Chứng minh rằng khi C thay đổi, tập hợp các điểm D thuộc một đường tròn cố định.. Giải:.[r]
Trang 1Giải SBT Toán 11 ôn tập chương 1: Phép dời hình và phép
đồng dạng trong mặt phẳng Bài 1.31 trang 39 Sách bài tập (SBT) Hình học 11
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x−5y+3=0 và vectơ
v→=(2;3) Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v→
Giải:
Gọi M′(x′;y′) d′ là ảnh của M(x,y) d qua phép tịnh tiến theo vecto v∈ ∈ →(2;3)
Do M(x,y) d nên∈
3x−5y+3=0
⇒3(x′−2)−5(y′−3)+3=0
⇔3x′−5y′+12=0(d′)
Vậy M′(x′;y′) d′: 3x′−5y′+12=0∈
Bài 1.32 trang 39 Sách bài tập (SBT) Hình học 11
Cho hình bình hành ABCD có AB cố định, đường chéo AC có độ dài bằng m không đổi Chứng minh rằng khi C thay đổi, tập hợp các điểm D thuộc một đường tròn cố định
Giải:
Xem D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ BA→ Do C chạy trên đường tròn (C) tâm A bán kính m, trừ ra giao điểm của (C) với đường thẳng AB, nên D thuộc đường tròn là ảnh của đường tròn nói trên qua phép tịnh tiến theo vectơ BA→
Bài 1.33 trang 39 Sách bài tập (SBT) Hình học 11
Cho tam giác ABC Tìm một điểm M trên cạnh AB và một điểm N trên cạnh AC sao cho MN song song với BC và AM = CN
Giải:
Giả sử đã dựng được
hai điểm M, N thỏa
mãn điều kiện đầu bài
Trang 2Đường thẳng qua M và song song với AC cắt BC tại D Khi đó tứ giác MNCD là hình bình hành Do đó CN = DM Từ đó suy ra tam giác AMD cân tại M Do đó MAD^=MDA^=DAC^ Suy ra AD là phân giác trong của góc A Do đó AD dựng được.Ta lại có NM→=CD→, nên có thể xem M là ảnh của N qua phép tịnh tiến theo vectơ DC→
Từ đó suy ra cách dựng:
- Dựng đường phân giác trong của góc A Đường này cắt BC tại D
- Dựng đường thẳng d là ảnh của đường thẳng AC qua phép tịnh tiến theo vectơ CD→
d cắt AB tại M
- Dựng N sao cho NM→=CD→
Khi đó dễ thấy M, N thỏa mãn điều kiện đầu bài
Bài 1.34 trang 39 Sách bài tập (SBT) Hình học 11
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x−2y−6=0
a) Viết phương trình của đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép đối xứng qua trục Oy b) Viết phương trình của đường thẳng d2 là ảnh của d qua phép đối xứng qua đường thẳng ∆ có phương trình x+y−2=0
Giải:
a) d1:3x+2y+6=0
b) Giao của d và ∆ là A(2;0) Lấy B(0;−3) thuộc d Ảnh của B qua phép đối xứng của đường thẳng ∆ là B′(5;2) Khi đó d' chính là đường thẳng AB′: 2x−3y−4=0
Bài 1.35 trang 39 Sách bài tập (SBT) Hình học 11
Cho đường tròn (C) và hai điểm cố định phân biệt A, B thuộc (C) Với mỗi điểm M chạy trên đường tròn (trừ hai điểm A, B), ta xét điểm N sao cho ABMN là hình bình hành Chứng minh rằng tập hợp các điểm N cũng nằm trên một đường tròn xác định Giải:
Tập hợp các điểm N thuộc đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng qua trung điểm của AB
Bài 1.36 trang 39 Sách bài tập (SBT) Hình học 11
Cho hai đường tròn có cùng tâm O, bán kính lần lượt là R và r,(R>r) A là một điểm thuộc đường tròn bán kính r Hãy dựng đường thẳng qua A cắt đường tròn bán kính r tại B, cắt đường tròn bán kính R tại C, D sao cho CD=3AB
Trang 3Gọi (C) là đường
tròn tâm O bán
kính r, (C1) là
đường tròn tâm O
bán kính R Giả
sử đường thẳng
đã dựng được
Khi đó có thể
xem D là ảnh của
B qua phép đối
xứng tâm A Gọi
(C') là ảnh của
(C) qua phép đối
xứng qua tâm A,
thì D thuộc giao
của (C') và (C1)
Số nghiệm của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm của (C') với (C1)
Bài 1.37 trang 39 Sách bài tập (SBT) Hình học 11
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x+y−2=0 Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O góc 45°
Giải:
Dễ thấy d chứa điểm H(1;1) và OH d Gọi H' là ảnh của H qua phép quay tâm O góc⊥ 45° thì H′=(0;√2) Từ đó suy ra d' phải qua H' và vuông góc với OH' Vậy phương trình của d' là y=√2
Bài 1.38 trang 40 Sách bài tập (SBT) Hình học 11
Qua tâm G của tam giác đều ABC, kẻ đường thẳng a cắt BC tại M và cắt AB tại N, kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và AB tại Q, đồng thời góc giữa a và b bằng 60° Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là một hình thang cân
Giải:
Gọi Q(G;1200) là phép
quay tâm G góc 1200
Phép quay này biến b
thành a, biến CA thành
AB; do đó nó biến P
thành N
Trang 4Tương tự Q(G;1200) cũng biến Q thành M Từ đó suy ra GP=GN, GQ=GM Do đó hai tam giác GNQ và GPM bằng nhau, suy ra NQ = PM Vì Q(G;1200) biến PQ thành NM nên PQ=NM Từ đó suy ra hai tam giác NQM và PMQ bằng nhau Do đó NQM^=PMQ^ Tương tự QNP^=MPN^
Từ đó suy ra PNQˆ+NQMˆ=1800
Do đó NP QM Vậy ta có tứ giác MPNQ là hình thang cân.∥
Bài 1.39 trang 40 Sách bài tập (SBT) Hình học 11
Gọi A', B', C' tương ứng là ảnh của ba điểm A, B, C qua phép đồng dạng tỉ số k Chứng minh rằng:A′B′→.A′C′→=k2AB.→AC→
Giải:
Theo định nghĩa của phép đồng dạng ta có B′C′=kBC, từ đó suy ra B′C′2=k2BC2 Hay (A'C'→ - A'B'→)2=k2(AC→ - AB→)2
Suy ra:
A′C′2−2A′C′→.A′B′→+A′B′2
=k2(AC2−2AC→.AB→+AB2)
Để ý rằng A′C′2=k2AC2,A′B′2=k2AB2 ta suy ra điều phải chứng minh
Bài 1.40 trang 40 Sách bài tập (SBT) Hình học 11
Gọi A’, B’ và C’ tương ứng là ảnh của ba điểm A, B và C qua phép đồng dạng Chứng minh rằng AB→=pAC→ nếu thì trong đó p là một số Từ đó chứng minh rằng phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và nếu điểm
B nằm giữa hai điểm A và C thì điểm B' nằm giữa hai điểm A’ và C’
Giải:
Để ý rằng
A′C′2=k2AC2,A′B′2
=k2AB2,A′C′→.A′B′→
=k2AC→.AB→
Ta có:
(A′B′→−pA′C′→)2=A′B′2−2pA′B′→.A′C′→+p2A′C′2
=k2(AB2−2pAB→.AC→+p2AC2)
Trang 5Từ đó suy ra A′B′→−pA′C′→=0→
Giả sử ba điểm A,B,C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A và C Khi đó
AB→=tAC→, với 0<t<1 Áp dụng bài 1.39 ta cũng có A′B→=tA′C′→, với 0<t<1 Do đó
ba điểm A′,B′,C′ thẳng hàng và điểm B' nằm giữa hai điểm A' và C'
Xem thêm các bài tiếp theo tại: