GTLN GTNN

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài 27... Với ,x y là hai số thực dương.

CHỦ ĐỀ 1: GTLN - GTNN

Bài 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2

3

A

x x



2xx  7 8 x 1 nên 0 2xx2 7 2 2 Suy ra 3 3

2

2 2  A

Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 1

4

x

AM GM



Bài 3 Cho x y z là các số thực thỏa mãn điều kiện , , 2 2 2

2018

x y z  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A2xyyzzx

Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2  

2 2011

0

x

Gợi ý:

2

2

1

2011 2011 2011

A

Bài 5 Cho hai số thực x y thỏa mãn , 2 2

2 1

x xy y  Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức 2

2

Ax  xy

Gợi ý: Biến đổi

,

    và dùng điều kiện có nghiệm của phương trình

bậc hai

Bài 6 Cho 2 2

1

x y  Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

x y P

x y





Gợi ý: Biến đổi P thành x2P 1 y P  1 3P.Sau đó dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bài 7 Cho x y là các số thực không âm thỏa mãn , x2y2 1

a) Chứng minh rằng 1  x y 2

b) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P 1 2 x 1 2  y

Gợi ý:a)  2 2 2

xy x y  xy  xy (vì 2xy 0, x y, 0) Suy ra x y 1

b) 2         

Suy ra P 4 2 3  1 3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x0,y1 hoặc x1,y0

Mặt khác, áp dụng BĐT quen thuộc  2  2 2

2

a b  a b ta có

2

Bài 8 Cho các số x y thỏa mãn 0,  x 3, 0 y 4 Tìm GTNN: 2 2   2 2

S x y  x  y

Gợi ý: Chứng minh bổ đề 2 2 2 2   2 2

a b  c d  a c  b d (dùng phép biến đổi tương đương)

Bài 9 Chứng minh 1 1 4

x y x y

 với mọi x y, 0. Áp dụng kết quả này để tìm GTNN của biểu

thức sau P 22 2 35 2ab

 với a0,b0,a b 4.

2





 2

2 2

AM GM





2 2





Do đó P17 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 2

Bài 10 Cho số thực x thỏa mãn  2 2

3x x 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Px  x  x x

P t  t  t  t 

Bài 11 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức P3 x 2 4 5x

Gợi ý: Dùng tính chất a b a b để tìm GTNN P3 x 2 5x 5 x 3 3

Bài 12 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y x xx2

Gợi ý: đk 0 x 1

 2    

y x  x x  x x x 

2y2x 1 2x1  1 2x 1 1 2x1  1 2 2x1  1 2x1   1 2

2

Bài 13 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 1 2 2

2

x

y   x x

Gợi ý: Điều kiện 1 1

2

x

Bài 14. Tìm GTLN,GTNN của 4 2 4 3 2

y x  x   x  x  x  x với1 x 2

Bài 15 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) A x2 5x25  x2 5x25

b) B 7 6 xx2  24 5 xx2  x214x59

c) C x2 2x 1 x26x 9 2 x24x13

D x y  x y  x y  x y

Gợi ý: Sử dụng tính chất bất đẳng thức trị tuyệt đối a   b a b

Bài 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

A x y xy x y

b) B x x 6x 13 x 4

x

3

2

c)

2

Bài 17 Tìm giá trị nhỏ nhất của

2

1 2

x



 

 với x2.

Gợi ý:

2

2

x



Bài 18 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

0

2

x B

x



Gợi ý: Dùng bđt cô si

Bài 19 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

a) A41 x 41 x 41x2 b) Bx xy y với x y 1

maxA3, minA 2, để tìm GTNN ta áp dụng a b  a b

b) Đặt a x b,  y0a b, 1, a2b2 1 Khi đó Ba3b3

1

1, min

2

 

2

2 2

1 2 2

B

Bài 20 Tìm giá trị lớn nhất của

2

x

Bài 21 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

a) A3 4x 3 8 3x b) Bx 8  x 5 x x3, 0 x 5

Gợi ý: a) A3 4x 3 12 4 x 12 4 x,áp dụng bổ đề a b  a b suy ra minA9

để tìm max A ta áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki chú ý A3 4x 3 4 12 4 x

Bài 22 Tìm giá trị nhỏ nhất của y3 4x24x 2 2 9x26x2

Bài 23 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x x2016 , gợi ý: đặt t x2016

Bài 24 Cho x y là các số thực thỏa mãn , 2 2

2x 6xy21y 21 Tìm giá trị lớn nhất của 3x4 y

Bài 25 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

2

x

A

x





10 2

x B x





Bài 26 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 27 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 4 22

P





Bài 28 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Px 5 4 x2 3 2x1 với 1 5

2 x 2

*Bài 29 Cho x y là các số thực dương thỏa mãn ,  x1 y 1 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

P

  (THPT chyên KHTN Hà Nội 2012-2013)

x y



 Đặt a x b,  y, ta cần tìm GTNN của

2 2

Pa b với

2 2

2

Bài 30 Cho a b là hai số dương Tìm GTNN của biểu thức ,

2 2

S





*Bài 31 Cho x y là các số thực dương thỏa mãn , x3y3xyx2y2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của biểu thức 1 2

P

(đề thi vào 10 THPT Chuyên KHTN Hà Nội 2014-2015)

Bài 32 Cho x y là các số thực dương thỏa mãn , x y 3 Tìm GTNN của 2 3

A



Gợi ý: Dự đoán minA khi x1,y2 Ta có  2 1 4 1 3

     2

x A

x



 …

Bài 33 Cho các số thực x y thỏa mãn điều kiện , x 3 y3  y 3 x3 Tìm giá trị lớn nhất của

Px  xy xy 

Bài 34 Cho hai số dương x y thỏa mãn , xy x y x y Tìm GTNN của P x y

(THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội 2012-2013)

Gợi ý: Từ giả thiết ta có

4

Suy ra 16P2P4  P 4

Bài 35 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 x 1 x 2 x

(Đề thi vào 10 Hà Nội 2018)

Gợi ý: P 1 x x 1 x x  1  x x 1 2 x2, dấu bằng xảy ra khi x0

Chú ý tính chất: a b a b

*Bài 36 Với ,x y là hai số thực dương Tìm GTNN của

3

4 8

P

(Đề thi vào 10 THPT Chuyên KHTN Hà Nội 2011-2012)

Gợi ý: Chứng minh các bất đẳng thức

3 2 2



Bài 37 Cho các số thực a b c thay đổi luôn thỏa mãn , , a1,b1,c1 và ab bc ca  9 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của Pa2 b2 c2

(Đề thi vào 10 Hà nội 2017)

Gợi ý: Từ giả thiết suy ra a1b  1 b 1c  1 c 1a 1 0

P a b c   ab bc ca     Vậy maxP18

Bài 38 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  4y2  x2y24x4y 8 x28x17

Gợi ý: 2 2   2 2  2 2

A y  x  y  x  Gọi A     2;y B x, ; 2 ,C 4;3

Khi đó AOAABBCOC5

Bài 39 Giả sử x y z là những số thực lớn hơn 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , ,

P

(Đề thi vào 10 THPT Chuyên KHTN 2014 -2015)

Bài 40 Cho a b c là các số thực không âm thỏa mãn , , a b c  1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P a b  b c  c a

(Đề thi vào 10 THPT Chuyên Hà Tĩnh năm 2014-2015)

Gợi ý: 0 a b b c c a,  ,    1 P a b     b c c a2

Dùng bất đẳng thức BCS để tim GTLN , khi đóP 6

Bài 41 Cho x y z là các số thực dương thỏa mãn , , xyyzzx5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 2   2  2

P



     (đề thi vào 10 THPT Chuyên KHTN năm 2011-2012)

2

2

5

2

z   zx zy   

2

P

* Bài 42 Cho , ,x y z là các số thưc dương thỏa mãn xy yz zx 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

P x  xy y  y  yz z  z  zx x

Bài 43 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số

2

2

3 2

x y





Bài 44 Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 4

16

yx x

Bài 45 Cho ba số dương , ,x y z thỏa mãn 1 2 3 6

x  y z Tìm GTNN của P x y2z3

Gợi ý: Dự đoán min P khi x  y z 1 Ta có  2   3 

Cô si ta được: 1  1 2 3 1  2

Bài 46 Cho x 0;1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

1

x P

Bài 47 Cho ba số dương x y z thỏa mãn , , x  y z 12 Tìm GTNN của P 1 1 1

Bài 48 Cho x2,y3,z4 Tìm GTLN của biểu thức P xy z 4 yz x 2 zx y 3

xyz

Bài 49 Cho hai số x y thỏa mãn ,  2

x y xy xy Tìm GTLN, GTNN của mỗi số x và y

3 x y

Bài 50 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2

1 1

t t P

t t

 



Gợi ý: Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

Bài 51 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

2 2

P

Gợi ý: Đặt t x yt 2

Bài 52 Cho ba số thực a b c thỏa mãn , , 5

8

a b c

ab bc ca

  



   

7

3

a b c

Gợi ý: Từ giả thiết rút ra b c và bc theo a Chú ý  2

4

b c  bc từ đó suy ra đpcm

Bài 53 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức

A



Gợi ý: Xét y0, xét y0 chia tử và mẫu cho y2 được:

2

2

1 , 1

 

  trở lại bài 50

Bài 54 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 1

xy xy



  với x y 1.

4

Dùng bđt Cô si và đánh giá ta được 289

16

P

*Bài 55 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x x2 1,x 0

x

Gợi ý: Biến đổi  2 2 1

x

   sau đó lập luận để phương trình có nghiệm x0 (chú ý P0) Đ/S: minP2

Bài 56 Cho x y z là các số thực Tìm giá trị nhỏ nhất của , , 2 2 2

A x y z  xy xz x

2

y z

2

y z

A x    x  

Bài 57 Cho số thực a thỏa mãn 0 a 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a T



  (THPT Chuyên Toán ĐHSP TP Hồ Chí Minh năm 2009-2010)

2

T

5 , max 2

3

Bài 58 Cho các số thực x y thỏa mãn , x8y0 Tìm giá trị nhỏ nhất của

 18 .

 

(THPT Chuyên Đại học Vinh năm 2009-2010)

8

AM GM



Bài 59 Giả sử a b là các số thực dương thỏa mãn , 3 1

a b

  Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức Pab3

Gợi ý: Chứng minh bài toán nếu a b c d, , , 0 và 1

1 81

abcd 

Thay c d b ta suy ra 1

81

P

Bài 60. Cho x y z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện , , 2 2 2 2

3

xy z x z y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 

4

4 4 4 1

z P



  (Vòng 1 chuyên KHTN Hà Nội năm 2005-2006)

Gợi ý: Từ giả thiết áp dụng cô si cho vế trái suy ra 3z2 xy z2 2x z2  y 3xyz z xy

Khi đó

 

4 2 2 6

1

P

Bài 61 Cho a b c d, , , 0 và a b c   d 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P a b b c c d  d a

4

2

3 2

Bài 62 Với a b là những số thực dương thỏa mãn 4, a b  ab 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1

ab

 (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội 2015-2016)

Gợi ý: P 4a b ab 2 4 a b ab 5

5

Suy ra P25

Bài 63 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A

và x  y z 3 3. (Trích THTT số 479)

Gợi ý:

     

A

2

3

*Bài 64 Xét các số thực dương a b c thỏa mãn , , abc1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

T

      (Đề thi vào 10 chuyên Nam Định)

b   c a b  c a abcbc b c a bcbc a  b c

Suy ra

2

4 a4 2 a 2 2 2 a2 2

Bài 65 Với ,a b là những số thực dương thỏa mãn a2 b Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2

2

P

ab





Gợi ý: MinP đạt được khi a2 b

Bài 65 Vớia b là các số thực dương thỏa mãn , a b 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

Bài 66. Cho bốn số nguyên không âm a b c d thỏa mãn , , ,

2 2 2





nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2

Qa b  c d

Gợi ý:Từ giả thiết cộng hai đẳng thức vế theo vế ta được  2 2 2 2 2

3 a b  c d d 42

2

3Q 42 d Q 14

Bài 67 Cho ba số dương a b c thỏa mãn , , a b c  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

P

3 ab bc ca   a b c   9 ab bc ca  3

Khi đó

2

3

AM GM

P

a b a c



Bài 68 Cho ba số thực không âm a b c thỏa mãn , , a3  b3 c3 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P ab ab c bc bca  ca cab

P ab ab abcab a b  abc a b  a  b c 

Bài 69 Cho ba số dương a b c thỏa mãn , , ab bc ca  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3

6

Pa   b c abc

3

a b c b c a c a b      abcab a b a  abc

a  abc a b c ab bc ca     ab bc ca  ab bc ca  

Chú ý: Từ a b c b c a c a b         abc  1

Ta có các bất đẳng thức tương đương

3

a b c b c a c a b a   b c abc (2)

+ Nếu ta thêm vào hai vế của (2) đại lượng 3abc ta được

6

a b c ab bc ca    a   b c abc (3)

    3    

a b c  ab bc ca   a b c   a b b c c  a  abc hay

3

a b c ab bc ca     ab a b bc b c ca c a  a b c 

4 a b c  ab bc ca   a b c  9abc (4)

Bài 70 Cho các số thực dương x y thỏa mãn , 42 12 2

x  y  Tìm GTNN của Px24xy6y22x

P x y  xy Từ giả thiết suy ra

2 2

2 2

 

 

y

Bài 71 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  4 4 4

4 4 4

  biết x y z là các số , ,

thực dương thỏa mãn x y z

Gợi ý:

x y



Đặt t z 4t 1

x y



Bài 72 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Pxyyz zx xyz trong đó x y z là các số , , thực không âm thỏa mãn x2y2z2 3

Gợi ý: giả sử x     y z 0 0 z 1 Khi đó Pxy1 z z xy0

mà

.1 1

2

Bài 73 Cho các số thực dương , ,a b c Tìm GTNN của  2 1 1 1

Bài 74 Cho các số dương a b c thỏa mãn , , abc1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3

2 2 2 2 2 2

Gợi ý: Chứng minh bổ đề  3 3    3 3

2 a b  a b a b Khi đó

 3 3 3 3 3

2a 2 a  b c 6abc6

3 3

2

4P 6 4 ab abbc bcca ca  6 4.3 ab ab bc bc ca ca 18

2

P

Bài 75 Cho các số thực a b c không âm thỏa mãn , , a b c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P a b  b c  c a

Gợi ý: Dùng bđt bunhiacopxki ta được maxP 6, để tìm min P ta sử dụng tính chất

xx   x Khi đó Pa b     b c c a2

Bài 76 Cho ba số dương x y z Tìm GTLN của biểu thức, ,  

2 2 2

2 2 2

A



2 2 2

3

A

Bài 77 Cho a b c là các số dương thỏa mãn , , a b c  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

Gợi ý: Dùng bất đẳng thức bunhiacopxki ta được

 2 2    2 2

2

3



Bài 78 Cho a b c là các số thực dương thỏa mãn , , a b c  abc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

Gợi ý: Từ a b c  abc.và áp dụng bất đẳng thức cô si ta được

2 2

2 1

a

3 max

2

P

Bài 79 Cho x y thỏa mãn ,  2 2

x x y y  Tìm GTNN của biểu thức S  x y

2

  và ta có

4

t

t

1 4

t y

t

Bài 80 Cho các số dương x y z thỏa mãn , , 2 2 2

1

x y z  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

xy yz zx P

Cô si ta chứng minh được:

2 2 2 2 2 2

2 2 2

z  x  y    Suy ra P3

*Bài 81 Cho ba số a b c thỏa mãn 0, , a b c, , 2 và a b c  3 Tìm GTLN của Pa3 b3 c3

Gợi ý: giả sử 2   a b c 0, suy ra 3   a b c 3a  1 a 2

Bài 82 Cho a b c là ba số dương thỏa mãn , , a b c  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

Gợi ý: a 3a bc  a a b a c    a ac ab  a a b c

Suy ra

3

Bài 83 Cho các số thực không âm , ,x y z thỏa mãn x  y z 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 9

2

Px y z  xyz (Đề thi vào 10 Chuyên Hùng Vương Phú Thọ 2018)

Gợi ý:

Bài 84 Cho ba số a b c, , 1 thỏa mãn 32abc18a b c   27 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

   (Đề thi vào 10 THPT chuyên Hưng Yên năm 2017-2018)

Gợi ý: Sử dụng bổ đề x y z  3x y z,x y z, , 0 ta có:

P

2

2 2 2

Từ giả thiết suy ra 32 18 1 1 1 27

3

x y z  x y z

2

3

3

t

   ta có: 326t2t3

Suy ra   2

Bài 85 Cho ba số thực a b c thỏa mãn 1, , a b c, , 3 và a b c  6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Pa2 b2 c2 (THPT chuyên Vị thành) Gợi ý: giả sử 1   a b c 3, suy ra 2 c 3 2 2 2 2 2 2   

Pc a b c a  b a b

Với 2 c 3 ta dễ dành chứng minh được 2c210c26 14 maxP14 khi a b c là hoán vị , , của 1; 2;3 

Bài 87 Cho các số thực dương a b c thỏa mãn , , ab bc ca  2abc1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

      (Đề thi HSG TP Hà Nội năm 2016-2017) Gợi ý: Ta chú ý đẳng thức xyyzzxxy x yyz y  z zx z  x 2xyz

y z xyz x x y yzz x y zzx x y x y2y xyz zz x 1.

Do vậy từ giả thiết ab bc ca  2abc1 Đặt a x ,b y ,c z

  với x y z, , 0.

Áp dụng bất đẳng thức 1 1 4 m n, 0

m n m n  



P

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có:

2

2

P

 

3

x y z  xyyzzx nên

3

P

Bài 88 Cho các số thực dương a b c thỏa mãn , , 1 1 1 3

a  b c Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

(HSG TP Hà Nội 2014-2015)

a b

a b





P

Bài 89 Với ba số thực dương a b c thỏa mãn , , 12 12 12 1

a b c  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

Gợi ý: Tương tự bài 88 và chú ý đánh giá

2

2 2 2

3

Bài 90 Cho a b c là các số dương tùy ý Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức , ,

S

2 2 2 2 2

2 2 2

3

7 7

 