Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3.. Cho hình chóp S ABCD2[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
THANH HÓA
TRƯỜNG THPT BÁ THƯỚC
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn thi: Toán - Lớp 11
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề )
Ngày thi: 28 tháng 12 năm 2019
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu I (4.0 điểm).
1 Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị P của hàm số y ax 2bx 3, biết rằng P có
đỉnh I2;1
2 Giải bất phương trình: x1 x2x6 x7x27x12
Câu II (4.0 điểm).
1 Giải phương trình:
2 3 sin 1 cos 4cos sin 3
2sin 1
x
x
2 Giải hệ phương trình:
;
x y
Câu III (4.0 điểm).
1 Cho x y z, , là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz x z y Tìm giá trị
P
2 Cho dãy số u thỏa mãn điều kiện n u và 1 2 2
1 2 3 n n, 1,2,
u u u u n u n
Tìm công thức số hạng tổng quát u của dãy số n u n
Câu IV (4.0 điểm).
1 Một hộp đựng 50 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 50 Chọn ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ.
Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3
2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm
của AB Đường thẳng CM x: 2y và 7 0
4 7
;
3 2
K
là trọng tâm tam giác ACM Đường thẳng AB đi qua điểm D3; 1 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết điểm M có hoành
độ nguyên và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng x6y 26 0.
Câu V (4.0 điểm).
1 Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thoi cạnh 3a, SA SD 3a, SB SC 3a 3 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SD, P là điểm thuộc cạnh AB sao cho
2
AP a Tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng MNP
Trang 22 Cho tứ diện ABCD , G là trọng tâm tam giác BCD và M là điểm di động bên trong
tam giác BCD sao cho khi M khác G thì MG không song song với CD Đường thẳng qua M
và song song với GA cắt các mặt phẳng ABC , ACD , ABD lần lượt tại , , P Q R Tìm giá
trị lớn nhất của tích MP MQ MR . .
Hết -ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
I
1 Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị P của hàm số y ax 2bx 3, biết rằng
Từ giả thiết ta có:
2 2
b
a
a b
Vậy P : yx24x 3
0,5
Bảng biến thiên:
y
1
0,5
Đồ thị hàm số có đỉnh I2;1, trục đối xứng x 2
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại 0; 3 và cắt trục hoành tại 1;0 , 3;0 0,5
Đồ thị hàm số như hình vẽ
0,5
x x x x x x 2,0
Đk: x 2.
BPT
x 1 x 2 2 x 6 x 7 3 x2 2x 8
0,5
Trang 3 1 2 6 2 2 4
0,5
x
=
=
x
0,5
BPT x 2 0 x 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 2;2 0,5
II
1
Giải phương trình:
2 3 sin 1 cos 4cos sin 3
2sin 1
x
x
2,0
ĐK: Điều kiện:
2
5 2
2 6
(*)
0,25
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
2 3 sin 1 cos 4cos sin 3 0
2
x
2 3 sinx 2 3 sin cosx x 2cos 1 cosx x 3 0
0,5
TH1: 3 sinx cosx 0 cotx 3 x 6 k k,
TH2: 3 sinx cosx 2 2 sin cosx 6 cos sinx 6 2 sin x 6 1
0,25
Trang 4x k x k k
Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có nghiệm
2
Giải hệ phương trình:
;
x y
Điều kiện:
2
1 2 1
1 0
1 0
x y
x y
Pt
0,5
Đặt a y2;b 2x1;a0;b0 ta được:
0,5
Thay y2x1 vào (2) ta được:
2
2
2
3 2
2 2 1
2
x x
x
x
0,5
;
KL T
0,5 III
1
Cho x y z, , là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz x z y
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
2,0
Đặt x tan ,A y tan ,B z tan , (0C A B C, , 2)
Trang 5Theo giả thiết ta có:
Khi đó:
P
2sin A B sin A B 4sinC 3sin cosC C
2sin sinC A B 4sinC 3sin cosC C
2sinC 4sinC 3sin cosC C sin (3cosC C 2) sin (1 3sinC C)
0,5
Nếu
3
3
C P
Nếu
3 sin
3
C
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm
6
3
9
P
0,5
Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra khi
.Vậy giá trị lớn nhất của P bằng
2
9
0,5
2
Cho dãy số u thỏa mãn điều kiện n u 1 2 và
2
1 2 3 n n, 1,2,
u u u u n u n
Tìm công thức số hạng tổng quát u của dãy số n u n 2,0
Với n= 2,ta có 1+ =2 2Þ 2 =
2
3
Với mọi n= 2,3, ,ta có + + + - + = 2
u1+ + +u2 u n-1= -(n 1)2u n-1.
0,5
Trừ hai đẳng thức trên ta được = 2 - ( - )2 - " ³
1
1
n
0,5
Trang 6( ) ( )
2 2
6
n
u
Với n1,n công thức trên vẫn đúng.2
* 4
, 1
n
n n
0,5
IV
1
Một hộp đựng 50 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 50 Chọn ngẫu nhiên từ
hộp hai thẻ Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số
n C
Gọi A là biến cố hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3
Giả sử 2 số được chọn là a,b Theo giả thiết
3
a b
a b
0,5
Nếu a b 3 thì a, b phải đồng dư khi chia 3 số cách chọn là:
C C C
Nếu a b 3 thì hoặc a và b cùng chia hết cho 3 hoặc một số chia 3 dư 1,
một số chia 3 dư 2 số cách chọn là: C162 C C171 171
0,5
Lại có:
3 3
b
a b
Vậy
2 50
681 1225
P A
C
2
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A, M là
trung điểm của AB Đường thẳng CM x: 2y và 7 0
4 7
;
3 2
K
là trọng
tâm tam giác ACM Đường thẳng AB đi qua điểm D3; 1 Tìm tọa độ các
đỉnh của tam giác ABC , biết điểm M có hoành độ nguyên và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng x6y 26 0.
2,0
Trang 7H G
K E
N M
A
I
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trước hết ta chứng minh
MC^IK Thật vậy, gọi H N, lần lượt là trung điểm BC AC, ;G=AH CMÇ Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC.Mặt khác K là trọng tâm tam giác
ACM nên KG HE|| Suy ra KG AB|| Mà IM ^AB nên KG^IM
Rõ ràng AH ^MKnên G là trực tâm tam giác MIK Suy ra MC^IK
0,5
Đường thẳng KI qua K và vuông góc với CM nên có phương trình:
12x+6y- 37=0
Tọa độ I thỏa mãn hệ
1
25
6
x
I
ì = ï
Gọi M(2 m 7; - m)Î MC.
Ta có (2 10; m 1 ;) 2 8;m 25
6
0,5
13 ( ) 3 7 ( ) 2
é
ê = ê
Û ê
ê ê
uuuur uuur
Suy ra
7 0;
2
Mæ öç ÷
÷
çè ø,
9 3;
2
= -ççè ÷÷ø
uuuur
Từ đó suy ra AB: 3x+2y- 7=0.
0,5
Gọi C c(2 - 7;c)Î CM
Do
4 7
;
3 2
K
là trọng tâm ACM nên A(11 2 ;7 c - c - ) Mà A ABÎ suy ra c=5
Từ đóA(1; 2 ,) (B - 1;5 ,) (C 3;5 ) Thử lại ta thấy AB AC thỏa mãn bài toán
0,5
V 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh 3a, SA SD 3a,
3 3
SB SC a Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SD,
P là điểm thuộc cạnh AB sao cho AP2a Tính diện tích thiết diện của hình
Trang 8chóp khi cắt bởi mặt phẳng MNP
E F
P N
M
B A
S
I
Do MN AD// MN BC// Vậy MNP cắt mặt phẳng ABCD theo giao tuyến
đi qua P, song song BC và cắt DC tại điểm I Thiết diện của khối chóp cắt
bởi mặt phẳng MNP chính là hình thang MNIP
Do NDI MAP nên MP NI Từ đó suy ra MNIP là hình thang cân
0,5
Trong tam giác SAB, ta có
2
cos
SAB
Trong tam giác, MAP, ta có
0,5
Từ M kẻ MFPI, từ N kẻ NEPI Dễ thấy, tứ giác MNEF là hình chữ
nhật và từ đó suy ra
0,5
Xét tam giác vuông MFP, ta có
Ta có
3
MNIP
a
S
0,5
2
Cho tứ diện ABCD G là trọng tâm tam giác BCD và M là điểm di động
bên trong tam giác BCD sao cho khi M khác G thì MG không song song
với CD Đường thẳng qua M và song song với GA cắt các mặt phẳng
ABC , ACD , ABD lần lượt tại , , P Q R Tìm giá trị lớn nhất của tích
MP MQ MR
Trang 9Q P
R
K
M G
I
J
D
C B
A
- Xét M trùng G thì MP MQ M R GA. . 3
- Xét M không trùng G, nêu cách kẻ P,Q, R đúng
0,5
Tính có:
3
0,5
Theo Côsi
3
3
Dấu bằng xảy ra khi
MP MQ MR
M
KL: Giá trị lớn nhất bằng GA khi M là trọng tâm tam giác BCD3
0,5
Mời bạn đọc cùng tham khảo