chọn phương án tối ưu

- Một vấn đề có thể có nhiều hơn một phương án giải quyết Năng lực giảiquyết vấn đề của học sinh trong dạy học toán thể hiện khả năng phát hiện thêm cácphương án khác nhau

- Học sinh cần rèn luyện năng lực đánh giá để lựa chọn được phương án tối

ưu giải quyết vấn đề trong nội dung Tổ hợp – Xác suất, nắm vững các dữ kiện quy gọn,tránh tình trạng lan man, không định hướng

Ví dụ 1.9: Từ một hộp chứa 3 quả cầu màu trắng, 2 quả cầu màu đen, lấy

ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu Tính xác suất sao cho 2 quả cầu lấy ra khác màu

GV yêu cầu HS phân tích bài toán làm sao để tính xác suất sao cho 2 quảcầu lấy ra khác màu

HS: Để 2 quả cầu lấy ra khác màu: 1 quả màu trắng và 1 quả màu đenhoặc ngược lại Từ đó, tìm số phần tử biến cố 2 quả cầu lấy ra khác màu Ápdụng công thức thức tính xác suất giải bài toán

GV: Còn phương án nào khác để giải bài toán không?

HS: Để chọn 2 quả cầu khác màu ta chọn 2 quả cầu cùng màu rồi tính xác suất 2quả cầu lấy ra cùng màu Vì 2 quả cầu cùng màu và 2 quả cầu khác màu là hai

biến cố đối nhau nên áp dụng công thức tính xác suất: P(A) 1-P(A)

xác suất lấy ra 2 quả cầu khác màu

Sau khi tìm được 2 cách giải học sinh đánh giá xem cách nào tối ưu hơn

để lựa chọn giải các bài tập tương tự

1.2.2.6 Năng lực toán học hóa các tình huống thực tế, vận dụng kiến

thức về Tổ hợp – Xác suất trong cuộc sống

- Kĩ năng toán học hóa các tình hống thực tế được cho trong bài toán hoặc nảysinh từ đời sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh vận dụng những kiến thức toán

ta tính được

học trong nhà trường vào cuộc sống, giúp học sinh thấy được việc học toán không chỉ mang tính lí thuyết mà còn vận dụng được vào thực tiễn

- Năng lực toán học hóa các tình huống thực tế, vận dụng kiến thức về Tổ hợp

– Xác suất góp phần gây hứng thú cho học sinh, giúp học sinh nắm được thực chất của vấn đề, tránh việc hiểu sai các sự kiện toán học một cách hình thức

Ví dụ 1.10: Một thầy giáo có 10 quyển sách Toán khác nhau, trong đó có

4 quyển Đại số, 3 quyển Giải tích và 3 quyển Hình học Thầy muốn tặng thưviện nhà trường 5 quyển sao cho có đủ 3 loại sách trên Hỏi thầy có bao nhiêucách tặng như vậy

Thực chất bài toán trên là bài toán tổ hợp Từ tình huống thực tế trong cuộc sống vận dụng kiến thức Tổ hợp – Xác suất để giải quyết vấn đề

1.3 Thực trạng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề ở trường Trung học phổ thông

1.3.1 Mục đích khảo sát

Tìm hiểu về phương pháp và cách thức tổ chức hoạt động nhằm phát triểnnăng lực giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất Đại số &Giải tích 11

1.3.2 Đối tượng và phạm vi khảo sát

Để tìm hiểu thực trạng dạy học Tổ hợp – Xác suất cũng như việc tổ chứcdạy học bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh ở trường THPThiện nay tôi đã tiến hành khảo sát 30 giáo viên Toán và 150 học sinh của cáctrường THPT trên địa bàn thành phố Cao Lãnh Hình thức khảo sát chủ yếu làlập phiếu khảo sát dành cho giáo viên và học sinh, ngoài ra tôi trực tiếp traođổi, phỏng vấn với giáo viên

1.3.3 Nội dung khảo sát

Phiếu khảo sát giáo viên: Gồm 10 câu hỏi (Phụ lục 1)

Phiếu khảo sát học sinh: Gồm 10 câu hỏi (Phụ lục 2)

1.3.4 Kết quả khảo sát

Kết quả khảo sát giáo viên:

Bảng 1.2 Thống kê kết quả khảo sát giáo viên

Từ kết quả khảo sát, chúng tôi nhận thấy hầu hết giáo viên cho rằng năng

lực giải quyết vấn đề là khả năng cá nhân sử dụng hiệu quả các quá trình nhận

thức, hành động và thái độ để giải quyết những tình huống không có sẵn cách

thức và trình tự giải quyết (76,6%)

Khi đánh giá về nội dung chủ đề Tổ hợp – Xác suất, 66,7% giáo viên cho

rằng đây là chủ đề khó vì thế giáo viên rất quan tâm đến việc bồi dưỡng năng

lực giải quyết vấn đề cho học sinh (90%)

Năng lực giải quyết vấn đề trong chủ đề Tổ hợp – Xác suất có những biểu hiện:

Năng lực diễn đạt bài toán Tổ hợp – Xác suất theo nhiều cách khác nhau (26,7%)

Năng lực thực hiện các hoạt động trí tuệ: So sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt

hóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa (53,3%) Năng lực toán học hóa các tình huống thực

tế, vận dụng kiến thức về Tổ hợp – Xác suất trong cuộc sống (73,3%)

Ngoài ra giáo viên còn có ý kiến: Phát hiện vấn đề cần giải quyết trong mốiliên hệ giữa các kiến thức Tổ hợp – Xác suất với các tình huống thực tiễn;Năng lực đánh giá các phương án giải quyết vấn đề trong nội dung Tổ hợp –Xác suất, lựa chọn phương án tối ưu.

Theo giáo viên khó khăn học sinh gặp phải khi học chủ đề Tổ hợp – Xácsuất là học sinh không phát hiện được vấn đề cần giải quyết trong mối liên hệgiữa các kiến thức với tình huống thực tiễn (83,3%), học sinh không huy độngđược kiến thức để giải quyết vấn đề (66,7%), không nắm vững các kiến thức

cơ bản của chủ đề Tổ hợp – Xác suất (86,7%)

Giáo viên đề ra một số biện pháp để bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đềcho học sinh trong chủ đề Tổ hợp – Xác suất: Giúp cho học sinh nắm vững cáckiến thức cơ bản về tổ hợp xác suất thông qua thực hành luyện tập thườngxuyên; Tạo ra tình huống gợi vấn đề dựa vào mâu thuẫn trong nhận thức cũngnhư trong hoạt động thực tiễn giúp học sinh phát hiện vấn đề cần giải quyết;Rèn luyện học sinh khả năng liên tưởng, huy động các kiến thức liên qua đếnchủ đề qua khai thác mối liên hệ nhân quả, nội dung và hình thức…để giảiquyết các vấn đề, các bài toán được phát hiện hay đề xuất Hướng dẫn học sinhphát hiện sai lầm và sửa chữa sai lầm thường mắc phải trong nội dung chủ đề,

đề xuất cách khắc phục; Giúp học sinh phát hiện ra nhiều cách thức giải quyếtcùng một vần đề, mội bài toán; lựa chọn phương án tối ưu; Rèn luyện cho họcsinh vận dụng các kiến thức của Tổ hợp – Xác suất vào thực tiễn cuộc sốngthông qua các hoạt động ngoại khóa, thực hiện chuyên đề dạy học hay hoạtđộng trải nghiệm

Kết quả khảo sát học sinh:

Bảng 1.3 Thống kê kết quả khảo sát sinh viên

Dựa trên kết quả khảo sát học sinh chúng tôi có kết luận như sau:

Đa số học sinh cho rằng chủ đề Tổ hợp – Xác suất là chủ đề khó chiếm74,7% Học sinh có thể giải được các bài toán nhưng ở mức độ thỉnh thoảng

(64%), thường xuyên (26%) Các em thường gặp khó khăn khi giải bài tập chủ

đề Tổ hợp – Xác suất: Không phát hiện được vấn đề (77,3%), không xác định

được dạng bài tập (71,3%), không biết sử dụng công thức phù hợp (66,7%) Vì

thế học sinh thường không hứng thú (43,3%), bình thường (50,7%) khi học chủ

đề này 80% giải được các bài tập dễ còn với các bài tập cần suy luận học sinh

không thể tự giải mà cần phải có sự hướng dẫn của giáo viên

1.4 Kết luận chương 1

- Trong chương 1 chúng tôi đã nghiên cứu về năng lực nói chung, năng lực

toán học nói riêng và năng lực giải quyết vấn đề Đồng thời trong chương này chúng tôi