Nghiên cứu ứng dụng thuật toán chặt cân bằng cho bài toán điều khiển cân bằng xe hai bánh

Phương pháp nghiên cứu - Thu thập nội dung các phương pháp giảm bậc mô hình, các thuật toán điều khiển cân bằng xe hai bánh thông qua sách, các tạp chí chuyên ngành và qua mạng Ý nghĩa

Trang 2

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả, số liệu nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình

nào khác

Thái nguyên, ngày 20/7/2020

Tác giả luận văn

Trang 3

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, lời cảm ơn sâu sắc tới

thầy giáo TS Vũ Ngọc Kiên, người đã trực tiếp chỉ bảo và hướng dẫn em trong

suốt thời gian qua

Em xin bày tỏ lòng cảm ơn đối với các thầy cô giáo trong Khoa, bộ môn

cùng đông đảo bạn bè, đồng nghiệp đã cổ vũ rất nhiều cho việc thực hiện luận văn

này

Mặc dù được sự chỉ bảo sát sao của thầy hướng dẫn, sự nỗ lực cố gắng của

bản thân Song vì kiến thức còn hạn chế, nên chắc chắn luận văn này không tránh

khỏi những thiếu sót nhất định Em rất mong được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo

và sự góp ý chân thành của các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Trang 4

MỞ ĐẦU

Tăng tốc độ xử lý và tính toán hiện nay là một hướng ưu tiên nghiên cứu trong lĩnh vực kỹ thuật Để tăng tính toán, có một số hướng tiếp cận sau:

1 Sử dụng tối ưu thông lượng bộ nhớ cho các vi xử lý song song

2 Phân rã các bài toán và lập trình song song theo nghĩa tính toán hiệu năng cao

3 Quay về dùng các chip tương tự như mạng nơ ron tế bào (CNN)

4 Tìm cách giảm độ phức tạp của thuật toán mà vẫn đảm bảo sai số theo yêu cầu

Giảm độ phức tạp của thuật toán chính là giảm bậc mô hình mà luận văn sẽ tập

trung nghiên cứu

Trong những năm gần đây, nghiên cứu về giảm bậc mô hình xe hai bánh tự

cân bằng đã được nhiều nhà khoa học trên thế giới quan tâm Một trong những khó

khăn nhất của vấn đề nghiên cứu xe hai bánh là khả năng duy trì cân bằng ổn định

trong những địa hình khác nhau Trong đó, một vấn đề khó khăn là nghiên cứu điều

khiển cân bằng xe hai bánh Để giải quyết vấn đề cân bằng xe hai bánh, có ba

phương pháp cơ bản như sau:

(i) điều khiển cân bằng bằng bánh đà,

(ii) điều khiển cân bằng sử dụng lực ly tâm

(iii) điều khiển cân bằng cách thay đổi tâm của trọng lực

Trong số ba phương pháp đó, cân bằng nhờ sử dụng bánh đà có ưu điểm là đáp ứng

nhanh và có thể cân bằng ngay cả khi xe không di chuyển

Do xe hai bánh thường phải làm việc trong các điều kiện khác nhau, tải trọng mang theo có thể thay đổi, ngoại lực tác động vào xe có thể thay đổi nên việc mô

hình hóa xe hai bánh tự cân bằng gặp nhiều khó khăn và có thể coi xe hai bánh là

đối tượng bất định Do tính chất bất định của mô hình xe hai bánh nên thuật toán

điều khiển bền vững như trong nghiên cứu là thích hợp nhất

Lý thuyết điều khiển H∞ là một lý thuyết điều khiển hiện đại cho việc thiết kế

Trang 5

đổi hoặc chịu tác động của nhiễu bên ngoài Tuy nhiên, thiết kế bộ điều khiển theo

lý thuyết điều khiển H∞, bộ điều khiển thu được thường có bậc cao (bậc của bộ điều

khiển được xác định là bậc của đa thức mẫu) Bậc của bộ điều khiển cao có nhiều

bất lợi khi chúng ta đem thực hiện điều khiển trên xe hai bánh, vì mã chương trình

phức tạp Vì vậy, việc giảm bậc bộ điều khiển mà vẫn đảm bảo chất lượng có một ý

nghĩa thực tiễn

Mục tiêu nghiên cứu

- Nghiên cứu và đánh giá ưu nhược điểm của các phương pháp giảm bậc mô

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: Các thuật toán giảm bậc mô hình, xe hai bánh tự cân bằng

- Phạm vi nghiên cứu: Thuật toán chặt cân bằng cho hệ tuyến tính ổn định và không ổn định; bài toán điều khiển cân bằng xe hai bánh

Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập nội dung các phương pháp giảm bậc mô hình, các thuật toán điều

khiển cân bằng xe hai bánh thông qua sách, các tạp chí chuyên ngành và qua mạng

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Áp dụng thuật toán chặt cân bằng để giảm bậc bộ điều khiển bậc cao sẽ giúp giảm độ phức tạp của thuật toán điều khiển, giảm thông tin thừa, tăng tốc độ xử lý

Mô hình giảm bậc được sử dụng sẽ giúp xử lý tín hiệu một cách đơn giản, tăng tốc

Trang 6

độ tính toán, thiết kế hệ thống điều khiển đơn giản hơn đồng thời vẫn đảm bảo độ chính xác yêu cầu

Nội dung cơ bản của luận văn gồm các chương sau:

Chương 1: Tổng quan về giảm bậc mô hình

Chương 2: Thuật toán giảm bậc mô hình

Chương 3: Ứng dụng giảm bậc mô hình cho bài toán điều khiển cân bằng xe hai

bánh

Sau thời gian tìm hiểu và nghiên cứu và đặc biệt dưới sự hướng dẫn của

Thầy TS Vũ Ngọc Kiên luận văn của em đã được hoàn thành

Trong quá trình thực hiện luận văn, chắc chắn không tránh khỏi những thiếu

sót Em rất mong được sự chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo và sự góp ý chân thành

của các bạn

Trang 7

MỤC LỤC

Nội dung Trang

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỞ ĐẦU iii

MỤC LỤC vi

Danh mục các bảng viii

Danh mục các hình vẽ, đồ thị ix

Danh mục các ký hiệu viết tắt xii

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ GIẢM BẬC MÔ HÌNH 1

1.1 Giới thiệu về giảm bậc mô hình 1

1.2 Bài toán giảm mô hình 2

1.3 Các phương pháp giảm bậc mô hình 3

1.3.1 Các nghiên cứu giảm bậc mô hình trên thế giới 3

1.3.2 Các nghiên cứu trong nước về giảm bậc 5

1.4 Kết luận chương 1 6

CHƯƠNG 2 THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH 7

2.1 Một số phép tính toán sử dụng trong giảm bậc mô hình 7

2.1.1 Một số phép phân tích ma trận 7

2.1.2 Gramian điều khiển và quan sát của hệ tuyến tính 7

2.2 Thuật toán chặt cân bằng cho hệ ổn định 9

2.3 Thuật toán chặt cân bằng cho hệ không ổn định 11

2.3.1 Gramian điều khiển và Gramian quan sát của hệ không ổn định 13

2.3.2 Thuật toán chặt cân bằng gián tiếp cho hệ không ổn định 16

2.3.3 Thuật toán chặt cân bằng trực tiếp của Zhou 17

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG GIẢM BẬC MÔ HÌNH CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CÂN BẰNG XE HAI BÁNH 20

3.1 Mô hình xe hai bánh tự cân bằng 20

Trang 8

3.2 Mô hình hóa xe hai bánh tự cân bằng 21

3.3.Thiết kế bộ điều khiển bền vững RH∞ 28

3.3.1 Khái niệm cơ bản về lý thuyết điều khiển RH∞ 28

3.3.2 Mô tả không gian H∞ và RH∞ 29

3.3.3 Xác định tập ( )R s các bộ điều khiển làm hệ SISO ổn định 31

3.3.4 Tìm ( )R s trong R s để hệ có độ nhạy nhỏ nhất 33 ( )

3.3.5 Thiết kế tối ưu RH∞ cho bài toán cân bằng xe hai bánh 34

3.4 Ứng dụng giảm bậc mô hình cho bài toán điều khiển cân bằng xe hai bánh 42 3.4.1 Giảm bậc bộ điều khiển cân bằng xe hai bánh 42

3.4.2 Sử dụng bộ điều khiển giảm bậc để điều khiển cân bằng xe hai bánh 47

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 62

A KẾT LUẬN 62

B KIẾN NGHỊ 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

Trang 9

Danh mục các bảng

Bảng 3.1 Các thông số của mô hình xe hai bánh tự cân bằng 21

Bảng 3.2 Kết quả giảm bậc phân hệ ổn định của bộ điều khiển bậc cao 43

Bảng 3.3 Kết quả giảm bậc bộ điều khiển bậc cao 43

Bảng 3.4 Kết quả giảm bậc bộ điều khiển bậc cao 45

Trang 10

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Hình 3.4 Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển bền vững RH∞ 30

Hình 3.5 Mô hình Simulink xe hai bánh tự cân bằng 38

Hình 3.6 Sơ đồ Simulink hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh tự cân

bằng

38

Hình 3.7 Đáp ứng góc lệch θ của xe khi tham số mô hình danh định 39

Hình 3.8 Đáp ứng góc lệch θ của xe khi tham số mô hình thay đổi 40

Hình 3.9 Đáp ứng góc lệch θ của xe khi tham số mô hình thay đổi 41

Hình 3.10 Đáp ứng bước nhảy của bộ điều khiển gốc và các bộ điều khiển

giảm bậc theo thuật toán chặt cân bằng gián tiếp

44

Hình 3.11 Đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc và các bộ điều khiển giảm

bậc theo thuật toán chặt cân bằng gián tiếp

44

Hình 3.12 Đáp ứng bước nhảy của bộ điều khiển gốc và các bộ điều khiển

giảm bậc theo thuật toán chặt cân bằng trực tiếp

46

Hình 3.13 Đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc và các bộ điều khiển giảm

bậc theo thuật toán chặt cân bằng trực tiếp

46

Hình 3.14 Mô hình Simulink hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh 47

Hình 3 15 Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử

dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 5 theo thuật toán chặt cân bằng

gián tiếp

48

Trang 11

dụng bộ điều khiển bậc 4 theo thuật toán chặt cân bằng gián tiếp

49

dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 5 khi thông của mô hình xe hai

bánh thay đổi

50

dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 5 khi thông của mô hình xe hai

bánh thay đổi

51

Hình 3.19 Mô hình Simulink hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh 52

trực tiếp

53

dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 4, bậc 3, bậc 2 theo thuật toán

chặt cân bằng trực tiếp

54

trực tiếp

55

dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 4, bậc 3 theo thuật toán chặt

cân bằng trực tiếp

56

dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 2 theo thuật toán chặt cân

bằng trực tiếp

57

58

Trang 12

trực tiếp

59

60

Trang 13

Danh mục các ký hiệu viết tắt

LQG Linear Quadratic Regulator

SVD Singular Value Decomposition

Trang 14

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ GIẢM BẬC MÔ HÌNH

1.1 Giới thiệu về giảm bậc mô hình

Vì sao có bài toán giảm bậc mô hình ?

Trong rất nhiều lĩnh vực kỹ thuật (như kỹ thuật hàng không, kỹ thuật điều khiển, kỹ thuật ô tô, động lực, …), mô hình toán học được sử dụng để mô hình hóa,

điều khiển và phân tích cho các hệ thống lớn và các hiện tượng vật lý Do sự phát

triển của các phần mềm thiết kế mô hình chuyên dụng và tính toán chính xác trên

máy tính nên mô phỏng số ngày càng được sử dụng để mô phỏng các hệ thống phức

tạp hoặc hiện tượng vật lý và rút ngắn thời gian phát triển sản phẩm và giảm giá

thành Tuy nhiên, do yêu cầu tăng cường tính chính xác của các mô hình đã dẫn đến

việc tăng cường số lượng các biến (biến trạng thái) và khối lượng tính toán cần

được xử lý làm tăng chi phí tính toán mô phỏng Hơn nữa, theo quan điểm của điều

khiển học, khi mô hình đối tượng bậc cao hoặc bộ điều khiển bậc cao sẽ dẫn đến :

+ Sự gia tăng thời gian mô phỏng và khó khăn trong việc phân tích tính chất

của mô hình như tính chất bất định, thay đổi thông số, tính phi tuyến

+ Khó khăn khi tổng hợp bộ điều khiển hiện đại (như điều khiển LQG, điều khiển bền vững H∞, H∞,/H2, MPC ) cũng như hệ thống điều khiển sẽ khó có khả

năng đáp ứng yêu cầu điều khiển thời gian thực

Vì vậy nếu có một mô hình toán học có bậc nhỏ hơn mà có thể mô tả một

cách tương đối chính xác đối tượng hoặc bộ điều khiển bậc cao thì :

- Mô hình giảm bậc tạo điều kiện để tìm hiểu về hệ thống hoặc để có sự hiểu

biết ban đầu về hệ thống dễ dàng hơn: Mô hình giảm giúp hiểu về hệ thống đơn

giản hơn

- Mô hình bậc thấp sẽ giảm thời gian tính toán: Mô hình bậc thấp giúp quá

trình tính toán nhanh hơn

- Mô hình bậc thấp chỉ ra được các đặc điểm (hành vi) bền vững của mô hình

gốc: Mô hình giảm bậc là mô hình đáng tín cậy hơn

Trang 15

- Mô hình giảm bậc làm cho việc thiết kế điều khiển được thuận lợi hoặc dễ

dàng hơn: Bộ điều khiển thu được có cấu trúc đơn giản và dễ dàng hơn để hiểu và

thiết kế cũng như đáp ứng được yêu cầu điều khiển thời gian thực

Từ thực tế đó, yêu cầu xác định mô hình bậc thấp từ mô hình gốc bậc cao đáp ứng một số yêu cầu nhất định là một yêu cầu cấp thiết Các thuật toán để xác

định mô hình bậc thấp từ mô hình bậc cao đáp ứng một số yêu cầu cơ bản (như bảo

toàn tính ổn định, sai số giảm bậc nhỏ, ) hình thành nên lĩnh vực được gọi là “giảm

bậc mô hình” (MOR: Model Order Reduction)

1.2 Bài toán giảm mô hình

Mô hình giảm hay giảm bậc mô hình là một thuật toán để tìm một hệ bậc

thấp hơn so với hệ gốc dạng hệ phương trình vi phân thường (ODEs – ordinary

differential equations) Ý tưởng chính của thuật toán là chuyển véctơ trạng thái bậc

cao thành một véctơ trạng thái bậc thấp trong không gian trạng thái, cụ thể như sau:

Cho một hệ tuyến tính, liên tục, tham số bất biến theo thời gian, có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra, mô tả trong không gian trạng thái bởi hệ phương trình sau:

x∈R u∈R y∈R A∈R B∈R C∈R Mục tiêu của bài toán

giảm bậc đối với mô hình mô tả bởi hệ phương trình đã cho trong (1.1) là tìm mô

hình mô tả bởi hệ các phương trình:

Sao cho mô hình mô tả bởi phương trình (1.2) có thể thay thế mô hình mô tả bởi

phương trình trong (1.1), đồng thời đáp ứng được một số yêu cầu sau:

1 Sai số giảm bậc nhỏ và tồn tại một giới hạn lỗi toàn cục;

Trang 16

2 Thuật toán giảm bậc cần tính toán hiệu quả, ổn định;

3 Thuật toán giảm bậc có thể thực hiện tự động dựa trên giới hạn sai số;

4 Các tính chất quan trọng của hệ thống gốc cần được bảo toàn trong hệ giảm bậc như tính ổn định và thụ động, …

1.3 Các phương pháp giảm bậc mô hình

1.3.1 Các nghiên cứu giảm bậc mô hình trên thế giới

Trong nhiều năm qua, đã có hàng trăm công trình nghiên cứu để giải quyết

bài toán giảm bậc mô hình bậc cao được công bố và đề xuất, trong đó hầu hết các

công trình tập trung giải quyết bài toán giảm bậc cho hệ tuyến tính Tuy nhiên theo

[1, 32], đối với một hệ bậc cao cho trước, các phương pháp đã đề xuất có thể được

phân loại như sau

Nhóm phương pháp bảo toàn những giá trị riêng quan trọng của mô hình

gốc bậc cao để xác định bậc của mô hình bậc thấp Và các tham số của mô hình bậc

thấp được xác định sao cho trước tác động của tín hiệu tại đầu vào, đáp ứng của mô

hình bậc thấp gần đúng với đáp ứng của mô hình gốc Đề xuất được quan tâm nhiều

nhất của nhóm là phương pháp điểm cực trội của Rommes [22, 23, 24], trong những

nghiên cứu này, tác giả đã đưa ra được khái niệm hay tiêu chuẩn đánh giá tính quan

trọng của điểm cực dựa trên cở sở đóng góp của điểm cực vào đáp ứng xung đầu ra

từ đó làm cơ sở phân loại các điểm cực và bảo lưu các điểm cực trong hệ giảm bậc

Nhóm phương pháp dựa trên thuật toán phân tích giá trị suy biến SVD:

Đề xuất đầu tiên của nhóm phương pháp này là phương pháp chặt cân bằng (cân

bằng nội) do Moore đề xuất [18] Phương pháp chặt cân bằng được thực hiện bằng

cách áp dụng điều kiện tương đương lên quá trình đường chéo hóa đồng thời hai ma

trận gramian điều khiển và quan sát động học của hệ trong tư duy hệ hở Việc tương

đương hóa hai ma trận đường chéo như thế cho phép chuyển mô hình gốc biểu diễn

trong hệ cơ sở bất kỳ thành hệ tương đương biểu diễn theo hệ tọa độ trong không

gian cân bằng nội Từ không gian cân bằng đó, mô hình bậc thấp có thể tìm được

Trang 17

bằng cách loại bỏ các giá trị riêng ít đóng góp cho sự tạo dựng mối quan hệ giữa

đầu vào và đầu ra của hệ Những nghiên cứu gần đây [10] tập trung vào hoàn thiện

thuật toán cho từng ứng dụng cụ thể của thuật toán cắt ngăn cân bằng Ngoài

phương pháp cân bằng nội thì còn có một số phương pháp cân bằng khác như

phương pháp cân bằng ngẫu nhiên [17, 31], cân bằng giới hạn thực, cân bằng thực

dương [26], cân bằng LQG [9], cân bằng trọng tần số [35], phương pháp xấp xỉ

chuẩn Hankel (Hankel-Norm Approximation) [2], …

Nhóm phương pháp Singular Perturbation Approximation được đề xuất

đầu tiên bởi Y Liu và B D O Anderson [34] và được hoàn thiện thêm thuật toán

và ứng dụng trong các nghiên cứu [1, 28, 29]

Nhóm phương pháp dựa trên không gian con Krylov (moment matching

của hệ giảm bậc và hệ gốc Sự hấp dẫn chủ yếu của nhóm phương pháp này nằm ở

chỗ tính toán đơn giản hơn so với các phương pháp khác Nhóm phương pháp này

được phát triển từ phương pháp lấy xấp xỉ khi tích phân gần đúng hàm theo chuỗi

của Pade [21] Một hạn chế lớn của phương pháp gần đúng Pade là đôi khi các mô

hình bậc thấp tìm được có thể không ổn định dù rằng mô hình gốc bậc cao ổn định

Để khắc phục nhược điểm trên đã có nhiều phương pháp được đề xuất trong đó

quan trọng nhất là phương pháp giảm bậc ổn định sử dụng phương pháp gần đúng

theo chuỗi Chebyshev Pade do Bistritz và Lanholz đề xuất [5] và phương pháp thời

điểm phù hợp (Pade approximants - moment matching) dựa trên không gian Krylov

[13, 16, 32] và được chia làm 3 nhóm nhỏ hơn là 1) thực hiện theo quy trình

Arnoldi [33] 2) thực hiện theo quy trình Lanholz [13], 3) thực hiện theo tỷ số năng

lượng [16] Các kỹ thuật thuật toán này đảm bảo cho việc lựa chọn điểm trùng khớp

phù hợp, cung cấp giới hạn lỗi, đảm bảo được sự ổn định của mô hình, có thể áp

dụng cho hệ nhiều vào nhiều ra, hệ tính toán song song,…

Nhóm phương pháp dựa trên Gramian và hàm dấu ma trận (Low-rank

Gramian approximants and matrix sign function method): Nhóm phương pháp này

Trang 18

là sự kết hợp của phương pháp dựa trên SVD và phương pháp thời điểm phù hợp

(moment matching) dựa trên không gian con Krylov: Nhóm phương pháp này tìm

cách kết hợp ưu điểm của các thuật toán dựa trên SVD và các thuật toán dựa trên

phương pháp thời điểm phù hợp Đề xuất đầu tiên của nhóm phương pháp này là

của Li [25] đề xuất cách giải 2 phương trình Lyapunov bằng phép chiếu không gian

con Krylov Tiếp theo hiện có rất nhiều tác giả tiếp tục nghiên cứu và đưa ra nhiều

phương pháp khác nhau để kết hợp 2 nhóm phương pháp trên [4, 5, 8, 11, 12]

Nhóm các phương pháp khác: Đánh quan tâm nhất là nhiễu loạn được

Sannuti và Kokovic đề xuất [27], phương pháp này đặc biệt tiện lợi khi hệ thống

gốc có đặc tính biến đổi theo hai mức thời gian Các trạng thái động học của hệ

được phân chia thành các nhóm thuộc mode “chậm” và mode “nhanh” và việc giảm

bậc được thực hiện bằng cách cho các đạo hàm theo thời gian của các trạng thái

thuộc mode “nhanh” bằng không để các trạng thái thuộc thuộc mode “nhanh” được

loại bỏ

Ngoài ra con có các phương pháp như phương pháp kết hợp phép chiếu trực

giao thích hợp (POD) với phương pháp cắt ngắn cân bằng (POD-BT), hay phương

pháp dùng các thuật toán PSO hoặc GA tìm thông số của mô hình giảm bậc cố định

cho hệ SISO,

1.3.2 Các nghiên cứu trong nước về giảm bậc

Theo tìm hiểu của tác giả thì ở trong nước hiện nay chưa có nhiều công trình nghiên cứu về giảm bậc mô hình, xin nêu ra ở đây một số công trình mà tác giả đã

tìm hiểu được

Luận văn tiến sĩ của Đào Huy Du [20] đề xuất phương pháp giảm bậc kết

hợp giữa phương pháp dựa trên SVD với bảo toàn giá trị riêng quan trọng và áp

dụng thuật toán giảm bậc cho bài toán viễn thông

Các nghiên cứu của Nguyễn Ngọc San [7] đề xuất phương pháp giảm bậc tối

ưu đầu ra, đảm bảo bảo lưu các trạng thái các trạng thái của mô hình gốc bậc cao

Trang 19

trong mô hình giảm bậc và áp dụng thuật toán giảm bậc cho các bài toán trong

mạng viễn thông

Luận văn tiến sĩ của Vũ Ngọc Kiên [32] để xuất thuật toán giảm bậc bảo toàn

các điểm cực trội theo chuẩn H2, H∞ trong quá trình giảm bậc hệ ổn định và không

ổn định và áp dụng thuật toán vào bài toán điều khiển

1.4 Kết luận chương 1

Qua quá trình tìm hiểu các phương pháp giảm bậc mô hình, cho thấy phương

pháp "tốt nhất" hiện nay, tức là một phương pháp giảm bậc đáp ứng mọi yêu cầu,

chưa tồn tại Mỗi phương pháp giảm bậc đều có những ưu nhược điểm riêng và cần

sử dụng theo một nhu cầu thích hợp

Với mục tiêu của luận văn là nghiên cứu giảm bậc ứng dụng cho bài toán

điều khiển, cụ thể là ứng dụng cho bài toán điều khiển xe hai bánh tự cân bằng thì

phương pháp giảm bậc cần phải đảm bảo sai số giảm bậc nhỏ, hiệu quả tính toán

cao, đồng thời do bộ điều khiển bậc cao thu được theo các phương pháp điều khiển

bền vững H∞ có thể là không ổn định nên các thuật toán giảm bậc cần phải giảm bậc

được cho cả đối tượng ổn định và không ổn định

Trang 20

CHƯƠNG 2 THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH 2.1 Một số phép tính toán sử dụng trong giảm bậc mô hình

trong đó Σ =diag(σ σ1, 2, σn)là ma trận đường chéo, với σ1 >σ2 > >σn là căn

bậc hai của giá trị riêng *

AA Phép phân tích *

A= ΣU V được gọi là phép phân tích

giá trị suy biến của ma trận A [1]

2.1.1.2 Phân tích Schur

Cho ma trận vuông A∈ nxn

C Khi đó tồn tại ma trận unita U ∈ nxn

C sao cho

*,

A=U U∆

trong đó: ∆ là ma trận tam giác trên với các giá trị riêng của ma trận A nằm trên

đường chéo chính của ma trận ∆

2.1.1.3 Phân tích Cholesky

Cho ma trận A∈ nxn

C là ma trận xác định dương Khi đó tồn tại một ma trận

tam giác trên R ∈ nxn

C sao cho

* ,

Ma trận R còn được gọi là thừa số cholesky của A

2.1.2 Gramian điều khiển và quan sát của hệ tuyến tính

Xét một hệ tuyến tính, liên tục, tham số bất biến theo thời gian, ổn định tiệm

cận như mô tả trong (1.1)

Trang 21

Do A là ma trận ổn định (tất cả các giá trị riêng của A đều có phần thực âm)

và hệ mô tả bởi phương trình trong (1.1) có khả năng điều khiển và quan sát hoàn

toàn Khi đó Gramian đặc trưng cho khả năng điều khiển P và cho khả năng quan

sát Q của hệ (2.1) được định nghĩa như sau:

Gramian điều khiển P và Gramian quan sát Q thỏa mãn hai phương trình

Lyapunov sau đây:

T T

Gramian là đại lượng dùng để đo năng lượng điều khiển và năng lượng quan sát của

hệ Ý nghĩa vật lý của các Gramian được cho trong bổ đề [2]:

đó

(i) Năng lượng nhỏ nhất để điều khiển hệ từ trạng thái 0 tại thời điểm t = 0 tới

trạng thái x r tại thời điểm t = ∞ là x P*r −1xr

(ii) Năng lượng lớn nhất để quan sát trạng thái ban đầu x 0 của hệ là x Q0* x0

Nhận xét: Tính chất (i) và (ii) của Gramian điều khiển và quan sát cho chúng ta biết

biến trạng thái nào là khó điều khiển hoặc dễ điều khiển (cũng như khó quan sát hay

dễ quan sát) Cụ thể, những biến trạng thái nằm trong vùng các vector riêng của P

tương ứng với giá trị riêng lớn nhất sẽ là dễ điều khiển nhất vì chỉ cần năng lượng nhỏ để điều khiển những biến này Tương tự, những biến trạng thái nằm trong

Trang 22

vùng các vector riêng của Q tương ứng với giá trị riêng lớn nhất sẽ dễ quan sát nhất

vì chỉ cần năng lượng nhỏ để quan sát những biến này

Tính chất (ii) cho chúng ta ý tưởng về khái niệm cân bằng, tức là dùng một phép đổi

biến để sắp xếp lại các biến trạng thái từ theo thứ tự dễ điều khiển/dễ quan sát đến

khó điều khiển/khó quan sát Nếu ta sử dụng một phép biến đổi T để đưa hệ

(A B C D, , , ) trong (1.1) về dạng tương đương (T AT T B CT D−1 , −1 , , ) thì các Gramian

sẽ được biến đổi như sau:

1

ˆˆ

T T

=

=Khi này tích của hai Gramian mới P Qˆ, ˆ là ˆPQ T PQ Tˆ = ( ) − 1 Điều này đồng nghĩa

với việc mắc dù phép đổi biến T đã làm thay đổi các Gramian của hệ nhưng lại

không làm thay đổi các giá trị riêng của tích các Gramian P và Q Do đó, ta có

mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1.2 Các giá trị riêng của tích các Gramian P và Q là dương và bất

biến đối với các phép biến đổi không suy biến.

Ký hiệu {σ σ1, , ,1 σn} là các giá trị riêng của tích PQ , với giả thiết

σ ≥σ ≥ ≥σ thì ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 2.1.2 Tập các giá trị {σ σ1, , ,1 σn} được gọi là các giá trị suy biến

Hankel của hệ

Giá trị suy biến Hankel σi được coi là “năng lượng” của mỗi trạng thái của hệ

2.2 Thuật toán chặt cân bằng cho hệ ổn định

Thuật toán chặt cân bằng (balanced truncation) là phương pháp giảm bậc được giới thiệu đầu tiên bởi Moore [18], sau đó đã được nhiều tác giả phát triển và

hoàn thiện thuật toán [3, 6, 14, 15, 30]

Trang 23

Ý tưởng của thuật toán chặt cân bằng là tìm một phép biến đổi không suy

biến T để chéo hóa đồng thời hai ma trận Gramian điều khiển P và ma trận

Gramian quan sát Q như đã thảo luận trong Mục 2.1.2, sau đó áp dụng kỹ thuật

chặt (tức là bỏ đi những biến không quan trọng), để thu được hệ giảm bậc Nội dung

cụ thể của thuật toán như sau:

Xét hệ (A B C D, , , ) ổn định tiệm cận và biểu diễn ở dạng tối thiểu như được

mô tả trong (1.1)

Thuật toán 2.2: Thuật toán chặt cân bằng

Bước 1: Tính hai ma trận Grammian quan sát Q và Grammian điều khiển P của hệ

bằng cách giải hai phương trình Lyapunov (2.3) và (2.4)

Bước 2: Phân tích Cholesky cho ma trận P , tức là tìm ma trận tam giác trên R sao

các giá trị Hankel suy biến của hệ

T− =R UΣ−

Bước 5: Tính (A bal,B bal,C bal)=(T AT T A CT−1 , −1 , )

Bước 6 : Chọn số bậc cần rút gọn r sao cho r n< và σr >σr+1

Bước 7: Biểu diễn (A bal,B bal,C bal) ở dạng khối như sau

Trang 24

Hankel quan trọng nhất của hệ ban đầu là ( , , , )σ σ1 2 σr

(iii) Hệ rút gọn (A B C11, ,1 1) thu được từ Thuật toán 2.2 có đánh giá sai số

như sau:

trong đó G s( )=C sI( −A)−1B G s, r( )=C sI1( −A11)−1B1 là biểu diễn dạng hàm

truyền của hệ gốc (1.1) và hệ rút gọn, (σr+1,σr+2, ,σn) là các giá trị suy biến

Hankel bị lược bỏ

2.3 Thuật toán chặt cân bằng cho hệ không ổn định

Từ định nghĩa về Gramian điều khiển và Gramian quan sát xác định trong (2.1) và (2.2) thì thuật toán chặt cân bằng không thể áp dụng cho hệ không ổn định

do tích phân trên sẽ bằng vô cùng (unbounded) khi hệ không ổn định

Tuy nhiên bài toán giảm bậc trong thực tế, đặc biệt là bài toán giảm đối tượng điều khiển và giảm bậc bộ điều khiển thì đối tượng gốc bậc cao hoặc bộ điều

khiển gốc bậc cao có thể không ổn định vì thế rất cần mở rộng thuật toán chặt cân

Trang 25

bằng cho cả hệ không ổn định để có thể áp dụng thuật toán chặt cân bằng cho mọi

đối tượng của bài toán giảm bậc (đối tượng ổn định hoặc không ổn định)

Thực tế, hệ phương trình Lyapunov (2.3), (2.4) vẫn có thể được giải ngay cả

khi A là không ổn định Chúng ta có một cách giải duy nhất khi và chỉ khi

( )A ( ) 0A

λ +λ ≠ Vì vậy, Gramian điều khiển và quan sát của một hệ thống có thể

không ổn định G s( )=C sI( −A)−1B có thể được định nghĩa như là nghiệm (nếu nó

tồn tại) của hệ phương trình Lyapunov sau:

Kết quả này đã được chứng minh trong các nghiên cứu [3, 6, 13, 14]

Phép biến đổi cân bằng cho hệ không bền vững được định nghĩa [3, 6, 13,

14] là một chuyển đổi sao cho P Q= = Σ , trong đó Σ là ma trận đường chéo (và

không xác định) nếu chuyển đổi đó tồn tại Ta có thể thu được một giới hạn lỗi giảm

bậc nếu thực hiện cắt ngắn mô hình theo phép biến đổi không suy biến trên

Nhưng không may là, phép biến đổi cân bằng trên không tồn tại cho tất cả các hệ không bền vững [3] Thực tế, hệ phương trình Lyapunov (2.6), (2.7) có thể

không giải được cho mọi trường hợp

bằng không thể áp dụng được nên không thể thu được một hệ giảm bậc

Một giới hạn khác của phép biến đổi cân bằng trên là, ngay cả khi (2.5), (2.6)

có thể giải được thì có thể không tồn tại một phép biến đổi cân bằng

Trang 26

Ví dụ: Một hệ G s( )=C sI( −A)−1B được cho trong [14] như sau

Hai ma trận trên không thể được chéo hóa đồng thời bởi một phép biến đổi

không suy biến do PQ có một cặp giá trị riêng phức

Những ví dụ trên cho thấy rằng phương pháp chặt cân bằng ở trên áp dụng cho hệ không ổn định là không thích hợp Như vậy rất cần phát triển một thuật toán

chặt cân bằng hoàn thiện có thể áp dụng cho mọi hệ không ổn định

2.3.1 Gramian điều khiển và Gramian quan sát của hệ không ổn định

Xét hệ thống được mô tả như trong (1.1) có thể là ổn định hoặc không ổn

định khi đó Gramian điều khiển P và Gramian quan sát Q của hệ được định nghĩa

lại như sau:

Định nghĩa trên chứng tỏ P và Q là Gramian điều khiển và quan sát của hệ

thống nếu A là ổn định Vì vậy ta có thể coi P và Q là Gramian điều khiển và

quan sát tổng quát có thể áp dụng cho hệ không bền vững (1.1) Vì vậy chúng ta có

kết quả sau:

Trang 27

Định đề 2.3.1: Hệ thống (2.1) là điều khiển được và quan sát được khi và chỉ khi

0

P > và Q > 0

Định lý 2.3.1: Giả sử A không có giá trị riêng nào nằm trên trục ảo và giả sử T là

một phép biến đổi không suy biến sao cho:

với P , 1 Q là Gramian điều khiển và quan sát của hệ 1 (A B C1, ,1 1) và P , 2 Q là 2

Gramian điều khiển và quan sát của hệ (−A B C2, ,2 2) Khi đó P và Q được định

nghĩa trong (2.7) và (2.8) có thể được phân chia thành:

Hệ quả 2.3.1: σi = giá trị thứ i lớn nhất của { λ(PQ1 1), λ(P Q2 2)}

Trang 28

Điều này chỉ ra rằng các giá trị Hankel suy biến chung có thể thu được bằng

cách tính toán các giá trị Hankel suy biến của phần ổn định và phần không không ổn

Định lý 2.3.2 được chứng minh chi tiết trong [15]

Trong trường hợp A là bền thì X =Y = và P , Q sẽ chính xác là Gramian 0

điều khiển và quan sát của hệ ổn định Trong trường hợp khác, nếu A là không ổn

định, ( A− sẽ là không ổn định) thì P= X−1> và 0 Q=Y−1> , … P và Q là 0

Gramian điều khiển và quan sát của hệ (−A B C, , )

Ta sẽ gọi hệ cân bằng (có thể là hệ không ổn định) nếu

( 1, 2, , n)

P=Q= Σ =diag σ σ σVới σ1≥σ1≥ ≥σn ≥ 0

Từ các kết quả trên ta thấy để thực hiện giảm bậc cho hệ không ổn định thì

có hai phương pháp cơ bản:

G s =G s+ +G s− , trong đó G s+( ) là phân hệ không ổn định và G s−( ) là phân

hệ ổn định Sau đó thực hiện giảm bậc phân hệ ổn định G s−( ) thu được hệ rút gọn

Trang 29

ổn định ˆ ( )G s− , kết quả giảm bậc của hệ không ổn định G s sẽ là ( )

ˆ( ) ˆ ( ) ( )

G s =G s− +G s+

Phần nội dung sau đây sẽ trình bày chi tiết nội dung các phương pháp giảm

bậc cho hệ không ổn định thực hiện theo hai phương pháp trên

2.3.2 Thuật toán chặt cân bằng gián tiếp cho hệ không ổn định

Xét hệ thống (A B C D, , , ) không ổn định được mô tả trong (1.1) và biểu diễn ở dạng

tối thiểu

Thuật toán 2.3.2: Thuật toán chặt cân bằng gián tiếp cho hệ không ổn định

Bước 1: Chuyển hệ thống về dạng tựa tam giác ta thu được hệ thống có dạng

2

n m xp t

Trang 30

mxp d

2

n m xp d

2.3.3 Thuật toán chặt cân bằng trực tiếp của Zhou

Xét hệ thống không ổn định được mô tả trong (1.1) và biểu diễn ở dạng tối

thiểu

Thuật toán 2.3.3: Thuật toán chặt cân bằng trực tiếp của Zhou [15]

Bước 1: Tính X và Y phần ổn định của hệ phương trình (2.9) và (2.10)

P=R R , với R là ma trận tam giác trên

Trang 31

Bước 5: Phân tích SVD ma trận T T 2

RQR =U ΣU , trong đó U là ma trận unitary

n

U U =UU =I Σ =diag σ σ σ , với σ1≥σ1≥ ≥σn ≥ là các giá trị 0

Hankel suy biến của hệ

Bước 6: Tính ma trận T không suy biến

T− =R UΣ−

Bước 7: Tính (A ubal,B ubal,C ubal)=(T AT T A CT−1 , −1 , )

Bước 9: Biểu diễn (A ubal,B ubal,C ubal) ở dạng khối nhau sau

Nhận xét: Tính chất (ii) của Định lý 2.4.3.2 cho nghĩa rút gọn (A B C11, ,1 1) giữ lại r

giá trị suy biến Hankel quan trọng nhất của hệ ban đầu là ( , , , )σ σ1 2 σr

2.4 Kết luận chương 2

Ý tưởng của thuật toán chặt cân bằng là tìm một phép biến đổi không suy

biến T để chéo hóa đồng thời hai ma trận Gramian điều khiển P và ma trận

Trang 32

Gramian quan sát Q sau đó áp dụng kỹ thuật chặt (tức là bỏ đi những biến không

quan trọng), để thu được hệ giảm bậc Thuật toán chặt cân bằng ban đầu của Moore

[18] chỉ áp dụng cho hệ ổn định Để mở rộng thuật toán chặt cân bằng cho hệ không

ổn định có hai giải pháp là giảm bậc trực tiếp hệ không ổn định và giảm bậc gián

tiếp hệ không ổn định

Trang 33

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG GIẢM BẬC MÔ HÌNH CHO BÀI TOÁN ĐIỀU

KHIỂN CÂN BẰNG XE HAI BÁNH 3.1 Mô hình xe hai bánh tự cân bằng

Xét mô hình xe hai bánh tự cân bằng được xây dựng trong [32] như sau:

Hình 3.1 Mô hình xe hai bánh tự cân bằng

Mô hình xe hai bánh tự cân bằng được xây dựng dựa trên định luật bảo toàn

động lượng như sau: Nếu không có một mô men xoắn (mô men lực) bên ngoài nào

tác động lên một đối tượng hay hệ thống (hoặc tổng mô men xoắn - mô men lực tác

động vào một đối tượng bằng không) thì tổng mômen động lượng của đối tượng đó

sẽ được bảo toàn

Xe hai bánh tự cân bằng trang bị một bánh đà và sử dụng bánh đã để duy trì

cân bằng của xe Một động cơ một chiều có tác dụng tạo ra mô men xoắn cho bánh

đà và do đó khi xe bị nghiêng khỏi vị trí cân bằng thì động cơ xe quay bánh đà và

gây ra một mô mem xoắn tương ứng tác động lên xe theo chiều ngược chiều

nghiêng của xe có tác dụng kéo xe trở lại vị trí cân bằng

Nhiệm vụ của hệ thống điều khiển cân bằng xe đó là: Khi xe bị nghiêng khỏi

phương thẳng đứng một góc θ , thì hệ thống sẽ dựa vào tín hiệu góc nghiêng θ của

xe để tạo ra tín hiệu điện áp U đặt vào động cơ 1 chiều để quay bánh đà tạo ra mô

men xoắn tương ứng tác động lên xe theo chiều ngược chiều nghiêng của xe có tác

dụng kéo xe trở lại vị trí cân bằng

Trang 34

3.2 Mô hình hóa xe hai bánh tự cân bằng

Xét mô hình xe hai bánh như sau

Hình 3.2 Mô hình xe hai bánh từ cân bằng

Các ký hiệu trên sơ đồ

I là mô men quán tính của bánh đà

θ là góc nghiên của robot so với phương thẳng đứng

ϕ là góc quay của bánh đà

Ta có:

Vận tốc góc của robot quanh vị trí thẳng đứng là θɺ

Vận tốc góc của bánh đà quanh trục quay là ϕɺ

Vận tốc tuyệt đối của điểm A là v A =h1θɺ

Vận tốc tuyệt đối của điểm B là v B =h2θɺ

Trang 35

Để xây dựng mô hình động học của hệ, trong nghiên cứu [32], tác giả sử dụng

Với T11 là động năng chuyển động thẳng của điểm A

T12 là động năng chuyển động quay của xe hai bánh

Trang 36

Với q i = , phương trình Lagrange trở thành θ

Trang 37

Với T m là mô men xoắn của trục động cơ

Thay phương trình (3.13-3.17) vào phương trình (3.12) ta thu được phương trình

Xét một động cơ điện một chiều có tỷ số truyền là a:1, thì mô mem xoắn của

động cơ DC truyền động cho bánh đà như sau:

K là hằng số sức điện động của động cơ;

R, là điện trở của động cơ

Phương trình (3.11) và (3.20) chính là hệ phương trình động học của hệ Rõ

ràng với các phương trình động lực học trên thì hệ là phi tuyến

Trang 38

Tuyến tính hóa mô hình và chuyển về dạng không gian trạng thái

Tuyến tính hóa phương trình (3.11) quanh điểm cân bằng (θ =ϕ= , 0

sinθ = ) ta thu được hệ phương trình sau: θ

Trang 39

A aK

Bảng các thông số danh định của xe hai bánh tự cân bằng

Bảng 3.1 Các thông số của mô hình xe hai bánh tự cân bằng [32]

Mô men quán tính của bánh đà (I2) 0,03289 Kg.m2

Chiều cao của trọng tâm bánh đà (h ) 2 0,205 m

Trang 40

Khối lượng của robot (m1) 10,024 Kg

Hằng số sức điện động của động cơ (K e) 0,045 V.s

I = m h coi xe như một thanh thẳng có chiều dài h = 0,205 (m), 2

khối lượng xe là m = 10,034 1

Thay số vào hệ phương trình (3.27) ta thu được các thông số như sau

47.2048 0 0.0100-47.2048 0 -0.1248

U

Nhận xét: Mô hình hóa xe hai bánh tự cân bằng cho thấy đây là đối tượng phi tuyến

và có một số tham số của xe hai bánh tự cân bằng là bất định như: chiều cao trọng

tâm xe hai bánh, khối lượng tải, điện trở động cơ, đồng thời khi hoạt động xe hai

bánh có thể chịu ảnh hưởng của các yếu tố bất định từ bên ngoài như: ngoại lực, địa

hình chuyển động bất định, do đó mô hình xe hai bánh thực chất là một đối tượng

bất định Các yếu tố bất định có thể làm giảm tính chính xác của mô hình toán học

của xe hai bánh từ đó dẫn tới giảm chất lượng điều khiển, thậm chí có thể làm hệ

thống trở nên mất ổn định Do đó để đảm bảo yêu cầu điều khiển ổn định xe hai

Định dạng
Số trang	80
Dung lượng	1,49 MB