Tải Chuyên đề: Cực trị của một biểu thức - Bài tập tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.. 2, Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán:.[r]

CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC

I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC

1/ Cho biểu thức f( x ,y, )

a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:

- Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì :

A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 2

A = 2 ⇔ x -2 = 0 ⇔ x = 2

Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2

II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN

2 2

4

b a

Đặt c - b2

4 a =k Do ( x + 2 a b )2 0 nên :

- Nếu a 0 thì a( x + 2 a b )2 0 , do đó P k MinP = k khi và chỉ khi x = - 2 a b

-Nếu a ¿¿

¿ 0 thì a( x + 2 a b )2 0 do đó P k MaxP = k khi và chỉ khi x =

-b

2 a

2/ Đa thức bậc cao hơn hai:

Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai



(HD Giải:  

2 2

minA = 2 khi và chi khi x = 2

minA = 2 ⇔ y = 1 ⇔ x – 1 = 1 ⇔ x = 2

Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)

1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN của bt:

2 2

1 P

2 2 D

2 1 E

Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2

Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)

1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN của bt: a, A 2 2

x x



 b,  

2 3 2

B

2

x x

Ví dụ : Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1

sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A

A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2

Đến đây ta có nhiều cách giải

x + y = 1 ⇒ x2 + 2xy + y2 = 1 (1)

Mà (x – y)2 0 Hay: x2 - 2xy + y2 0 (2)

Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) 1 ⇒ x2 + y2 1

2

minA = 12 khi và chỉ khi x = y = 12

A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - 12 )2 + 12 12

minA = 12 khi và chỉ khi x = y = 12

1 0

b

a b b

BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:

Bài 1 CMR : Min P = 0 Với P = a2ab b 2 3a 3b 3

Bài 2 CMR: không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn ĐT: x24y2z2 2x8y 6z15 0

Hướng dẫn Ta có: VTx2 2x 1 4y28y 4 z2 6z 9 1= x-1 22y22z 32 1 1

Bài 3: Có hay không các số x,y,z thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:

1)x24y2z24x4y8z22 0

2) x24y29z2  2x12y12z1994

IV Các chú ý khi giải bài toán cực trị :

1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến

Ví dụ : Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2

ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +2 2 ⇒ minA= 2 ⇒ y=0 ⇒

x=2

2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực

trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị

x A x

1

A = 1 khi x = 0 Do đó maxA =1 khi x = 0

3,Chú ý 3 Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường sử dụng các BĐT đã biết

Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2) ( c2 + d2) (ac + bd)2

3/ Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau

- Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau

- Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y  N thoả mãn x + y = 2005

Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2

xy lớn nhất ⇔ x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất ⇔ x – y lớn nhất

giả sử x > y ( không thể xảy ra x = y)

Do 1 y x 2004 nên 1 x-y 2003

Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002

max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1

Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002

Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1

====================================================

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

1, Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khac nhau

VD1: cho x, y là các số dương thỏa mãn x +y =1 Tìm GTNN của biểu thức :

Từ (1) và (2) suy ra :

1 x

Đẳng thức sảy ra ở (2) khi x = y Từ đó suy ra x = y = 0 ( Loại vì x + y = 1)

Có bạn đến đây KL không có giá trị nhỏ nhất cũng là KL sai

2, Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán:

VD2:cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= 1 Tìm GTNN của BT :

2 2

Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có :

2  xy  xy  2 xy4

Ta có :

2 2

Lưu ý: Khi giải bài toán mà không sử dụng hết điều kiện của đầu bài thì cần kiểm tra lại giả thiết Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.

đạt GTLN khi mẫu đạt GTNN” mà chưa đua ra nhận xét tử và mẫu là các số dương

VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4

Ta có : A = x2 + y2 2xy => A đạt GTNN

2 2 2

2 4

Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai nhưng lập luân sai lầm ở chỗ ta mới c/m được f(x,y) 

g(x,y) chứ chưa c/m được f(x,y) m với m là hắng số

Lưu ý: Cần nắm vững t/c của BĐT cụ thể trong trường hợp so sánh hai phân số có tử

và mẫu là số tự nhiên, số nguyên … Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.

4, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2



1 4



chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x)=

1 4





1 2

x 

(vô lí )

VD2:Tìm GTLN của A = xyx z+y y+z z+x      với x, y , z là các số không âm và x +y+ z =1

2 2 2

4x z+y x+y+z 1 4y z+x x+y+z 1 4z x+y x+y+z 1

64

Vậy Max A =

1 64

Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ chưa chi ra khả năng xảy ra dấu “=”

3 , , 0

x



với x > 0, a, b là các hằng số dương

Lời giải sai:Ta có:

1 1 ,

VD 4: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có :

3

2 9

x 

Giải : Ta có : A = 2x25x2 + 2 x+3 - 2x = 2x 1   x2 + 2 x+3 - 2x  Với

1 2

Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó

Từ (*) => A = -x 2 2  2x  8 -x 2  x 2 2 -x 2  2x 8 -x 2  x 2

= -2x23x10 2 x2 4   x x  1 2   x = 2  x x  2  x1 4   x 2 2 2  x x  2  x1 4   x

=  4  x22 2 2  x x   2  x 1 4   x  x 1 4   x2 2  4  x2  x 1 4   x 2  2 2

Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không.

VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

x - 9

A = 5x

x - 9

A = 5x =

9

x x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

7x - 5

A = 7x-9

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3 3

x - 9

B = 27x

Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số:

VD1: cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức:

4 3

2 x+y x+x+2y

3 x.x.2y 3

Giải : Xét 0 ≤ x ≤ 3 Viết A dưới dạng : A = 4.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )

cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho.

VD1: Cho 0 < x < 2 , Tìm GTNN của

B 2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyến )

Bài 1( 74/ 29) Cho 0 < x <1, Tìm GTLN của

3 4 B

 



Bài 3: Cho x > 0, Tìm GTNN của biểu thức:

x

 ( với x > -1 )Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức:

2

B = x-1 2

x

 ( với x > 1 )Bài 8: Tìm GTNN của biểu thức:

5

C = 2x-1 3

x

 ( với x >

1

2 )Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức:

5

D =

1 - x

x x

 ( với 0 < x < 1 )

Biện pháp 4: Thêm 1 hạng tử vào biểu thức đã cho:

VD1 : Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 Tìm GTNN của biểu thức:

(x + y), ( z + y), ( x + z) nhưng không tìm được x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy ra đồng thời.Khi đó không tìm được giá trị nhỏ nhất

VD2 : Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn

BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:

Bài 2: Tìm GTNN của HS: a, y 4x220x25 x2 8x16 b,y 25x2 20x 4 25x2 30x9